А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 24

432. х = Сгря Зр', 4С19 +С1де +Сг у С 433, у С1 — Сгх ! С2 12, Е З 4 2 ' 2 у = (хз/12) + С, 434. е" + С1 = (х + Сг)2. 435. д = С1 (х + 2)е * + -ЕСгх-ЕСз. 436. у = хсЬ(х+С1)+Сг. 437. е" е1п (Сгх-ЕС2) = 2Сз; ег еЬ (Сгх-'гС2) = 2С1; е" (х-!-С) = 2. 438. у = С1 — „, — С12 — -!-Сзх+ -!- Сз; у = з+,", х ъ/Зх ! Сзх+ Сг. 439.

ЗСзу = (х — С1) -! Сг, у = С; =С вЂ” 2Ы 44.) ° 44 4444,441=2 В,, =41. 441. х = ЗС1 р'+ !и Сгр, у = 2С1рз+ р; у = С. 442. х = Сге" — 2р — 2, у = С1(р — 1)еп — рг+ Сг. 443. 12(Сзу — х) = Сг(х + Сг)з+ Сз. 444. 'д = х -!- С1 -!- Сг(х~!х~ — 1 — !П[х -!- 4/тг — 1[) ! д = х -!- С1 -!- Сг(хъ~1 — хг -1- агсяит) 445. !пд = С1 18(С1х + Сг); 1п [(1п у— — Сг)/(Ь1 у -Е С1)[ = 2Сгх -'; Сг; (С вЂ” т) !п у = 1; у = С.

446. х = и— — 1п [1+ и[+ Се, где и = х~~Ч + 1Ггд: у = С; у = Се '. 447. Сгу = = (Сгхг+ 1) агс!8 Сзх — Сзх+ Сг! 2у = й~х~+ С, !4 = О, х1, х2, ... 448. х = !п[р[+2С1р — Ся у = р+С1 р +Се; у = СгхяС2. 449. Сгу+ 1 = хсЬ(С1х ! Сг); Сггд 1 = яп(С1х ! Сг)! 2у = (х ! С); Ответы 159 у = О. 450. у = Сг — 1и сов(+' + Сд) . 451. бу = хз !и(х( -!- Сдхз»- + Сгхг+ Сзх + Ся 452.

у = х ) — "'*," г!! + сов т + Сдх + Сг. 453. у = о = Сд(х(е~ »Ы — д(ед — 1)1+Сох-!-Сз. 454. у = — *) — д)! — *г е*+ 1 о 4-Сдх'!дд)х)-!-Сггд.~-Сзх4-С». 455. С,у'-С, = Сгг(х-!-Сз)'; д = С. 456. Сду = !п!Сдх+Сг~-!Сз; у = Сдх-! Сг 45Т. Сду — 1 = Сге~д*д у = С вЂ” х; у = О. 458. у = Сдхг+Сгх+Сз; у = ~~lС~х+ Сг+Сзх+ +С». 459 дг = х~тС»х+Сг 460. д = е д~(Сд )е ' д~»)х+ Сг) — 1.

461. у = Сд !8(Сд !пСгт); у — Сд = Сг(у -!- Сд)!х!~~д; у !иСх = — 1. 462. 2!п ": — ~д = Сдхг»- Сг: У = 4С»ЗВ(Сдх~ »- Сг): д(С вЂ” хг) = = 4; д = С. 463. У = Сгесс. 464. Сдх»- 4хзГг = !пСгд! У = = 0 465 у = Сг(х»- ддсхг+ 1)с". 466. уг = Сдхз»- Сг 467 у = а!с, = Сохе ~дд'. 468. у = Сг!з!~д !дтг»д" ! '!.

469. у = Сг ~, с г та у = С; у = Се ~д*д 4ТО. )у! '~~ = Сг(х — д )!х + Сд! '; д = С. 471. у = Сгх()пС»х)г; у = Сх. 472. !»д(у! = !п(хг — 2х -'; с ~+ »',.' „*;„, сз; г '= с. »»», »с„' =за» ас, ~ с,*г. 474. у = — х !п(Сг !пСдх); у = Сх. 475. л- = Сг — 3 1п !-" — Сд !; у = = Сх. 476. хгУ = Сд»8(С» 1пСгт), Сг(х У+ Сд)!х! ' = х У вЂ” Сд; хгу!и Сх = — !. 4ТТ. 4(С»у — !) = Сг !и Сгх. 478.

Сд = хзт(С»хе+ -!-2)д д = Сх д"; д = — 2х 1 )пСх. 479. 2Сгх у = (Сгх — Сд) — 1; ху = х1. 480. 2С»Сгу = Сг!х~ ~ '+ !х~ '. 501. (3 — х)у = 8(х+ 4- 2). 502. у(х -!- 2) = — х — 6. 503. (1 — !пх)гу = хг. 504. у = = 31!д' 'г — 2. 505. !пз8 (л»- о) = 2х+ 2. 506. а) 4(С»у — 1) = =сц +се; )„~дсдз:~~с, сгдс =с»*.

Сг 9 !исав ( з -!- -~-Сд) . о08. у = гет х -!- Сдх -!- Сд; р нагрузка на единицу длины горизонтальной проекции, Т вЂ” горизонтальная состввлядощая сизы натнгкеннн нити. 509. ау = с)д(ах+ Сд) + Сг; а = Т~Т, »! вес единицы длины нити, Т см. ответ к задаче 508. 511. д = Сде*+ Сге . 512. у = Сде™+ Сге . 513. у = Сд-'г -!- Слег*.

514. р = Сдег* + Сге' тг. 515. у = ег (Сд сов х -!- Сг вшх). 516. у = е '(Сд сов Зх -!- Сг вшЗх). 51Т. у = Сд сов 2х»- Сг яп2х. 518. у = Сдег +е (Сг соз хдддЗ+Сз в!их»ГЗ). 519. д = Сде +Сге '-!- "- Сз сов х»- С» вшх. 520. д = е'(Сд совх-!-Сгяпт) -!-е *(Сз сов х»- -1-С» вшх). 521. у = е'с" (Сдсовх+ Сгяих) -!-Сз сов 2х»-С»вш2х"; -1- е с~~(Сзсовт, -1- Совшх). 522. р = е'(С, -!- Сгх). 523. у = е *д (Сд -!- Сгх). 524.

у = Сд -!- Сгх+ Сзх -!- ез'(С» + Сзх). 525. д = Сд + Сге' + Сзе, + С»ед + Сзе г*. 526. У = (Сд + 100 Ошвет ы -с Сгх) совх -с (Сз + Сах) япх. 527. у = ез(Сг -!- Сгх г- Сзх ). 528. у = е*(Сг -!- Сгх) !- Сзе . 529. у = Сге*-!- Сге '-!- Сзег'-!- -'с Сае г . 530. у = Сг -!- (Сг -'с Сзх) сов 2х г- (Са г- Сзх) в!п2х. 531. у = е*(Сг + Сгх) + Сзе г*'. 532. у = Сг сов х + Сг япх а-! Сз сов хъгЗ!Са яп хъгЗ. 533. д = Сге *-ВСге~'-т(1/5)е~'.

534. у = = Сг сов х + Сг вше, + (2х — 2)е*. 535. у = Сге + Сге ' + хе'"' + с г -'с х + 2. 536. у = ( — ' — в)е* -!- Сге г* -1- Сге*. 537. д = Сге г- -В Сг ег*-'с01япх -!- ОЗ сов х. 538. д = Сгсовх 1- Сг япх — 2х сов х. 539. у = Сге" 1- Сгеаз — (2хг — 2х "; З)ег*. 540. у = Сге' -!- Сгег* -!- + (0,1х — 0,12) сов х — (О,Зх + 0,34) яп х. 541. у = Сге* + Сге а*— / з — — 'е а' — (в -!- — ') е '. 542.

у = ( — — — -!- — '~!е'-!- -!-Сге -!-Сге з [а за) ' ' (,гг ш згг 543. у = ега(Сгсов2х -1- Сгвш2т) 1- О 25егз!-0 1 сов 2х -1- О 05вт2т.. 544. у = Сге *+ Сге *-! е *(згв!ох — з' сов х). 545. у = (Сг -!- Сгх 1- -В хз)е*. 546. у = [Сг — — 'а)сов:з -В (Сз -!- -) япх, 547. д = (Сг -!- +Сгх)е *+[за — з,)е '. 548. у = Сг+Сгез*' — 0,2хз — 0,12х — 0,048х+ -! О 02(сов ох — яп5х). 575. у = е,'(х !гг~х)-ВСгх!Сг). 576. у = (е "'-В + е г ) !п(е'+ 1) + Сг е '+ Сге г". 5 Т7. у = (Сг+ 1и ( в!и х[) яп х+ (Сев — х) совх. 5Т8.

у = яп 2х !п~ сов х~ — хсов2х+ Сг яп2х+ Сг сов 2х. 579. у = е * (1з(х + 1)'~~+ Сг + Сгх) . 580. р = Сг сов х + Сг вш х— — — ""' г'. 581. У = — -'-!-Сгез -~-Сге '. 582. У = (7 — Зх)е* г. 583. У = = 2 сове — 5япх + 2е '. 584. у = ег* — 2е* + е — 1. 585. у = = е *(х — в!па), 586. д = 2 а- е™. 587.;у = (х — 1)(ег* — е™). 588. у = х — х япх — 2 сов х. 589. у = Сгхг+ Сгхз. 590. у = Сгхз-!- -ВСгх '.

591. у = х(С 1-Сг !п)х)а-Сз !гг~~х(), 592. у = С -~-Сг!п(х)+ + Сзхз. 593. у = х(Сг + Сг!п(х!) + 2хз. 594. р = Сгсов(2 !п(х)) -!- +Сев!п(2!гг)х!)-!-2х. 595 у = Сгх~+ 2 (Сг — = !пх — !пг х). 596. у = = х'(Сг сов!п)х(-~-Сгв!гг!гг(х(+3). 597. у = С,х +Сгх +х !гг)х(— — 2хг. 598. у = Сгх'-!- Сгх ' -!-0,1 сов !п х — О,З в!и !их. 599. у = (х— — 2)г(Сг+ С 1п ~х — 2~) -~-х — 1 5. 600. у = Сг(х г- 1) т Сг ~х+ з ~ + +Сз ~х+ з ~ .

601. У = (Сг -> Сгх -!- 'а )е 'г- зе . 602. У = 'га е *— С г — -'шахе "+( гг + Сгх+ Сг)е . 603. У = Сге~ '~0 + (Сг+ (з — 1)х)х хе0 0' — еяап*. 604. у = (2:зг -> Сгх -!- Сг)е "— е'". 605. у = С </за0*+ С ! —,Гз! + (С ! -гг' + — 'ег**' 606 = с'-+ з — —,) е -!- [Сг — г 1п( — х) -!- г !пг( — х)~ хг. 607. у = (Сг -!- Сг а -!-х 1п ~х~)е -~- -!- '4 е'. 608. у = [- -!- (Сг — г ) сов 2т, !- (Сг -1- а -1- — 1и ( сов х~) х х зш2х) е *. 609. у = хг !и -Д вЂ” 'г "; 1 — „-' 1пСг(х + 1). 610. у = = х(Сг + (Сг + !и) 1п х~) 1п х) + з~'-'-' — '.

611. у = Сг сов х + Сг вш х + Ответы 161 -!-1'Мп(х — в) )(в) ()в. 612. 1' Т(в) сова()в и )' 1(в) Ми »с(в ограничены о о о при х-г -!- ос. 613. ув' — Зув + Зу' — у = О. 614. ув — 4у' !- 5у = = О. 615. у'~ + 2ув + у = О. 616. д'л — 4ув'+ 14ув — 20у'+ 25у = = О. 617. ув' — у" — д' + у = О. 618. у~~ + у" = О. 619.

а = О, Ь>0. 620. а>О( Ь>О. 621. Ь<0 или Ь>О( а>0. 622. Ь>О, а< — 2ъ(Ь. 623. а <4Ь. 624. а>2. Ь>а — 1. 625. а = 2ь(М 626. ыф х 13 ы = Ь = гре„г,г ' г»г шахА достигается при ы = Ь вЂ” — ". 628. х = — -»-г — -,--. 629. х(1) = л л ~(в)бв = ) ' л л. ~(' — з) "з:, Фт)) ~~ ь. — ОО о 630. 2х,„/ — "'. 631. В слУчае Ьг>49т х = га(е( "тгп — е( ~ гп), »г = ь, т .= -" — -„-,— '".

В слУчае Ьг <4Ьт х = гвае ' вшДН и = — ", »=~ -*.г((=~. *..»= 634. х = 4 — 2 соей 635. 1 = ~~ (1 — е т') . 636. 1 = г е Нпс. 637. 1 = т»е ~(~~ 638. 1 = — г ,—е ~((~~в(гго»1( СЛ~<Ж, о» = яп сь 1 — »(( — ),» .* ("-е( ' г..( = -", „... = —;.. ° . В., -*. *П.. ° . В.;.

- . гге 646. Да. 646. Нет. 647. Да. 648. Нет. 649. Нет. 650. Да. 651. Нет. 652. Да. 653. Да. 654. Да. 655. Нет. 656. Нет. 657. Да. 658. Нет. 659. Да. 660. Нет. 661. Да. 662. Нет. 663. а) Нет. 5) Нет. 664. Линейно независимы. 665. Могут быть линейно зависимы или независимы. 666. а) И»еа О; б) ничего нельзя сказать. 66Т.

Линейно независимы. Уравнение не удовлетворяет условиям теоремы, 669. Два, 670. а) — !<х<оо. б) гх<х<-гк. 671. а) Могут при и>2. б) Могут при и>3. 672. и>4. 673. п>2 6Т4. ув — у'саба = О 675. (х— — 1)ув — ху' + у = О. 676.

ув' — дв = О. 677. (2г( + бх — 9)дав — (4х !-6)у'-!-4у = О. 6Т8. ув — у = О. 679. (вг — 2т-!-2)ув' — хгув ~- + 2ху' — 2у = О. 680. хгув — Зхд'+ Зу = О. 681. у = С(х + Сге 682. у = Сг (1 + —,') -ЬСг (л + ! — -'~-'-!п ~х + 1~) . 683. у = е'(Слег+ -!- Сг). 684. ту = С(е * »- Сге'.

685. у = С( 18 х»; С»(1 -!- х 59 х). 686. д = С((1+ х !п(х() + Сгх. 687. у = С((е» вЂ” 1) +,+ . 688. д = = С(г+Сг(!их+1). 689. у = С( Них+С» (2 — вштх х !и л+'.,",',) . 690. у = С((т — 3) г- Д(. 691. у = С(ег" -(- Сг(Зх -!- 1)е *. 692. у = = (С( -(- Сгх)е . 693. у = С((2х -(- 1) -Ь Слег . 694. у = С((х -(- 162 Ответы -1- Ц + Сгх '. 695. у = Сг(х + 2) -~- Сгхг. 696. у = Сг(хг-~- 2) -1- 4- С»хз.

69Т. у = Сг(т» 4- Ц 4- Сг(х 4- (тг 4- Ц агсзбт). 698. у = Сгт/)х~ + Сг(х — 2). 699. у = Сгх ь Сге* -ь Сзе™. 700. у = Сг х + Сгх ' -! Сз(х )и ~х~ + Ц. 701. у = Сгх + Сге' -~- Сз(х — Ц. Т02. у = Сг(х-Ь2)-Ь -;.г-Ь(г»- 1) !и ~х~+ з. ТОЗ. у = Сг (2х — Ц-1-Сге *4- + -*»х1. 704. у = — '-, + ', + х. 705. у = Сг(х' + Ц -Ь С»х ' + 2х. ТОО. гв -Ь г = О. ТОТ. го — г = О. Т08. го = О.

709. хггз — йг = О. Т10. 4х'гв 4- (4хг»- Цг = О. Т11. у,"г — у = О. Т12. у,", 4- у = О. 713. (1г — Цу",, — 2у = О. 714. у",„-~- !~у = О. 715. 8у,", -Ь !~у = О. 716. у = 1-~- Сг(»: — Ц -Ь Сг(». — Ц. 717. 1 р(х) г!х — > -~- ос при х — > 4 оо. 719. На прямых д = О и х = хб где у(хг) = О.