А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 5

)у — уо~ ~ (6) сдуккиии з" и зк' кекрерыакы . Тогда ка некотором отрезке ха— с — д ( х < хо -!- д существует единственное решение уравнения (Ц, удовлетаорякпцее начальному услояиш у(хо) = уо. При этом можно взять д = тш(а;,ь ), где а и 6 указаны выше, а т — любое такое, что ~Д < нь в й. Последовательные приближении, определнемые формулами уо(х) = уе уь(х) = уз+ ~ З(г, уь (з)) дж 6 = 1. 2, ..., ло равномерно сходятся к решению на указанном отрезке.

3 а м е ч а н и е. Для существования решения достаточно только непрерывности 1(х, у) в области й, но при этом решение мажет не быть единственным. сТребоеанне непрерывности С'(у) можно заменить требовеннем ее ограниченности или условием Лицшица; ~у(х,ус) — Г(с, уз)! ( А~ус — уз~, й = соцзь. 3О '37. Существование и единственность решения 2. Система уравнений < | У| = 1|(х| у||» ° | У») у„' = ) (х., у|, ..., у;) (2) в векторных обозначениях записывается так; « =Х(х, «), (3) где У = (У|....., У„) и 1 = (ры ..., уо) вектоРы.

НепРерывность вектор-функции 1 означает непрерывность всех функций ры ..., д, а вместо вс рассматриваетсн матрица из частных производи|ах —,, ', |. к = 1, ...,и. в|. Теорема существования н единственности решения н все утверждения п. 1 остаются справедливыми и для системы, записанной в виде (3). При атом ~у~ означает длину вектора у: ~у~ = Я+" ~ы 3. Теорема существования и единственности решения для уравнения и-го порядка урй = Г(х, у, у: ", «'" ") (4) У(хо) = Уо У (хо) = Уо, , У (хо) = Уо уравнение (4) имеет единственное решение. Уравнение (4) можно свести к системе вида (2), если ввести новые неизвестные функции по формулам у = у|, у = уз, у = уз,, у о ' = у„. Тогда ураннение (4) сводится к системе | | | | «| =Уз, «|=Уз, .

Уп-|=У У»=йх: У| |У ) которая явлпется частным случаем системы (2) и к которой применимы все утверждения и. 2. 4.!! родоп жение ре|пепий. Во многих случаях решение уравнения (1) или системы (2) существует не только на отрезке, указанном в п. 1, но и на ббльшем отрезке. Если уравнение (1) или система (2) удовлетворяет условиям теоремы существования в замкнутой ограниченной области, то Пусть в области Р функция !' и ее частные производные первого порядка по у, у', ..., У|" Н непрерывны, и точка (хо, уо уо., уо ) лежит внутри Р. Тогда при начальных условиях "З 7. Существование и единственность решения З1 всякое решение можно продолжить до выхода на границу етой области.

Если правая часть уравнения (1) нлн системы (3) в области о <:с < Д, ~у( < оо (о н Д могут быть конечными нлн бесконечнымн) непрерывна и удовлетворяет неравенству )1(х, д) ~ < о(х) )у! -~- 6(х), и функции а(х) и 6(х) непрерывны, то всякое решение можно про- должить на весь интервал о < х < Д. 221. Построить последовательные приближения уе, уы уз к решению данного уравнении с данными начальными условиями: а) у' = х — у~, д(0) = О. б) у' = дз + Зх~ — 1 д(1) = 1.

в) у' = у+ е" ~, у(0) = 1. г) у' = 1+ хашу, у(х) = 2л. 222. Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решенинм следующих уравнений и систем: а) у' = 2х+ с, я' = у; д(1) = 1, я(1) = О. б) — х = у, — = х~: х(0) = 1, у(0) = 2. в) уо + у' — 2у = 0; у(0) = 1, у'(О) = О. г) — х = Зттл х(1) = 2. — * = — 1. де~ 223. Указать какой-нибудь отрезок, на котором сушествует решение с данными начальными условиями: а) у' = х+ уз, у(0) = О. б) у' = 2уз — х.

д(1) = 1, в) — х = 6+ ее, х(1) = О. г) — 'х = уе, — У = хис х(0) = 1, у(0) = 2. сй ' сМ 32 'З'7. Существование и единственность решение У к в зв н не. Оценить остаток ряда, сходнмость которого доказывается в теореме существования решения, см. [Ц, гл. П, З 1; [2). З 1яе 225. Пользуясь каким-либо достаточным условием единственностиз выделить области иа плоскости х, у, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравне- ния а) у' = 2ху+ уз, б) з 2+ з в) [х — 2)у' = зу — х, г) д' = 1+еду, е) ху' = у+ ~Гсдз — хз. д) [у — х)у' = у!пх, 226. При каких неотрицательных а нарушается единственность решений уравнении у' = [у[" и в каких точках? 227.

С помощью необходимого и достаточного условия единственности для уравнений вида у' = у[у) [см. [1), гл. 1П, ~ 4, и. 1, мелкий шрифт или [2), ~ 4) исследовать написанные ниже уравнения. Выделив области, где ~[зу) сохраннет знак, приближенно изобразить на чертеяге решения. Для уравнений д) и е) правые части при у = 0 доопределяютсн по непрерывности. ) з з З в) у = [у — 1) ~/уз, д)у =у1 у б) у'= дФЮ+1, г) у' = агссозу, е) у' = у 1п у. 22В.

При каких начальных условиях сун1ествует единственное решение следующих уравнений и систем? а) уи = сну+ Осхц в) [:с — у)д'ун' = 1пху, б) [х + 1)ди = у + иззу, г) уи — дун' = .-",сд' — ти д) — Ох=у'+И, — "=,,х, с1з ' вй е) 'з' — уз+ 1п(с+ц х "— л/з, сМ Й 224*. Для уравнении у' = х — уз с начальным условием у[0) = 0 построить третье приближение к решению и оценить его ошибку при 0 < х < 0,5. З 7. Сдиьествование и единственность решения 33 229.

Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости и, у пересекаться в некоторой точке (то, уо) а) для уравнения у' = т, + дг? б) для уравненил ди = и + уг? 230. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости г,, у касаться друг друга в некоторой точке (жо, уо) а) для уравнения у' = т+ дг? б) дпя ураВПЕПИя до =:С -'; дг? в) для уравненин уо' = ш + уг? 231. Сколько существует решений уравнения урй = т + + уг, удовлетворяющих одновременно двум условиям: у(0) = = 1, у'(О) = 2? Рассмотреть отдельно случаи и, = 1, 2, 3.

232. Сколько решений уравнения убй = )'(ж, у) (д" и („' непрерывны на всей плоскости ж, д) проходит через точку (жо, уо) по заданному направлению, образующему угол а с осью От? Рассмотреть случаи и = 1, и = 2 и п. ) 3. 233. При каких я уравнение убй = г (зк у) (г" и,/и' непрерывны) гпожет иметь среди своих решений две функции: дь — — ж, уг — — а+у,? 234. При каких п уравнение уйй = 1(и, д, д', ..., уь" 0) с непрерывно дифференцируемой функцией 1 может иметь среди своих решений две функции: уь — — ж, дг — — вши? 233'. Пусть 1(ж, д) непрерывна по:г, д и при каждом ж не возрастает при возрастании у. Доказать, что если два решения уравнения у' = )'(х, у) удовлетворяют одному и тому же начальному условию у(хо) = уо, то они совпадают при ж ) то.

236. Сколько производных имеют решении сведующих уравнений и систем в окрестности начала координат? (Теорему о гладкости решений см. (2), ) 19 или [4], ~ 6, теорема 1.4.) а) дь ж+ дт/з б) у! и~и~,„г в) у — ~ж ~+у? ., г) у — у — жлсж, д) 41и Г+ У, + 12~1~ 414 ' ' 41 .) 41- = 32+,~/~4, бу =;тж, сй ' ае 34 18. Уравггенил, не разрешенные относительно производной 237*. При каких о каждое решение продолжается на бесконечный интервал — сс < ш < +ос а) для уравнения у' = ~д~ ? б) для уравнения д' = (дз + ег)а? в) для уравнения р' = )д)е г + ~й сазу~ ? г) для системьг д' = (уз+за+ 2) ", с' = д(1+ аз)"? 233*. Для следующих уравнений доказать, что решение с произвольным начальным условием у(то) = уо существует при то (х <+ос: а) д тз дз б) д' =;ср+е ".

239'. Пусть на всей плоскости ш, д функпии ?(шг у) и ~'(шг у) непрерывны и ~,',(ш, у) < й(гс)ь функция?с(т) непрерывна. Доказать, что решение уравнения у' = 1(зц у) с любым начальным условием р(шо) = уо существует при шо ( ш < +со. 240'. Дана система в векторной записи д' = д"(щ, у). удовлетворяющая условиям теоремы существования в окрестности каждой точки (тг у). Пусть в области ~у~ > 6 при всех т д. С(щ, д) <?с(ш)!гДз где д ? — скалярное произведение, а функция ?с(ш) непрерывна. Доказать, что решение с лгсбым начальным условием у(що) = уо существует при:сг, < т < +ос.

38. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 1. Уравнения вида д(й, у., у') = 0 можно решать следующими методами. в) Разрешить уравнение относительно у', т. е. из уравнения Р(ась у, у') = 0 выразить у' через щ и у. Получится одно нлн несколько уравнений вида у' = 1(й, д). Каждое из ннх надо решить. б) Метод введения параметра'. Здесь иалвгветсл простейший вариант етого метода. полее общий вариант см. (Ц, гл. 111, 1 3, и. 1. 38. Уравнения, не разрешенные относительно производной 35 Пусть уравнение Р(х, у, р~) = О можно разрешить относительно Ро т.

е. записать в виДе Р = Г(х, Р'). ВвеДЯ паРаметР с1д Р= =Р~ Йх получим Р=Х(х,р). (2) Взяв полный дифференциал от обеих частей равенства (2) и заменив Йр через РЙх (в силу (1)), получим уравнение вида М(х, р) с1х -~- зт'(х, Р) Йр = О. Если решение этого уравнения найдено в виде х = х(р), то, воспользовавшись равенством (2), получим решение исходного уравнения в нариметрической записи: х = 1о(Р) р = з (Ф(Р); Р). Уравнения вида х = Г(р, р') решаются тем же методом. Пример. Решить уравнение у = х+ у' — 1пу'.

Вводим параметр Р = у: (3) д = х -~- р — 111 р Р— 1 (р — 1) Йт, = г!р. Р (4) а) Если Р ~ 1„то сокращаем на р — 1: Йт = —, х = 1пр -ь С. с1р Р Подставляя это в (3), получаем решение в параметрической записи: (б) х = 1пр -ь С, р = Р+ С. В данном случае можно исключить параметр р и получить решение в явном виде. Для этого из первого из уравнений (5) выражаем Р через х, т.

е. Р = е* х Подставлян это во второе уравнение, получаем искомое решение: р=е' ";С, (6) б) Рассмотрим случай, когда в (4) имеем Р = 1. Подставляя Р = 1 в (3), получаем еще решение (2) Берем полный дифференциал от обеих частей равенства и заменяем Йу на рс1х в силу (бй Йу = Йх+Йр — -л, РЙх = Йх+Йр — -л. Решаем полученное уравнение. Переносим члены с Йх влево, с Йр — вправо: 36 З 8.

Уравнения, не разрешеяиые относительно яроизводиой (Ныла бы ошибкой в равенстве р = 1 заменить р на р' и, проинтегрировав, получить у = х ф С.) 2. Регнение р = 1р(х) уравнения Е(х, р, р') = О называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое решение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение у = ьз(х), но не совпадающее с кнм в сколь угодно малой окрестности этой точки .