Примерная программа курса

Механика сплошной средыдля студентов отделения механики - 4,5,6 семестрыпрофессор М.Э. ЭглитВведениеПредмет механики сплошной среды. Основные проблемы, область приложений, перспективные направления. Понятие сплошной среды. Процессы, в которых это понятие можноиспользовать для моделирования поведения реальных тел.Часть I. Общие основы механики сплошных сред1. Основные понятия, используемые для описания движенияи деформации сплошной среды1.1. Лагранжево и эйлерово описание движениясплошных средЛагранжево описание движения. Лагранжевы (материальные) координаты.

Закон движения точек сплошной среды. Вычисление компонент вектора скорости по закону движения.Вычисление ускорения по скорости при лагранжевом описании.Эйлерово описание движения. Пространственные координаты. Вычисление поля ускорений по полю скоростей при эйлеровом описании. Индивидуальная (материальная, полная) илокальная производные по времени.Переход от лагранжева описания к эйлерову и обратный переход.1.2. Тензоры и тензорные поля в евклидовом пространстве.Криволинейные системы координат.

Ковариантные и контравариантные векторы базиса.Определение тензора, метрический тензор. Ковариантные, контравариантные и физическиекомпоненты. Операции над тензорами. Инварианты тензоров.Тензорные поля. Ковариантное дифференцирование. Дивергенция и ротор вектора, градиент скалярной функции.Тензоры второго ранга. Разложение на сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Тензорная поверхность, главные оси, главные компоненты, инварианты симметричноготензора второго ранга. Шаровой тензор и девиатор.

Представление антисимметричного тензора второго ранга в трехмерном пространстве аксиальным вектором. Тензор Леви-Чивита.Тензорные функции. Тензор второго ранга как функция одного или нескольких тензороввторого ранга. Тождество Гамильтона-Кэли. Формула Лагранжа- Сильвестра.Среды, обладающие симметрией. Изотропные, трансверсально-изотропные, ортотропныесреды.1.3. Деформация.Тензоры конечных и бесконечно малых деформаций. Механический смысл компонент.Главные оси и главные компоненты тензоров деформации.

Выражение для относительного изменения объема через инварианты тензоров деформации – при конечных и малых деформациях. Механический смысл первого инварианта тензора деформации в случае малыхдеформаций.Выражение компонент тензоров деформаций через компоненты вектора перемещения. Линейные формулы в случае малых деформаций и малых относительных поворотов.

Выражениедля относительного изменения объема через вектор перемещения в случае малых деформацийи малых поворотов.Уравнения совместности для компонент тензоров деформаций. Уравнения совместностиСен-Венана в случае малых деформаций.1Тензор скоростей деформаций. Выражение его компонент через производные от компонентскорости. Кинематический смысл компонент в декартовой системе координат. Механическийсмысл дивергенции вектора скорости.

Условие несжимаемости среды.Формула Коши – Гельмгольца для распределения скоростей в малой окрестности любойточки сплошной среды.Вектор вихря. Определение. Кинематический смысл вектора вихря. Циркуляция скорости.Формула Стокса.Потенциал скорости. Эквивалентность понятий потенциального и безвихревого движения.2. Универсальные законы сохраненияи уравнения механики сплошной среды2.1. Некоторые операции над интегралами.Формула Гаусса – Остроградского. Кинематический смысл. Понятие потока вектора черезповерхность. Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему.2.2.

Закон сохранения массы.Формулировка закона сохранения массы для конечного индивидуального объема сплошной среды. Уравнение неразрывности при Эйлеровом и при Лагранжевом описании среды.Уравнение неразрывности для несжимаемой среды.2.3. Закон сохранения количества движения.Силы, действующие на сплошную среду: массовые и поверхностные.

Вектор напряжений.Закон сохранения количества движения для конечного индивидуального объема сплошнойсреды.Формула Коши, связывающая вектор напряжений на любой площадке c векторами напряжений на трех фиксированных взаимно перпендикулярных площадках. Тензор напряжений.Физический смысл компонент в декартовой системе координат.Дифференциальные уравнения движения сплошной среды.2.4. Закон сохранения момента количества движения.Формулировка закона сохранения момента количества движения для конечного объемасплошной среды.

Дифференциальное уравнение момента количества движения.Условия, при которых симметрия тензора напряжений является следствием закона сохранения момента количества движения.3. Простейшие модели сплошных сред.Жидкости и газы. Тензор напряжений в покоящейся жидкости. Давление.Идеальная жидкость. Уравнения Эйлера. Полные системы механических уравнений длянесжимаемой жидкости и для баротропных движений сжимаемой жидкости. Условие непроницаемости на поверхности твердых тел.Вязкая жидкость. Линейно-вязкая (ньютоновская) жидкость. Связь между компонентами тензоров вязких напряжений и скоростей деформаций в изотропной линейно-вязкойжидкости (закон Навье-Стокса).

Первый и второй коэффициенты вязкости (коэффициентысдвиговой и объемной вязкости). Кинематический коэффициент вязкости. Уравнения НавьеСтокса. Граничное условие прилипания на поверхности твердых тел. Полная система уравнений несжимаемой линейно-вязкой жидкости.Упругая среда. Линейно-упругая среда. Закон Гука для изотропной линейно-упругой среды при изотермическом деформировании. Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль объемного сжатия. Уравнения Навье-Ламе. Типичные граничные условия.4. Законы термодинамики.24.1. Первый закон термодинамики.Закон сохранения энергии – первый закон термодинамики. Кинетическая энергия.

Внутренняя энергия.Формулировка закона сохранения энергии для конечного индивидуального объема сплошной среды. Работа внешних сил. Приток тепла. Теплопроводность. Притоки энергии в другихформах. Дифференциальное уравнение энергии.Теорема живых сил (теорема о внутренней энергии).

Работа внутренних сил.Уравнение притока тепла (уравнение для внутренней энергии).Выражение для притока тепла к малой частице за счет теплопроводности. Закон теплопроводности Фурье для изотропной и анизотропной сред.4.2. Второй закон термодинамики.Физические формулировки второго закона термодинамики. Обратимые процессы. ЦиклКарно, теорема Карно о коэффициенте полезного действия тепловых машин. Абсолютнаятемпература. Неравенство Клаузиуса.

Энтропия.Формулировка второго закона термодинамики, содержащая понятие энтропии. Притокэнтропии извне и производство энтропии.Формулировка второго закона термодинамики для конечного индивидуального объемасплошной среды. Дифференциальное уравнение энтропии.Производство энтропии в процессе теплопроводности.Элементы термодинамики необратимых процессов. Тождество Гиббса. Выражение дляпроизводства энтропии. Связи между термодинамическими силами и потоками.

ПринципОнзагера. Примеры необратимых процессов: теплопроводность, движение вязкой жидкости,диффузия.4.3. Ограничения на вид уравнений состояния и определяющих уравнений,следующие из законов термодинамики.5. Поверхности разрыва в сплошных средах.Поверхности сильного и слабого разрывов. Условия на поверхностях сильного разрыва,следующие из законов сохранения массы, количества движения, момента количества движения, энергии и закона возрастания энтропии. Ударные волны, тангенциальные разрывы,контактные разрывы.6. Основы теории размерности и подобия физических явлений.Размерности физических величин. Π-теорема. Подобие механических явлений. Критерииподобия. Числа Рейнольдса, Фруда, Струхаля, Маха, Прандтля.

Использование анализа размерностей при физическом моделировании и обработке экспериментов.Часть II. Классические модели сплошных сред1. Жидкости и газы в механике сплошной среды.1.1. Идеальные жидкости и газы.Определение идеальной жидкости.

Полная система уравнений. Граничные условия. Условие непроницаемости на твердой поверхности. Условия на свободной поверхности. Поверхностное натяжение.Идеальная несжимаемая теплопроводная жидкость. Полная система уравнений.Идеальная сжимаемая жидкость или газ. Полная система уравнений. Ограничения на видуравнений состояния, следующие из законов термодинамики (существование термодинамических потенциалов). Примеры уравнений состояния для жидкостей и газов. Совершенный3газ. Энтропия совершенного газа. Адиабатическое движение идеального совершенного газа.Адиабата Пуассона.

Уравнения газовой динамики.1.2. Вязкие жидкости и газы.Полная система уравнений вязкой жидкости.Термодинамические соотношения для вязкой жидкости. Тождество Гиббса. Производствоэнтропии при движении вязкой жидкости. Диссипация механической энергии.Примеры моделей вязких жидкостей и газов: а) линейно-вязкая несжимаемая жидкость;б) линейно-вязкий совершенный газ.Полная система уравнений для линейно-вязкого совершенного теплопроводного газа (степлопроводностью, подчиняющейся закону Фурье).2. Упругие среды.Упругая среда.

Определение. Полная система уравнений. Типичные граничные условия.Задание модели упругой среды заданием плотности внутренней энергии как функции деформаций и энтропии, или свободной энергии как функции деформаций и температуры.Линейно-упругая среда с малыми деформациями. Изотропная линейная термоупругаясреда. Обобщенный закон Гука. Физический смысл коэффициентов, входящих в обобщенный закон Гука: коэффициент линейного теплового расширения, модуль Юнга, коэффициентПуассона; модуль объемного сжатия, модуль сдвига.Полная система уравнений линейной термоупругой среды с малыми деформациями.Часть III. Свойства моделей сплошных сред.Постановки и решения задач1.

Модель идеальной жидкости или газа.Установившееся движение. Интеграл Бернулли. Интеграл Бернулли для движения несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. Понятие о кавитации. Интеграл Бернулли для адиабатического движения совершенного газа. Связь температуры, плотности и давления с числомМаха вдоль линии тока. Форма трубок тока в установившемся адиабатическом движении газапри отсутствии массовых сил. Сопло Лаваля.Теоремы о вихрях в идеальной жидкости. Теоремы Томсона и Лагранжа.

Причины возникновения вихрей.Потенциальное движение. Интеграл Коши-Лагранжа. Потенциальное движение несжимаемой жидкости. Уравнение Лапласа и граничные условия на поверхности твердого тела и на свободной поверхности жидкости для потенциала скорости. Примеры потенциальных движений. Безотрывное обтекание сферы идеальной несжимаемой жидкостью. ПарадоксДаламбера-Эйлера. Движение сферы с переменной скоростью. Присоединенная масса.Плоские потенциальные движения идеальной несжимаемой жидкости. Комплексный потенциал. Обтекание кругового цилиндра. Постановка задачи об определении комплексногопотенциала плоского течения около цилиндрического тела произвольного сечения. Методконформных отображений.