А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 6

Если функция г'(х, р, р') и производные аг и — ал, непрерывны, то любое особое решение уравнении (8) Р(х,д,у) =0 удовлетворяет также уравнению ОЕ(х р у) др' Поэтому, чтобы отыскать особые решения уравнении (3), надо исключить у' из уравнений (8) и (9). Полученное уравнение ф(х, р) = = 0 называется уравнением дискриииииипшой кривой. Для каждой ветви дискриминантной кривой надо проверить, является ли эта ветвь решением уравнении (8), н если являетсн, то будет ли это решение особым, т. е. касаютсн ли его в каждой точке другие решения. П р и м е р. Найти особое решение уравнения (10) у=х+у — 1пр.

Дифференцируем обе части равенства по д': (11) Исключаем р' из уравнений (10) и (11 8 Из (11) имеем у' = 1; подставлня это в (10), получаем уравнение дискримннантной кривой (12) Проверим, будет ли криван особым решением. Для этого сначала проверяем, явлнется ли она решением уравнении (10). Подставлян (12) в (10), получаем тождество х + 1 = х + 1.

Значит, кривая (12) решение. зЭта определение азата яз (1). Есть и другие определения, не равносильные этому. Зй. Урааиегшл, ие раэрешеггггые огииосителъио ироиэводггоб 37 Теперь нровернмг нвляется лн это решение особым, т. е. касаются ли его в каждой точке другие решения. В и. 1 было найдено. что другие решения выражаготся формулой (6).

Пишем условия касанин кривых у = уг(и) и у = уэ(з) в точке с абсциссой лог Уг(л:э) = Уз(зо)г Уг(ио) = Уз(но). (13) ф( С) О дФ(х, У, С) ас и проверить, будет ли полученная кривая огнбавэщей. т. е. касают- ся ли ее в каждой точке кривые семейства. Эту проверку можно провести изложенным в конце п. 2 методом, используя условия ка- свния (13). В задачах 241 — 250 найти все решения даниых уравнений: выделить особые решения (если они есть); дать чертеж. 241.

у' — уз = О. 242. 8у' = 27У. 243. (у'+ 1) = 27(ш+ у)з. 245. Уз(у' + 1) = 1. 245. у' — 4У = О. 246. у' = 4уз(1 — у), 245. Уу' + х = 1. 24'Т. хд' = у. 249. у' Ф уз = уу'(у' + 1). Для решений (6) и (12) эти условия принимают вил е" ~ + С = = ао+1, е'" ' = 1. Из второго равенства имеем С = хо; иодставляи это в первое равенство, получаем 1л-яо = зо -Ь 1. Это равенство справедливо при всех то. Значит, при каждом зо решение (12) в точке с абсциссой за касается одной из кривых семейства (6).

а именно той кривой, лля которой С = зэ. Итак, в каждой точке решение (12) касается другого решении (6), не совпадающего с ним. Знвчит, решение (12) — особое. Если семейство решений записано в параметрическом виде, как в (5), то выполнение условий касания провернется аналогично. При этом надо учесть, что у' = р. 3. Если семейство кривых Ф(аь у, С) = О, явлнюшихсн решениями уравнения Г(ж, у, у') = О, имеет огибающую у = сг(я). то эта огибающая является особым решением того же уравнении.

Если функция Ф имеет непрерывные первые производные, то для отыскания ог ибающей надо исключить С из уравнений 38 г8. Уравнения, не разрешенные относительно ироизеоднол 250. 4(1 — у) = (Зд — 2)гу' . Уравнении 251 — 266 разрешить относительно у', после этого общее решение искать обычными методами (Я 2, 4, 5, 6). Найти также особые решения, если они есть. 251. у' + ху = уз + ху'. 252. ху'(ху'+ у) = 2уг. 254. ху' = д(2Р 1) 256. д'г -!- (х+ 2)е" = — О.

253. ху' — 2РУ' + х = О. 255. у' + х, = 2Р. 257. Узг — 2хуз — 8хг, 258. (ху'+Зу)' = 7х. 259, у' — 2ду' = у (е — !). 260. у'(2У вЂ” д') = д э!и 261.Р' +д =д. 262. х(у — ху ) = хр — 2уд 263 у(ху' зз) = д — 2хд'. 264. Ру'(уд' — 2х:) = х — 2У . у'г -!- 4х1з' — у — 2х д = х — 4т ° 266. Р(у — 2ху') = 2у'.

Уравнения 267 — 286 решить методом введении параметра. 267. х = у' + у'. 268. х(д' — 1) = 2У' 269. т = у'~/у'г + !. 271. Р=д' +2Р'. 270. у'(х — !яд') = 1. 272. у = !и(1+ д' ). 274. у = (у' — 1)е" . 281. у' + уг = хуу'. 283. у' = ени си. 282. 2ху' — у = у'!пуу'. 284. д = хд' — хгд' . 273. (у'+ 1)з = (у' — у) . 275. д'~ — у'г = уг. 277. у' = 2уу'+ уг. 279. 5Р+ у' = х(т+ д'). ,г,з 278. у' — 2ху' = хг — 4у. 280.:сгу' = тсу' + 1. З р.

Разные уравнения первого порядка 285. д = 2тд'+ дед' . 286. р(д — 2тр')з = д' . Решить уравнения Лагранжа и 11леро (задачи 287 — 296). 287. р = тд' — д' . 288. р+ хд' = 4мгд'. 289. д = 2хд' — 4д' . 290. д = хд' — (2 Ч- д'). 291. д' = 3(хд' — д). 293. хд' — д =1пр'. 295.

2р' (р — хд') = 1. 292. у = хр' — 2д' . 294.;гд'(д'+ 2) = д. 296. 2хд' — д = 1в д'. 297. Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство решений этого уравнении: б) Сд = (т — С)"', г) хд = Сд — Сз. а) р = Схз — Сг, в) д = С(х — С)з, 3 9. РАЗНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА' Решить уравнения 301 — ЗЗО и построить графики их решений. 301. ху'+тз+хд — р = О.

302. 2хд'+гд~ = 1. 303. (2хдз — р) Оа+ хбр = О. 304. (ху'+ д)з = т'д'. 303. д — р' — дз,- хд' 307. д — де — О. 306. (, + 2д') р' = д. Исе заявки г З реюеютсн изложенными ренее методами. 298. Найти кривую, каждая касательнан к которой образует с осями координат треугольник площади 2аз. 299. Найти кривую, каждая касательнан к которой отсекает на осях ноординат такие отрезки, что сумма величин, обратных квадратам длин этих отрезков, равна 1. 300. Найти кривую, проходнщую через начало координат и такую, что отрезок нормали к ней, отсекаемый сторонами первого координатного угла, имеет постоянную длину, равную 2. 40 В 9.

Регине уравиеиия первого порядил 308. хгд' = д( ° + д), 309. (1 — ~г) с1д+ хдех = О. 310. у' + 2(х — 1)у' — 2у = О. 311. у+ у'1п у = (х+ 21пд)у'. 312. хау' — 2хд = Зу. 313. х+ду = д (1+у )' 315. д' = х — у 314. у = (хд'+ 2у)'. 316. усв + (Зх — О)у' = Зу. 317. х — —, = —. 320. 2хеуус+Зхауа+ 7 = О. 321. ' — '* = (1 — 2х) с1д. 322. ху' = е" + 2у'. 323. 2(т — у') Од = ус1х. 324. гад' + у' = 2х(2 — уд'). 325.

с(д + (ху — тд') с1х = О. 326. 2хЩ = у'(2хц' — у). г 327. " 'У, = 2. х+ уу 328. х(х — 1)д'+ 2ху = 1. 329. ху(хд' — у) + 2д' = О. 330. (1 — ха)д' — 2хуа = хд. Решить уравнении 331 — 420. 331. у' + у = ту~. 332. (ху — х) с1х+ (у+ ху) Од = О. 333. (а1пх+ у) с19+ (успех — хг) с1х = О. 318. 2у'г — Зд' + х = д. 319. (х+у) у' = 1. уй'.

Разнеге уравнения первого порядка 334. Зд' — хр' + 1 = О. 335. дд'+ да с18х = сов х. 336. (еР + 2тд) От + (е" + т)х 4(д = О. 337. хр' = д — р'. ,г 338. т(т+ 1)(д' — 1) = д. 339. ц(д — хд') =.,/х4+ цг. 340. хд'+ д = 1пд . 341 ° хг(41д — Ох) = (х н д)д нт. 342. д'+ т 4/у = Зд. 343. (хсовд+ вгп2р)д' = 1. 344. р' — ду' + е ' = О. 345.

р' = — *егн + р. 346. (хд' — д)г = д' — 1, 347. (4хр — З)д'+ рг = 1. 348. Р'4/х = у/19 — х+ н/х. 349. хр' = 2 рсоа х — 2д. 350. Зд' = д'+ д. 351 дг(д — хд') = худ' 352. р' = (4т + р — 3), 353. (совх — тв1пт)дйх+ (хсовх — 2р) г(д = О. 354. худ' — 2хдд' = тг + Здг. 355.

— "'" + 2тд1пт+ 1 = О. у 356. хр' = хъ/д — х' + 2д. 357. (1 — хгд) Ох + хг(д — х) йд = О. 358. (2хе" + д4)р' = де". 42 г 9. Разине уравиеииа первого иорадиа 359. ху'(1пу — 1пх) = у. 360. 2д' = х + 1п у'. 361. (2хгу — Зу') у' = бхг — 2хдг + 1. 362.

ду' = 4х+ Зу — 2. 363. угу' + х~ еупг х = уг сд8 х. 364. 2ху' — у = е1пд'. 365. (хгуг+ 1)д+ (ху — 1)гху' = О. 366. дсбпх+ д'соат = 1. 367. х бу — д йх = х,lх' + у' бх. 368. де + х'д' = ху(у' + у'). 369. у' = ф2х — у+ 2. 370. (х — успех) йх+хсоя ~е1у = О. ззз. з (,'з ...

„з г нз') з, у о аз = ю. 372. (д' — х дзу) (хг — 1) = тд. 373. д' + (у' — 2д')х = Зу' — у. 374. (2х + Зу — 1) бх + (4х + бд — 5) бу = О. 375. (2хуз — у) йх + (уг + х + у) йу = О. 376. д = у'д1+ у' . ЗТТ. уг = (хуу' + 1) 1п х. 378. 4у = хг + у' . 379. 2хбд+ де)х+ хдг(хбд -~ узе1х) = О. 380. хссах+ (хе ссбу — Зсову) бу = О. 381. хгу' — 2(ху — 2)у'+ уг = О. 382. ху' + 1 = е 383.

у' = 18(у — 2х). 384. Зхг — у = у'~/х~ + 1. 44 110. Уравиепия, допускающие поссижепие порядка 407. ру + т = 2 408. у' = 409. (х сдг + 1 + 1) (дг + 1) с1:е = сер с(у. 410. (тг + уг + 1) ру' + (хг + уг — 1)х = О. 411. уг(т, — 1) с1х = х(ху ф х — 2у) с(д. 412. (х р' — д) г = тг р' — хс. 413.

трд' — тг „/уз+1 = (т-Р1)(рг+ 1). 414 (тг — 1)ус + рг — 2ху ф 1 = О. 415. у'1р у+4хз совр = 2х, Р 410. (хрс — р)г = р' 417. (т, + у) (1 — хр) с1х + (т + 2д) с(д = О. 418. (Ьху+ х+ д)дс1х+ (4ху+ се+ 2д)тс1у = О. 419. (хг — 1) с1х + (тгуз + хз + х) с(д = О. 420. х(у' + ел") = — 2у'.

9 10. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 1. Если в уравнение не входит искомая функция у, т. е. оно имеет вид Р(х, дСЩ. уСьос1,, уС"~) = О, то поряцок уравнении можно понизить„взнв за новую неизвестную функцию низшую из производных, входящих в уравнение, т. е. сделав замену уС~с = з. 2. Если в уравнение не входит независимое переменное х, т.

е. уравнение имеет вид Е(р, д', д~~, ..., рС" ) = О. то порядок уравнения можно понизить, взпв за новое независимое переменное д, а за неизвестную функцию у = р(д). П ример. Решить уравнение 2уу" = р" + 1. 110. Ураеие>тя. допускающие яаиижеиие порядка 4о В уравнение не входит в. Полагаем у' = р(у). Тогда с1(д') с1Р(д) ФР ед д = = = ' =РР. с(к с1в с!д с)к Подставлня д' = р и да = Рр' в уравнение, получим 2урр' = Рз з; 1.