А.Г. Дьячков - Задачи по теории вероятности
Описание файла
PDF-файл из архива "А.Г. Дьячков - Задачи по теории вероятности", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
á.ç. äØÑÞËÏ×,"úÁÄÁÞÉ ÐÏ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ"1 ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ, ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ1. ëÁËÏ×Á ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÐÒÉ 4 ÂÒÏÓÁÎÉÑÈ ÍÏÎÅÔÙ:(a) ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ÒÁÚÁ ÐÏÄÒÑÄ ×ÙÐÁÄÅÔ ÇÅÒÂ?(b) ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ, ËÏÇÄÁ ÇÅÒ ×ÙÐÁÄÅÔ ÐÏÄÒÑÄ?(c) ÇÅÒÂ É ÃÉÆÒÁ ×ÙÐÁÄÁÀÔ ÐÏÏÞÅÒÅÄÎÏ?2. ëÁËÏ×Á ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÐÒÉ 2 ÂÒÏÓÁÎÉÑÈ ÉÇÒÁÌØÎÏÊ ËÏÓÔÉ:(a) Ä×Á ÒÁÚÁ ÐÏÄÒÑÄ ×ÙÐÁÄÅÔ ÞÉÓÌÏ ÏÞËÏ× ≥ 5?(b) ×ÓÅ Ä×Á ÒÁÚÁ ×ÙÐÁÄÁÅÔ ÒÁÚÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÞËÏ×?(c) ÓÕÍÍÁ ×ÙÐÁ×ÛÉÈ ÏÞËÏ× ÂÕÄÅÔ ≥ 5?3. ÷ ÌÉÆÔ 8-ÍÉ ÜÔÁÖÎÏÇÏ ÄÏÍÁ ÎÁ ÐÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÖÅ ×ÏÛÌÉ 5 ÞÅÌÏ×ÅË. îÁÊÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÔÏÇÏ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÐÑÔÅÒÏ ×ÙÊÄÕÔ ÎÁ ÒÁÚÎÙÈ ÜÔÁÖÁÈ.4.
éÚ ËÏÌÏÄÙ (36 ËÁÒÔ) ÄÏÓÔÁÀÔ ÎÁÕÄÁÞÁ Ä×Å ËÁÒÔÙ. îÁÊÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉÎÉÈ ÅÓÔØ ÔÕÚ?5. çÒÕÐÐÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ 2k ÍÁÌØÞÉËÏ× É 2k ÄÅ×ÏÞÅË ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ Ä×Å ÒÁ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉ. îÁÊÔÉ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ × ËÁÖÄÏÊ ÞÁÓÔÉ ÞÉÓÌÏ ÍÁÌØÞÉËÏ× É ÄÅ×ÏÞÅË ÏÄÉÎÁËÏ×Ï?6. éÚ ËÏÌÏÄÙ (52 ËÁÒÔÙ) ×ÙÂÉÒÁÀÔ 4 ËÁÒÔÙ. ËÁËÏ×Á ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ × ×ÙÂÏÒËÅÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ÍÁÓÔØ.7. ëÕÂ, ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏËÒÁÛÅÎÙ, ÒÁÓÐÉÌÉÌÉ ÎÁ 1000 ËÕÂÉËÏ× ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ.ðÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ËÕÂÉËÉ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÐÅÒÅÍÅÛÁÎÙ.
ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÎÁÕÄÁÞÕ ÉÚ×ÌÅÞ£ÎÎÙÊ ËÕÂÉË ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ Ä×Å ÏËÒÁÛÅÎÎÙÅ ÇÒÁÎÉ.8. ëÁËÏ×Á ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÎÉÉ 8 ËÁÒÔÏÞÅË, ÓÒÅÄÉËÏÔÏÒÙÈ 4 - Ó ÂÕË×ÏÊ "ï", 2 - Ó ÂÕË×ÏÊ "ë", 1 - Ó ÂÕË×ÏÊ "ì" É 1 - Ó ÂÕË×ÏÊ "ô",ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÓÌÏ×Ï "ïëïìïôïë" ? ðÒÏ×ÅÄÉÔÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÌÏ×"ðóéèïìïçéñ" É "íáôåíáôéëá".9. óÒÅÄÉ 25 ÜËÚÁÍÅÎÁÃÉÏÎÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ× ÉÍÅÅÔÓÑ 5 "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ" É 20 "ÎÅÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ".õ ËÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ×ÙÔÁÝÉÔØ "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÊ" ÂÉÌÅÔ: Õ ÔÏÇÏ, ËÔÏ ÐÏÄÏÛ£Ì ÚÁÂÉÌÅÔÁÍÉ ÐÅÒ×ÙÍ, ÉÌÉ Õ ÔÏÇÏ, ËÔÏ ÐÏÄÏÛ£Ì ×ÔÏÒÙÍ?10.
îÁÊÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÎÉ ÒÏÖÄÅÎÉÑ Õ n ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÓÏÂÒÁ×ÛÉÈÓÑ ÌÀÄÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙ.11. îÁÊÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÕÇÁÄÁÔØ k = 0; 1; 2; : : : ; 6 ×ÙÉÇÒÙÛÎÙÈ ÃÉÆÒ × ÌÏÔÅÒÅÅ "6 ÉÚ 49".12. ðÕÓÔØ ÓÒÅÄÉ 10 ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÇÒÕÐÐÙ ÐÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ ÁÎËÅÔÎÙÊ ÏÐÒÏÓ, ÇÄÅ ËÁÖÄÙÊ ÕÞÁÓÔÎÉË ÏÐÒÏÓÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔ 3 ÉÚ 9 Ó×ÏÉÈ ÔÏ×ÁÒÉÝÅÊ, ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎ ÐÒÅÄÐÏÞÉÔÁÅÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÍ.ðÕÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÅ A ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÎÁÚ×ÁÎ × 9 ÁÎËÅÔÁÈ.
îÁÊÔÉPr{A}, ÅÓÌÉ ÚÁÐÏÌÎÅÎÉÅ ÁÎËÅÔ ÂÙÌÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ, Ô.Å. ÌÀÂÁÑ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑ ÚÁÐÏÌÎÅÎÉÑÁÎËÅÔ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÁ ?1á.ç. äØÑÞËÏ×,"úÁÄÁÞÉ ÐÏ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ"2 óÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ É ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ1. óÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ q(x) = Pr{ = x}, ÇÄÅ−2−1 01 20:1 0:2 0:2 0:4 0:1xq(x)(a) ðÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÙM =Xxx q(x); D =XxÄÒÕÇÉÅ x.0(x − M )2 q(x); F (t) = Pr{ < t} =Xx : x<tq(x); (1)×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ M , ÄÉÓÐÅÒÓÉÀ D É ÎÁÊÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F (t) = Pr{ < t}.(b) îÁÒÉÓÏ×ÁÔØ 1 ÎÁ ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÌÉÓÔÅ ÄÒÕÇ ÐÏÄ ÄÒÕÇÏÍ ÇÒÁÆÉËÉ ÆÕÎËÃÉÊ q(x)É F (x).(c) îÁÊÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ 1, Ô.Å.
ÎÁÊÔÉ Pr{| | ≤ 1} ?2. ðÕÓÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ Sn ÉÍÅÅÔ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊà !q(x) = Pr{Sn = x} =n xp (1 − p)n−x ; x = 0; 1; 2; : : : ; n; 0 < p < 1=2;xËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ (n; p).(a) äÌÑ ÐÒÉÍÅÒÁ, ËÏÇÄÁ n = 6, p = 1=2, É ÄÌÑ ÐÒÉÍÅÒÁ, ËÏÇÄÁ n = 6, p = 1=3,ÐÒÏ×ÅÓÔÉ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÙ (1), ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ.i. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÁ É ÎÁÐÉÓÁÔØ × ÆÏÒÍÅ ÔÁÂÌÉÃÙxq(x)012 ::: nq(0) q(1) q(2) : : : q(n)ÄÒÕÇÉÅ x.0PÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ q(x). ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ q(x) = 1:xii. îÁÊÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F (t) = Pr{Sn < t}iii.
îÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÁ ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÌÉÓÔÅ ÄÒÕÇ ÐÏÄ ÄÒÕÇÏÍ ÇÒÁÆÉËÉ q(x) É F (x).iv. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ MSn É ÄÉÓÐÅÒÓÉÀ DSn .(b) ðÒÉ n = 6, p = 1=2 ÎÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ B − , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏPr{B − ≤ Sn ≤ n − B − } > 0:7:(c) ðÒÉ n = 6, p = 1=3 ÎÁÊÔÉ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ B + , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏPr{B + ≤ Sn ≤ n} < 0:02:1÷ÜÔÏÊ É × ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ×ÓÅ ÒÉÓÕÎËÉ ÄÅÌÁÔØ ÎÁ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÌÉÓÔÁÈ á4 ÍÉÌÌÉÍÅÔÒÏ×ÏÊ ÂÕÍÁÇÉ.2á.ç.
äØÑÞËÏ×,"úÁÄÁÞÉ ÐÏ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ"3. ðÕÓÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑp(x) =½A; ÅÓÌÉ x ∈ [0; 2],0; ÅÓÌÉ x 6∈ [0; 2],ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2].(a) ðÏÌØÚÕÑÓØ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ p(x) ≥ 0 ÉR∞−∞p(x) dx = 1, ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÞÉÓÌÏ A > 0.(b) ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙF (t) = Pr{ < t} =Ztp(x) dx−∞ÎÁÊÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F (t).(c) ðÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÙM =Z∞D =x p(x) dx;−∞Z∞(x − M )2 p(x) dx;−∞×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ M É ÄÉÓÐÅÒÓÉÀ D ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ , ÉÍÅÀÝÅÊ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2].(d) îÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÁ ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÌÉÓÔÅ ÄÒÕÇ ÐÏÄ ÄÒÕÇÏÍ ÇÒÁÆÉËÉ ÆÕÎËÃÉÊ p(x)É F (x).4.
ðÒÏ×ÅÓÔÉ ×ÓÅ ÒÁÓÞÅÔÙ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ Ó ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉѽ0;ÅÓÌÉ x < 0,p(x) = A e−2x ; ÅÓÌÉ x ≥ 0.References[1] áÒÔÅÍØÅ×Á å.à. óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ ÐÏ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÅÄÌÑ ÐÓÉÈÏÌÏÇÏ×. í., éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íçõ, 1969.[2] çÍÕÒÍÁÎ ÷.å. ôÅÏÒÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÁ. í.
éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï"÷ÙÓÛÁÑ ÛËÏÌÁ", 1972.[3] áÒÔÅÍØÅ×Á å.à., íÁÒÔÙÎÏ× å.í. ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ × ÐÓÉÈÏÌÏÇÉÉ. í., éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íçõ, 1975.[4] äØÑÞËÏ× á.ç. ôÅÏÒÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ. ìÅËÃÉÉ. í., éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íçõ, 1980.[5] ôÀÒÉÎ à.î., íÁËÁÒÏ× á.á. áÎÁÌÉÚ ÄÁÎÎÙÈ ÎÁ ËÏÍÐØÀÔÅÒÅ. í., "æÉÎÁÎÓÙ É ÓÔÁÔÉÓÔÉËÁ", 1995.3.
