55 (Методические разработки к лабораторным работам №2, 55, 77 и 175)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуЛаб. работа№ 55ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА ОМА ДЛЯ ЦЕПИПЕРЕМЕННОГО ТОКАРаботу поставил доцент Авксентьев Ю.И.Москва - 2012ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА ОМА ДЛЯ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГОТОКАЦель работы: Измерение индуктивностиL , емкости C иактивного сопротивления R в цепи переменного тока. Изучениезависимости от частоты переменного тока полного сопротивления Z полн.электрической цепи.I.

КРАТКОЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕПеременным называется ток, сила которого и направление протеканиязависят от времени. В данной задаче мы будем иметь дело с силой тока,величина которого зависит от времени по гармоническому закону(1.1)I  I m cos(t   ) .Такой ток возникает в цепи, подключенной к генератору, на выходе которогонапряжение U меняется по закону(1.2)U  Um cos t .В отличие от постоянного тока сила переменного тока может бытьразной в отдельных участках неразветвленной цепи. Это связано с тем, чтоскорость распространения электрического поля в цепи хотя и велика, ноконечна (близка к скорости света c ). При определенных условиях эторазличие становится пренебрежимо малым, так что можно считать, что вданный момент времени сила тока во всех участках цепи одинакова.

Такойток называется квазистационарным. Очевидно, что это произойдет тогда,когда время распространения  электрического возмущения в самыйотдаленный участок цепи длины l будет много меньше периода колебанийT . Таким образом, условие квазистационарности можно записать вследующем видеτ << T или l / c << T.Если условие квазистационарности выполнено, то в цепи для каждогомгновенного значения напряжения будет успевать устанавливатьсясоответствующий стационарный ток и процесс в цепи будетпредставлять собой как бы последовательное чередование стационарныхтоков, для которых выполняется закон Ома.

Таким образом, в случаепеременного тока закон Ома выполняется для мгновенныхзначений квазистационарных токов.Цепь переменного тока помимо активного сопротивления R частовключает в себя реактивные элементы, такие как катушка индуктивности Lи конденсатор C . Последние способны накапливать в себе3электромагнитную энергию: катушка индуктивности в виде энергиимагнитного поля B плотностью wL B22 0электрического поля E плотностью wC , конденсатор в виде энергии 0 E 22.

Здесь B - магнитнаяиндукция поля в катушке индуктивности, E - напряженность электрическогополя между обкладками конденсатора,  и  -относительные магнитная идиэлектрическая проницаемости вещества, заполняющего катушку иBcпространство между обкладками конденсатора, 0  1.257  10 6иA мФ 0  8.85  10 12- магнитная и электрическая постоянные. При изменениимсилы тока в цепи изменяется энергия, накопленная в катушке индуктивностиL и конденсаторе C . Так как изменение энергии не может происходитьмгновенно, то в цепи переменного тока, содержащей катушку индуктивностиL и конденсатор C , будет наблюдаться запаздывание изменения силы токаили напряжения, что в свою очередь приводит к возникновению разности фазмежду напряжением и силой тока.Вначале проанализируем соотношения между силой тока инапряжением в цепи, содержащей один из перечисленных элементов.1. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую изрезистора сопротивлением R и генератора с выходным напряжением(1.2), (рис.1а).Если цепь удовлетворяетусловиям квазистационарности (далеемы будем рассматривать только такиецепи), то сила тока, протекающегочерез резистор, будет определятьсязаконом ОмаRI~IРис.

1 аU I m cos t ,R(1.3)UгдеUIm I0tIРис. 1 бUm.R(1.4)На рис. 1б показана зависимость отвремени напряжения и силы тока,определяемых равенствами (1.2) и(1.3). Из рисунка видно, что в случаевключения в цепь переменного токарезистора напряжение и сила токаизменяются синфазно.42. Теперь рассмотрим электрическую цепь, в которуювместо резистора включена катушка индуктивностью L, (рис.2а). Будем считать, что активное сопротивление катушки равно нулю(идеальная катушка).

При протекании в цепи переменного тока в катушкевозникнет Э.Д.С. самоиндукции E инд.  LdI. Так как катушка не обладаетdtактивным сопротивлением, то на основании второго правила Киргофа дляконтура (рис. 2а) можно записать0  U E инд. ,илиdI0 .dt(1.5)Umcos t  dt .L(1.6)U m cos t  LПерепишем уравнение (1.5) в видеdI После интегрирования (1.6) получаемLIUmsin t  const ,Lгде постоянная интегрирования (const) этонекоторый постоянный ток I 0 в цепи.Так как постоянный ток в цепи отсутствует,то можно положить const = 0.Итак, имеемI~Рис.

2аIUmsin t ,LилиUII  I m cos(t  ) ,2UI0(1.7)t(1.8)гдеIm Um.L(1.9)Из формулы (1.8) следует, что ток в цепи синдуктивностью отстает по фазе отРис. 2 бнапряжения на угол(см. рис. 2б), а из2сравнения (1.9) с (1.4) можно сделатьвывод, что роль сопротивления играет величина(1.10)ZL  L ,которая носит название реактивного индуктивного сопротивления. Часто Z Lназывают просто индуктивным сопротивлением. С увеличением частоты 5сопротивление Z L растет и в некоторых случаях может значительнопревосходить сопротивления других элементов цепи. Следует отметить, чтоиндуктивное сопротивление Z L в соответствии с формулой (1.9) связываетмежду собой только амплитудные значения тока и напряжения.3.

Теперь рассмотрим электрическую цепь, в которойрезистор заменен конденсатором емкости С. Такая цепьпредставлена на рис. 3а. Электрический заряд на обкладках конденсаторабудет меняться по законуq  CU  CUm cos t .(1.11)Для нахождения тока в цепи продифференцируем выражение (1.11).

Последифференцирования имеемIdq CU m sin t .dt(1.12)Выражение (1.12) может быть преобразовано к видуI  I m cos(t  ) ,2где I m - амплитуда тока, равнаяIC~Im Рис. 3 аUIUI0(1.13)tUm 1  C (1.14)Сопоставляя соотношение (1.14) с(1.4), мы видим, что рольсопротивления в данном случаеиграет величинаZC 1,C(1.15)которая называется реактивнымемкостным сопротивлением, илипросто емкостным сопротивлением.Рис.

3 бВ отличие от Z L , емкостноесопротивление растет с уменьшением частоты  и для постоянного токаобращается в бесконечность. Из формулы (1.13) следует, что ток в цепи с6емкостью опережает по фазе напряжение на. Зависимость мгновенных2значений напряжения и тока от времени показана на рис. 3б.Как было сказано выше физической причиной появления сдвига фазмежду переменным током и напряжением является наличие в цепи«энергоемких» элементов, таких как конденсатор и катушка индуктивности.Изменение тока или напряжения в цепи сопровождается изменениемэнергии, запасенной в этих элементах, которая не может изменятьсямгновенно, так как для этого потребовался бы генератор бесконечно большоймгновенной мощности.12Энергия, запасенная в индуктивности, равна WL  LI 2 . Поэтому токI , протекающий через индуктивность и определяющий величину запасеннойэнергии, отстает по фазе от напряжения генератора, питающего эту цепь.12Энергия, запасенная в емкости, равна WC  CU 2 .

Поэтому напряжение наемкости U , определяющее величину запасенной энергии, отстает от тока,протекающего в цепи.4. И наконец, рассмотрим полную электрическую цепь,т.е. цепь содержащую все три элемента: резистор, катушку индуктивности иконденсатор, включенныеCRLпоследовательно, ( рис.4). Попрежнему считаем, что в этойцепи напряжение на клеммахURULUCIгенератора определяетсявыражением (1.2). Применяя кцепи второе правило Киргофа,можно записать(1.16)U R  UC  Um cos t E инд. .Рис. 4Подставив в (1.16) значения~dId 2qdqqU R  RI  R , U C  , E инд.  L   L 2 , получим дифференциальноеdtdtdtCуравнениеLd 2qdq qR  U m cos t .2dtdt C(1.17)Решение этого уравнения позволяет вычислить полное сопротивление цепи1 2Z полн.

 R 2  ( L ) и сдвиг фаз   arc tgCL R1C между силой тока инапряжением.75. Метод векторных диаграммОднако существует более простой и наглядный метод решения этойзадачи, известный как метод векторных диаграмм. Суть метода состоит втом, что колебание какой-либо величины(1.18)A  A0 cos(t  )представляется в виде вектора A .

С такими векторами можно обращатьсякак с обычными векторами, т. е. складывать ихдруг с другом, вычитать один из другого и этоA0намного упрощает расчет значений Z полн. и  .Векторная диаграмма колебательногоtпроцесса, например (1.18) строится следующимобразом (рис. 5).

Из начала координат 0 оси XX0отложим вектор длины A0 , составляющий угол с осью X . Если привести этот вектор вовращение против часовой стрелкиA(общепринятое направление положительногоРис. 5поворота) с угловой скоростью  , то проекцияА этого вектора на ось X в некоторый момент времени t будет совпадатьс выражением (1.18). На векторной диаграмме можно одновременноUm LImUm RImXImX00X0a)в)б)Um CРис. 6изображать несколько колебательных процессов. Если частоты всех этихколебаний одинаковы, то взаимное расположение векторов отдельныхколебаний со временем изменяться не будет. Углы между этими векторамибудут равны сдвигу фаз между колебаниями.На рис.

6 изображены векторные диаграммы токов и напряжений вначальный момент времени для рассмотренных выше цепей, содержащих0ImUmа)XUm0Imб)ImX0UmXв)Рис. 78резистор (рис. 6а), катушку индуктивности (рис. 6б) и конденсатор (рис.6в). На всех диаграммах вдоль горизонтальной оси отложен вектор тока. Таккак частоты колебаний тока и напряжения в каждом случае одинаковы, товзаимное расположение векторов не зависит от времени и определяетсясдвигом фаз между этими колебаниями.

В цепи с резистором сдвиг фазравен нулю и вектор напряжения совпадает по направлению с вектором тока,(рис. 6а). В цепи с катушкой индуктивности колебания силы тока отстают отколебания напряжения на, следовательно, вектор напряжения опережает2, (рис. 6б). В цепи с конденсатором колебания силы2тока опережают колебания напряжения на , следовательно, вектор2напряжения отстает от вектора тока на , (рис.

6в).2вектор силы тока наПри построении векторных диаграмм вдоль горизонтальной оси можнонаправить любой из векторов. На рис. 7 представлены векторныедиаграммы тех же цепей, что и на рис. 6, с той лишь разницей, что вдольгоризонтальной оси направлен теперь вектор напряжения. Оба рисункаотражают тот же самый сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Выбортого или иного варианта построения векторных диаграмм зависит отрешаемой задачи.6. Применение метода векторных диаграммВернемся к полной цепи (рис. 4) и применим метод векторныхдиаграмм для расчета сопротивления Z полн. и сдвига фаз  .

Так как ток вовсех элементах цепи одинаков, тоUm , Lвдоль горизонтальной оси XUmотложим вектор тока I m с началом вточке 0 . Построим векторныеUm , L - CUm , RX диаграммы напряжений U R , U L иU C (рис. 8). Для нахождения0амплитудного значения полногоImUm ,Cнапряжения Um найдем модульвекторной суммыуказанныхнапряжений U m  U mR  (U mL  U mC ) .Рис.