А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 26
Описание файла
PDF-файл из архива "А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 26 страницы из PDF
1030. (1, — ! ) и ( — 1, 1) узлы, (3, 3) и ( — 3, — 3) седла. 1031. ( — 1) и ( — 1, 1) седла. (3, 3) и ( — 3, — 3) узлы. 1032. (О, О) фокус, (Т, 1) узел, (О, 8) и (3. — 1) седла. 1033. (О, 0) фокус, (2, 4) узел, (1, Ц и ( — 1, 1) седла. 1034. (2, 1) узел, ( — 1, 2) фокус, (1, 2) и (1, — 2) седла. 1035. 1ол+ Зашло = О. 1036. т1вл+ 1з(~Ос(Д + лилвшло = О.
1037. ф + в(поз = -'. 1038. шх + /вбллаз+ йх = О. 1039. В (А/1)з раз. 1047. /(ло) = О; при возрастании т функция /(т) менпет знак с ф на †; меннет знак с — не ф; не макнет знака при переходе через нуль. 1048. а< — 1/2; а) — 1/2. 1053. т, = ~бес)л ' . 1054. х = у; ал(х' + у') = — 2улн(у)<О при 2 з/л— у ~ О. 1056. Меньше, чем нв О,ОЗ. 1057. Меныпе, чем на 0,05(езт— — 1). 1058. Ошибка меньше 0,081.
1059. )у — у(<0,015. 1060. (х— — х( ф )у — у)<6,0012. 1061. )у — у(« 0,062. 1062. (у — у(<0,015. 1063. ~у — у~<0.034. 1064. езв — х — 1. 1065' в зз + х + -~- 1. 1066. е' з. 1067. 1(е ' — е '). 1068. —:Гл — "л(з:и. 1069. 1070. 1~ 1п1-~- 21з — 25 1071. — ез' — 2е ' — Зе з'. 1072. — — '„л л ф р ( =, + л — з,„т+ лв) + О(р ). 1075. у = 2ъЛх+ Зр(х -х )+и (злхы лт 4 ззт л — з.
зл )+О(рз) 1076 у — 14-р(х — х) + и 'Л 'Л + 0(рз). 107Т. у = — '+ Зр+ рз (Зт — Зх) + О(рз). 10Т8. у = х — р(х+ 1) + (р /2) (е' — тз — 2х — 1) + 0(рл). 1079. х = = яп1-Ь р(-' — -' сов 21) -Ь рз(1 яп1 — -'вш31) + 0(рз). 1080. х = сов 21 + р(ло з' сов41) ф р (»осов21+ овз совбл) + О(р ). 1081. х = р сов в ф р ( — з сов 1 ф — ', сов 31) ф 0(рв). 1082.
хл = 1-Ь 3 з 2 -Ьрвлпс — лл-(1-Ьсов 21) 40(р ), хз = — 1 — л влллв-Ь"- (1 — з сов 21) ф -~- О(рз). 1083. зз = — 'з в)п 21 -~- —" (яп 21 — злв вш 61) -~- 0(ро), хз = = к — лз- яп 21 — 1еооо о( о влп 21 — — — „', яп 61 ) -~-0( р ) . 1084.
х = в вш И\ -~- л яп 21 — л яп 31+0(р). 1085. х = 29 л влив — р ( л влпб -~- л яп 31)-~- + О (1лв) . 1086. х = Ссовт+ С' (-,' — -' солт — -'. сов 2т) + О(Сз), т = 1(1 — лзС -~- О(С )) + Сз. 1087. х = Ссовт + — '(совбт— — солт) -~-0(С'), т = 1 (1 ф зС -Ь 0(С')) -Ь Сз. 1088. х = С сов т'; -~- — ($ овт — совбт) ьО(С ), т = 1(1 — — „+ 0(С ))-ьСз. 1089 х = = 2 сов т -~- з ряпт — и вшбт -~- 0(рз), т = 1 (1 — —" -~- 0(р )) -~- С.
1090. х = з. солт+-„ф= япбт+О(рз), т = (1 — е — + 0(лл )) 1+С. 168 Ответы 4 3 4 1091'у !+х4 г ' з + зг +'' 1092'у !+к+ з з + г 6 4 з 1093. у = — -)- —. -)- — -)- ... 1094. у = х -)- х — — — — —... 1095. у = )+ 2(х — 1) + 4(х 1)2+ гз (х — 1)з+ 4'(х — 1) 1096. у = 1+ 2х — — * — 'з — — * — ... 1097. у = 4 — 2х+ 2хг— — 2х' + — 'зх + ...
1098, Л)0,73. 1099. Ошибка меньше 0,00024. 4 6 5 6 1100 уз= 1 )-64-) з4 6 ! "'"уз =х ) 45 ) 4'63 ) ... 1101 ° уз = 2 4 6 3 5 Т 1102. Ул = 1+ х +х -Ь ... = -;-4-2, уг = х 4. х 4. хз+... = 4,2. 1103. Ул = 1 — -х + — 'т —... = )1+х ) 3, уг = х — -х -Ь вЂ” х 3,2 35 4 2 — Зз, 4 3 46,5 2 24' ''' ' ' 3 ' 35 2 3 зг 4 г, 3 3 4 —... 1104. Ул = 1 — — — — — ' — ..., Уг = и+ х + — "+ — + 2,2 24, '''' б 4 1105. Ул = 1-) х — х — х"-) х -)-х — ... = 4,.) г Уг = хул.
3,6 66 64 „3 1106 ул =1 — б — — б-й, У2 = хн-'б — лг-Ь. 1107 ул =1 — б Ь 46 + 4623+ Уг = х гг + лзб+ ' ' ' 1108' У" = 1+ г + лг + тг + „6 з Уг = х+ — * -Ь вЂ” '+... 1109. Ул = 1 — '— -Ь ..., Уг = х -Ь "—, б ы б з лг 2 +...,Уз=а с — '" †... 1110 уз=1 з, + —,, 4 у, = -' — —., + 4 — ... = -",. 1111. у, = 1+1+ —., + 4+ 2! 4' г з.' Мзу 2,4 1 2)з/ 2/ 2 3 43 726 + ''' Уг = х+ г + з + 26 + ... 1115. Ул = х+х + з~ + з' + 2 4 6 + ... = хе .
1116. Ул = 1+, -). 224х -с 2212хбх )- ... 1117. Уг = =(: ) 1+ 6х + 642 +...))и )х~ — *4 —,26 — ... 1118. Ул и Уз— обобщенные степенные ряды с иррациональными показателями. 1119. Ул и уг — ряды с комплексными показателями, 1120, Реше- ний в виде обобщенных степенных рядов нет, так как получаемый ряду = 1+1!х+2!хг+3!хз+... имеет нулевой радиус сходимости. 1 сы 23 — 1). 1121. У = У ) Е Лгй — л) Лй — йеЦ й=л 1122., = $ + 4 ~ „л „(сов 29х — 432 л аш26зх).
й=л 66 „4.3 „63 6й,й 1123. у =~~ г ))йзей)-бц Л=г 1124. У = — б г + 4 Е йг(зйгбл)' й=л Ответы 1125. у = 2 гзв — "г — „'з- -!- СгсовЗх -!- СгвЗпЗзз 1136. !<у(у'3. 2=1 " с„2 1 — с 2 1137. ! + х'<д<! 4 хг+ атсЗЗх. 1141. у = Сге '", г = е 2с1 сг 1142. д = Сгес1, г = х -!- - зе~'; у = О, г = х -!- С. 1143. у = г = Сх. 1145. д = — с 2- -22.(х 4 Сг) — 2 (х+ Сг), г = ~4(х 2- + Сг) + —. 1146. у = Сгз, х = 2у — г+ Сг 1147. х — у = С1, х -!- у = Сгз.
1148. х — у = С1(д — з), (х+ у + г)(х — у)' = Сг. 1149. х+ = С, ( + у+ )(у — Зх — ) = С . 1150. ' — ' = С, д — и = Сг, (х -!- г) = Сз(и !- у). 1151. х -!- г = С1, д + и = = Сз, (х — з) -!- (у — и) = Сз. 1152. х' — 2у = С1, Оху — 2хз— — Згг = Сг. 1153.
у -!- гг = Сг, х — уг = Сг. 1154. х = Сгу, з:у — г = Сгх. 1155. х = Сгуг ху — 2~/А + ! = Сг. 1156. у = = Сгг, х — уг — гг = Сгг. 115Т. уг -!- 22 = С12 х(у — г) = Сз. 1158. хг = Сг, ху + гг = Сг. 1159. х -'; г — у = С12 )и ~х~ + —" = Сз. 1160.
хг-!- уг-!- гг = С12 уг = Сгх. 1161. 1) да; 2) нет. 1162. 1) нет; 2) да. 1163. Да. 1164. Зависимы. 1167. г = Цх~ + у ). 1168. г = = У(ху -!- уг). 1169. и = )(у(хг 2/х). 1170. и = У((2,"~20 г~ Ы ) 1171. Р(хг — уг, х — у+ з) = О. 1172. Р(е ' — у, з + - —::,— "-(ггт) = = О. 1173. Р(хг — 42, (х + у) (х) = О. 1174. Р(х + у, 222х) = = О. 11Т5. Р ( †, ху — з,') = О.
1176.Р (,†'„ т „-',,†,'„ -!- †,') = О. 117Т. Р(хг + уз у(г + тгзг + 1)) = О. 1178. Р( — ' — 1, )пасху~ — — ') = = О. 1179. Р(хг + уг, ахсз3(хг2у) + (з+ 1)е 2) = О. 1180. Р(зг — уг, хг + (д — з) ) = О. 1181. Р ( — ', 2х — 4г — у ) = О. 1182. Р(г — !п(х(,2х(г — Ц вЂ” уг) = О. 1183.
Р(13г+с13 х,2у— — ЗЗгг) = О. 1184. Р((-*-,тз — ';-', (х — у)(х+ у — 2г)) = О. 1185. Р Цх — д)(г+ 1), (х+ у)(г — 1)) = О. 1186. Р(и(х — у), и(у — г), (х + у + г)/и ) = О. 1187. Р(х/у„ху — 2и, (г+ и — ху)22х) = О. 1188. Р((х — У)22г, (2и+ х+ У)г„(и — х — У)/г~) = О. 1189. г = 2ху. 1190. г = ус* — ег' + 1. 1191.
г = у~е~т2 г. 1192. и = (1— — х+ у)(2 — 2х+ г). 1193. и = (ху — 2г) ( — „+ д) . 1194. дг — х — )п ~/уг — хг = з — )и~у~. 1195. 221 (у"; 1) = уз+ 4г — 1. 1196. (х+ -~-2д)г = 2х(г+ ху). 1197. „2222дзтпх = в!нийду. 1198. 2ху 4 1 = = х+ Зу+ г '. 1199. х — 2у = х'+ у -!- г. 1200. 2хг — уг — гг = = а . 1201. ((у~з — 2) — хг 2- з)у~г = 1. 1202. хз -!- 21 = 5(хг — у). 1203.
З(х -!- у+ )' = х' + у' + г'. 1204. хг = (хг — д — х -!- ОТВЕТЫ К ДОБАВЛЕНИЮ 9. у' = а, и' = о, о' = ус "'(2и — х); уо = 1, ао = 1, ое = 0; уг = 1+ х, иг = 1, ог = 1+ (х — 1) е . 10 уо = 1 уг = 1+ г+ + 1, уг = 1 + 1+ 2!' + ! + ! /2 + ! /5. 11. а) уо = О. уг = " г уз = 4 -!- — ",, — — ' -г — *,„— —.;,; б) например, ~х — Ц~(з. 12. При х<0 у = — х., при т>0 репгение не существует. 13. б) При а< — 1 и а = О. 14.
а) При а~О, аф1 требуется а~ — 1, хЗ, (й+ 1/2)гг (й = = О, х1, х2, ...); при а = 1 требуется аф — 1, хЗ; при а = 0 урввггение яе дифференциальное; б) — 3<!< — я/2. 15. уо = уг = = уг = ... = 4. Пш уь = 4. 16. у(хо) = уо., у'(хо) = уг д г(хо) = ь оо = уг, где згефдя/2 (х = О, х1,х2г . )г уо>0; уг и уз любые.
17. Начальные условия дг(0) = 1, д~г(0) = 1 и уг(0) = 1, уг(0) = г/2 различны. 18. аф1. 19. п>5. 20. п>З. 21. а>4. 22. а>4. 23. афО, х2 бесконечно много решений, а = 2 н а = 0 одно решение, а = — 2 нет решений. 24. афО, х! бесконечно много решений, а = 0 и а = — 1 одно решение, а =- 1 нет решений. 25. и > 3 бесконечно много решений, и = 2 одно решение, при а = 1 для а = х! одно решение, для а~ х 1 пет решений.
26. п>3 бесконечно много решений, и = 2 одно решение,при и = 1 для а = 1 и а = -2 одно решение, для аф!, аф — 2 нет решений. 27. При а< — 4 нет регпепий! при а> — 4 длн п>3 бесконечно много решений, для и = 2 одно решение: для и = 1 при а = — 3 одно решение, при аф — 3 нет решений. 28. Па. 29. )х(<г/2. 30. а) у = 1/(!и ь/Гхг — яг(-!- С), у = О, б) у = 1/!и (г/яг — хг — 1), (х(<я. 32. Нет. 34. )Г)<1: длн х' = т (х0П ), х(0) = 1 имеем х = 1/(1 — !) (!<1); для х' = — х, т(0) = 1 имеем х = 1/(1+ !) (!> — 1).
40. б) (о гг) . 44. 6) п)д+ 1. 45. ггг = 2. 46. дд = х. уг = хг; И' = хг. 47. а) — 2<х<1; б) да; в) 1/4. 48. а) — 1<!<я/2: б) да; в) — 16(1+ 1) г; г] д = -'+~!гг(!) + -!- Ь~рг(!) — ~ ггз(!). 49. а = — 5. 50. 2. 51. 4. 52. (хг — 2х)дав — 2(х — 1)у' + 2у = О. 53. у = 2+ бх — 2хг. 54. Па, у = Зуг — 2уг. 55.
у = Сгх+Сгхз+Сз(хг+х !п ~х — 1~). 57. у = х — 2(е* — т)/(е — 1). 58. д = х+ Сг -'г Сз(х ф х ). 59. у = 2 — х . 60. (т -!-4)уо — 2ху' -Ь -!- 2у = 2. 61. у = -ь -!- --зг -~- х — 1. 62. у = С~о'фСг(х -!- 1) -Р 172 Ответи в добовлеааю + хе'. 64. Т = Зп,Г4. 65. Нет. 66. р = ггг. 67. а = 2. 68. х = =( ) гг т егг = Сг+ Сгт+ — ~е'Ч-1 соек 69. х = Сг сов 21Ч-Сг яп21-'г — о(яп2г— — соз 21) — -' соз 25 70. у = (Сг + х) соз х + (Сг + хг) зшх.
