А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 4

(зшз у+ хетту)д' = 1. 148. (2х + у) Оу = у е1х + 4 1п у йу. 150. (1 — 2ту)д' = у(у — 1). у' + 2у = узе'. 151. 152. (х+ 1)(у'+ рз) = — у. 153. у' = де солт+ утдх. 154. тузу~ — тз .., 'дз 155. ху с(у = (д' + х) е1т. 156. хд' — 2хз 'у = 4у.

157 ту! + 2д+ хвузех О 2у' — — * = — в" —. о ео — е' 158. у'хз аш у = хд' — 2д. 159. 160. (2хзу 1п у — т) у' = у. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнения 161 — 166 к линейным и решить их. З 5. Линейные уравнения первого порядка 23 161. хбх = (х~ — 2д-Р1) Вд. 162. (т+ 1)(дд' — 1) = д~. 163.

х(е" — д') = 2. 164. (хз — 1) д' зш д + 2х сол д = 2х — 2хз. 165. д(х) = ) д(Г) Ф + х+ 1. о 166. ) (х — Г)дЯ 4Г = 2х + ) дф сМ. о о В задачах 167 — 171, найдя путем подбора частное решение, привести данные уравнения Риккати к уравнениям Бернулли и решить их. 167. хзд'+ хд+ хздз = 4. 168. Зд'+ да+ -Я = О. 169.

хд' — (2х+ 1)д+ дз = — хз. 170. д' — 2хд+ д~ = 5 — хз. 171. д' + 2 дее — дз = е™ + е' . 172. )1айти траектории, ортогональные к линиям семейства дз = Се + х+ 1. 173. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осими координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная Зо . 174. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равнан а-'. 175. В баке находится 100 я раствора, содержащего 10 кг соли. В бак втекает 5 я воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой.

Избыток жидкости из него выливаетсн. Вогда количество соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно? 176. За время ЬГ (где ЬГ очень мало и выражено в долях гола) из каждого грамма радия распадается 0.,00044 ЬГ грамма 24 я б. Липвйпив урававяип первого порядка и образуется 0,00043 Ьг грамма радона. Из каждого грамма радона за времн гхг распадается 70 гав грамма. В начале опыта имелось некоторое количество хо чистого радия. Когда количество образовавшегося и еще не распавшегося радона будет наибольшим? 177.

Даны два различных решения уг и уз линейного уравнения первого порндка. Выразить через них общее решение этого уравнения. 178. Найти то решение уравнения д'яш2х = 2(у+соях), которое остается ограниченным при х †>л/2. 179*. Пусть в уравнении хд' + ад = Дх) имеем а = = сопят > О, ?(х) — г Ь при х з О. Показать, что только одно решение уравнения остаетсн ограниченным при х — г О, и найти предел этого решения при х в О. 180'. Пусть в уравнении предыдущей задачи и = сопят < О, р(х) — ~ Ь при х -+ О. Показать, что все решении этого уравнения имеют один и тот же конечный предел при х -з О. Найти этот предел. В задачах 181 — 183 искомое решение выражается через интеграл с бесконечным пределом.

181'. Показать, что уравнение аг + х = У(о), где ~Дя)~ < М при — со < 1 < +ос, имеет одно решение, ограниченное при — оо < 1 < +ос. Найти это решение. Показать, что найденное решение периодическое, если функция ?(1) периодическая. 182*. Показать, что только одно решение уравнения хд'— — (2хз+1) д = хз стремится к конечному пределу при х — з +ос, и найти этот предел.

Выразить это решение через интеграл. 183*. Найти периодическое решение уравнения д' = 2усоя х — я|ах. 184'. ПУСТЬ В УРаВНЕНИИ аг + а(г)Х = ~(Я) а(г) > Г. > 0 /(1) — з 0 при 1 — г +со. Доказать, что каждое решение этого уравнении стремится к нулю при г — > +ос. З 6. Уравнения в полных дифференциалах 25 х85*.

Пусть в уравнении предыдущей задачи имеем а(г) > с > О и пусть хо(1) — решение с начальным условием хо(О) = Ь. Показать, что для любого е > О существует такое Б > О, что если изменить функцию 1(1) и число Ь меньше, чем на 6 (т. е. заменить их на такую функцию 1г(1) и число Ьы что (Л(Ь) — ф(1)( < д, (Ьг — Ь) < д), то решение хо(1) изменится при 1 > О меныпе, чем на в.

Это свойство решения называется устойчивостью по постоянно действующим возмущениям. Об. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЬ1Х ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ 1. Уравнение М(х,. у) дх -'г 1г'(х, у) йу = О называется уравнением в полных дифференциалах, если его леван часть является полным дифференциалам некоторой функции 1Я(х, у). Это имеет место, если = —. Цтобы решить урав- дМ д.у ду дх пение (1),надо найти функцию Р'(х, у), от которой полный дифференциал дГ(х, у) = Г,'„дх -Ь Гз' йу равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) мошно написать в виде го(х, у) = С, где С -- произвольная постоннная. Пример.

Решить уравнение (2) (2х+ Зх у) дх+ (х — Зу ) йу = О. Так как — (2х г- Зх у) = Зх, —,(т — Зр ) = Зх, то уравнение (2) д г г д з г . г ду ' 'дх,' являетсн уравнением в полных дифференциалах. Иайдем функцию Ь'(х, у), полный дифференциал которой дР = Е,' йх -Ь Рг' йу был бы равен левой части уравнения (2), т. е.

такую функцию Г, что (З) ~Р=2хфЗт, у, Интегрируем по х первое из уравнений (3). считая у постоннным; при етом вместо постоянной интегрирования надо поставить х(у) неизвестнуго функцию от д: з /(2х+З г )д,, г+,з +, ( ) 26 36. Уравнения в полных диурсеренциалах Подставлня зто выражение для йе во второе из уравнений (3), найдем 1и(у): (х -Ь х у-Ь си(у)) = х — Зу; сл (у)= — Зу; ис(у)= — у -!-сопит. х +ху — у =С. 2. Интегрирующим множителем для уравнения ЛХ(х., у) с1х ф Х(х, у) йу = О (4) называется такая функция гн(х, у) р! О, после умножения на ноторую уравнение (4) превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции М и ссс в уравнении (4) имесот непрерывные частные производные и ие обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует.

Однако нет общего метода для его отыскания (когда общее решение уравнения (4) неизвестно). В некоторых случаях интегрирующий множитель можно найти с помощью приемов, изложенных в (1), гл. 11, 3 3, и. 3 или в [4], гл. 1, 3 б. Для решении некоторых уравнений можно применять метод выделении полных дифференциалов, нспользун известные формулы: й(уз) = 2ус1у, йу й(1пу) = — и т.

п. у с1(ху) = уйх+ хс1у (х) у йх — х йу П р и м е р. Решить уравнение у с1х — (4хзу ф х) с!у = О. (3) Сначала выделяем группу членов, представлнющую собой полный цифференциал. Так как у йх — х йу = — хз й(уСх), та, деля уравнение (5) на — тзс имеем й ( — ') + 4у йу = О, й(д) Ьй(2д') =О. Это — уравнение в полных дифференциалах. Интегрирун непосред- ственно (приводить к виду (1) пе иулспо). получаем решение — +2у =С. Следовательно, можно взнть Г(х, у) = х + х у — у .

и общее рез з шение ураиненин (2] будет иметь вид 16. Уравнения е колких дисрусерекииалах 27 Кроме того, при делении на — хз было потернно решение х = О. 3 а м е ч а н и е. Так как после деления уравнения (б) на — хз, т. е. умножения на — 1сссс', получилось уравнение в полных диффсренцивлах, то интегрирующий множитель для уравнения (5) равен -1/хз. 3.

Если в уравнении (4) можно выделить полный дифференциал некоторой функции ср(х, у), та иногда уравнение упрощаетсн, если от переменных (х„у) перейти к переменным (х, з) илн (у, з). где з = сс(х, у). Примеры. 1) Решить уравнение уйх — (хзу+ х) йу = О. Выделив полный дифференциал как в предыдущем примере, получим й( — )+хуйу=О. Перейдя к переменным з = у/х и у, получим уравнение йз-ь — йу.= О.

у которое легко решается. 2) Решить уравнение (ху+ ус) йт, + (х' — хуз) йу = О. Сгруппируем члены так, чтобы выделить полные дифференциалы х(уй*+ йу)+у'(уй*-хйу)=О, й( у)+узй('') =О, Разделив на х и сделав замену зу = и, хссу = и, получим уравнение 2 йи -~- — с1о = О, которое легко решается. о В задачах 186 †1 проверить, что данные уравнения явлнютсн уравнениями в полных дифференциалах, и решить нх. 186. 2хуйх+ (хз — уз) йу = О. 187, (2 — 9хуз)х йх+ (4уз — Охз)у йу = О.

188. е ийх — (2У+ хе, ") йу = О. 189. — с1х + (у + 1п х) с1у = О. з з 190. зх +у с1х — 2х + бу йу — О. У У З б. Уравнения в ие.сных дифференциалах 28 191. 2х (1+ ~!хз — у) с1х — тссхз — ус1у = О. 192. (1+ уз вш2х) с1х — 2дсовз хс1у = О. 193. Зхз(1 + 1п д) с1х = (гу — — *) с1у. < (х ж 1) сое д + 2) с)х +, с(у = О. сби у ) сов гу — 1 194.

195. (т + у + х) с(х + у с1у = О. 196. (тз + уз -с-у) с1х — хс1у = О. 197. ус1у = (хс1у+ ус1х) ссс1+ уз. 198. хуз(ху'+ у) = 1. 199. у" с1х — (ху + хз) с1у = О. 11 с!у гОО. д — -) Ох+ — = О. х у 2О1. (ха+ 31 у)ус1х = хс1д. 202. уз с1х+ (ху+ Сдхд) с1у = О. 203. у(х + у) с1х + (л:у+ 1) с1у = О. 204.

у(у + Ц с1х + х(уз — + Ц с1д = О. 203. (з:з + гх+ д) Ох: = ( . 3. у) ау. 206. ус1т — хс(у = 2хз18 ~~ с(х. 207. уз Ох + (е» вЂ” у) с)д = О. 208. хсубх = (уз + хзу+ тз) с1у. 209. сеид(дух+ хс)у) = 2ус1х+ хс1д. 210. (хз — д'+ д) с)х+ х(2у — 1) с(у = О. 211 (гхзуз + д) с$х+ (хзу х) Ду О 212. (2тауз — 1)ус1х+ (4хздз — 1)хс1д = О. Решить уравнения 195 — 220, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных.

67. Существование и единственность решения 29 213. у(х -~- дз)с1т + хз(у — 1)с(!с = О. 214. (хз — ь4п~ у) с(х+ хгПп2ус1у = О. 215. х(!яр+ 21пх — !) с(у = 2дс1х. 216. (тз + 1)(2хс1з:+ сов рс1у) = 2х венус)зь 217. (2хзрз — у) с(х+ (2тзуз — х) Пу = О. 216 хауз+ у+ (зздз х)дс = О, 219. (хз — у) с(х + х(у + 1) с1у = О. 220. уз (д с(х — 2т с(р) = хз (х с(д — 2у с(х) . 2 Т. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ !. Теорема существования и единственности решенин уравнении у = .г"(х, у) (!) с начальным условием у(хо) = уа Пусть е замкнутой области К (~х — хо~ ~( а.