А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 3

Ускорение силы тяжести считать равным 10 м/сека. 88. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельнан скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 16 ~~3. Геоззетдичеение и физичеение задачи 50 лз/сек. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. 89. Футбольный мяч весом 0,4 иГ брошен вверх со скоростью 20 лз/сек. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 Г при скорости 1 лз/сея.

Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема. Как изменятся зти результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха? 90. Вычислить время падения мяча с высоты 16,3 лз без начальной скорости с учетом сопротивления воздуха (см.

задачу 89). Найти скорость в конце падения. В задачах 91 — 95 приннтзн что жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной 0,6/2дА, где я = 10 ж/сеиз— ускорение силы тнжести, 6 — высота уровня воды над отверстием. 91. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2Н = 1,8 лз и высотой Н = 2,45 лз через отверстие в дне диаметром 2г = 6 слз? Ось цилиндра вертикальна.

92. Решить предыдущую задачу в предположении, что ось цилиндра расположена горизонтально, а отнерстие находится в самой нижней части цилиндра. 93. Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды нз полного бака вытекает за 5 минут. За какое времн вытечет вся вода? 94. Воронка имеет форму конуса радиуса ?? = 6 слз и высоты Н = !О см, обращенного вершиной вниз. За какое время вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие диаметра 0,5 слз, сделанное в вершине конуса? 95. В прямоугольный бак размером 60 слз х 75 см и высотой 80 слз поступает 1,8 л воды в секунду.

В дне имеется отверстие площадью 2,5 слзз. За какое время наполнится бак? Сравнить результат с временем наполнения такого бака без отверстия в дне. 96. Резиновый шнур длиной в 1 лз под действием силы 7 кГ удлиннется на 91 метров. На сколько удлинится такой же шнур длины ! и веса Р под действием своего веса, если его подвесить за один конец? 17 з 4. Однородиа~е уравнения 97. Найти атмосферное давление на высоте Ь, если на поверхности земли давление равно 1 кГ!скз и плотность воздуха 0,0012 г/с из. Использовать закон Бойлн Мариотта. в силу которого плотность пропорциональна давлению (т. е.

пренебречь изменением температуры воздуха с высотой). 99. Для остановки речных судов у пристани с них бросают канат, который наматывают на столб, стонщий на пристани. Какан сила будет тормозить судно, если канат делает три витка вокруг столба, коэффициент тренин каната о столб равен 1/3, и рабочий на пристани тянет за свободный конец каната с силой 10 кГ? 99. В закрытом помещении объемом с зсз находится открытый сосуд с водой, Скорость испарения воды пропорциональна разности между количеством от водяного пара, насыщающего 1 жз воздуха при данной температуре, и количеством с) водяного пара, имеющемся в 1 ясз воздуха в рассматриваемый момент (считаем, что температура воздуха и воды, а также величина площади, с которой происходит испарение.

остаются неизменными). В начальный момент в сосуде бьыо то гРамм воды, а в 1 жз воздУха оо гРамм паРа. Сколько воды останется в сосуде через промежуток времени у? 100. Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива ги, скорость истечения продуктов горения из ракеты равна с, начальная скорость ракеты равна нулю.

Найти скорость ракеты после сгорания топлива. пренебреган силой тяжести и сопротивлением воздуха 1формула Циолковского). В 4. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Однородные уравнения могут быть записаны в виде у' = = Г' (Х), а танзке в виде М(х, у) с1х ф Дс(х, у) йу = О, где М(х, у) и Ж)х,, у) — однородные функции одной н той жс степени'. Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену д = 8х, после чего получается уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение хс)у = 1х+ у) с)ах Функция М(х, у) называется оянорояной функцией степени я, если яяя всех Ь > О имеем М)ух, Лу) = Ь ЛХ)х, у). 34. Однвродныв уравнения Это уравнение †. однородное, Полагаем у = Сх, Тогда йу = = х й! + 4 йх. Подстанляя и ураэнение, получим х(хй1+ ! йх) = (х+ Ьх) йх; хй! = йх. Решаем полученное уравнение с разделяющимисн переменными й! = —; Ф = 1и!х! "; С.

йх Возвращаясь к старому переменному у, получим у = х(!и ~х~ + С). Кроме того, имеется решение х = О, которое было потеряно при делении на х. 2. Уравнение нида у' = / (лтлх"-~лтлт) приэоднтсн к однород- -~-Вэес ному с помощью переноса начала координат э точку пересечения прямых ах+ Ьу+ с = О и а~ э+ Ь|у+с, = О. Если же эти прямые не пересекаются, то агх -~ Ь|у = Ь(ах -1- Ьу); следовательно, уравнение имеет эид у' = Р(ах + Ьу) и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой з = ах -1- Ьу (или з = ах 4- Ьу -~- с), см. 3 2, п. 2. 3. Некоторые ураанения можно привести к однородным заменой у = з'".

Число гп обычно заранее не известно. Чтобы его найти, нада э уравнении сделать замену у = з'". Требуя, чтобы ураэнение было однородным, найдем число гн, если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то ураанение не приводится н однородному этим способом. Пример. Дано уравнение 2х~уу+у~ = 4тв. После замены у = = з уравнение примет эид 2тхлзз 'з'+ з~"" = 4ае. Это ураэнение будет однородным э том случае, когда степени всех его членов равны между собой.

т. е, 4 + (2гн — 1) = 4гн = 6. Эти раэенстэа удоэлетэоряются одновременно, если пг = 3/2. Следовательно, уравнение можно привести к однородному заменой у = з ~ . Решить уравнения 101 — 129. 101. (х+ 2у) с1х — хйу = О. 102. (х — у) йх + (х + у) йд = О. 103. (ул — 2хд) йх+: йд = О. 104 2хзу~ у(2хз ул) 105. уз -1- хзу' = худ'. 106. (хз + уз)д' = 2хд. г4. Однородные уравнения 19 107. тд' — У = и Сй Ле. 108. ху' = д — хеи/е. 109.

ху' — д = (х+ у) 1п.* — -~Л. 110. ху' = усов1пл. 111. (у+ Ъу) йх= хс1у. 112. ху' = с/хг — уг+ д. 113. (2т, — 4У+ 6) с1:в + (х + у — 3) Од = О. 114. (2х + у + 1) Ох — (4х + 2У вЂ” 3) Йу = О. 115. х — у — 1+ (у — х+ 2)у' = О. 116. (х, + 4у)д' = 2х + Зд — 5.

117. (у + 2) Ох = (2х + у — 4) с1У. 119. (у' + 1) 1п ' х + 3 х -ь 3 гд+ 2 у — 2,г 120. у'= +сй х+1 х+1 г' (у 'в) = у . 122. 2хгу' = да+ ху. 123. 2т йд + (хг ус + 1) у бх = О. 124. у 6х+ х(2ху+ 1) йу = О. 125. 2У'+ х = 4 /у, г г 12С ЫУ'+У=у „, — * Р . 123 г хддс — /хв ус + уг 129. 2у+ (хил+ 1)ху' = О. 130. Найти траектории, пересекающие кривые данного семейства иод углом в 45', причем этот угол от касательной 20 З 5.

Линейные уравнения первого порядка к кривой до касательной к траектории отсчитываетсн в отри- цательном направлении. а) у = т!пСх; б) (х — Зу) = Схув. ( 2уз — х б) у'= ху а) у'= у(2у — х) уз г):гу =у+~/д~+ . 2у —:ге у в) у' = 2хзу — хз' У к а з а н и е.

Тангенс угле между лучом у = дх и пересекающей его интегральной кривой уравненнп у = т(у((х) равен Щ?г) — д) / (1 + к!'(1)) (почему?). Длп приближенного построения интегральных кривых надо исследовать знак этой дроби в зависимости от к. 3 5. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Уравнение д + а(х)д = Ь(х) (!) называется линейным. Чтобы его решить. надо сначала решить уравнение д + а(х)у = 0 131. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касании и от начала координат. 132.

Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания. 133. При каких гг и Н уравнение у' = ахи+ +бра приводитсн к однородному с помощью замены у = з™? 134*. Пусть йе -- корень уравнения 1(к) = (г. Показать, что: !) если 1'()го) < (( то ни одно Решение УРавненин У' = = )(угх) не касаетсн прямой у = кол( в начале координат: 2) если д((()го) > 1( то этой прямой касается бесконечно много решений. 135. Начертить приближенно интегральные кривые следующих уравнений (не решая уравнений): З 5. Линванмв уравнения первого порядка 21 (это делается путем разделения переменных, см. Ь 2) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(:г).

Затем выражение. полученное для д, подставить в уравнение (1) и найти функцию С(х). 2. Некоторые уравнении становятсн линейными, если поменять местами искомую функцию и независимое переменное. Например. Уравнение д = (2х+ д )д', в котором д является функцией от х, — нелинейное. Запишем его в дифференциалах: удх — (2х+ ф у ) г!д = О. Так как в это уравнение х н г!х входят линейно, то уравнение будет линейным, если х считать искомой функцией, а д — независимым переменным. Это уравнение может быть записано в виде г(х 2 — — — х=д г(д д и решается аналогично уравнению (1). 3.

Чтобы решить уравнение Бернулли, т. е. уравнение д -!- а(х)д = Ь(х)д, (и ф 1), надо обе его части разделить на д" н сделать замену 1/д" После замены получается линейное уравнение, которое могкно решить изложенным выше способом. (Пример см. в [1), гл. 1, З 4, и. 2, пример 10.) 4. Уравнение Риккати, т, е, уравнение д -!- а(х)д + Ь(х)дг = с(х), в общем случае не решаетсн в квадратурах. Если же известно одно частное решение дз(х), то заменой д = дз(х) + г уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли н таким образом могкет быть решено в квадратурах. Иногда частное решение удается подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, ие содержащего д).

Например, для уравнения д -!-д = х — 2х в левой части будут члены. подобные г г членам правой части, если взять д = ах+Ь. Подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты при подобных членах, найдем а и Ь (если частное решение указанного вида существует, что вовсе не всегда бывает). Другой пример: для уравнения д'+ 2дг = бггх те же рассуждения побуждают нас искать частное решение в виде д = а/х. Подставляи д = а/х в уравнение, найдем постоянную а.

Решить уравнения 136 — 160. 136.:гд' — 2д = 2хо. 22 З5. Линейные уравнения первого порядна 137. (2т+1)д' = 4т+2д. 138. д'+ дт8т = вест. 139. (ту+ в ) От — тОд = О. 140. хо у' + ху + 1 = О, 141. у = х(у' — х соа х). 142. 2х(:гз + д) <1х = Йу. 143. (ху' — 1) 1п х = 2д. 144. ту' + (х + 1) д = Зтзе *. 145. (т + рз) Дд = у е(т, 146. (2ен — т)д' = 1. 147.