А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 22

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ И ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 1. Дифференцирование по параметру 185. Сформулировать теорему о дифференцируемости решения системы дифференциальных уравнений цо параметру. 11аписать систему дифференциальных уравнений в варнацинх. В задачах 186 — 194 найти производнунэ от репуенин данного дифференциального уравнения (или системы) по параметру р при д = О. 186. у' = рт+ ~„(х > 0). д(1) = 1 — 2рн 187.

у' = к+ лехе " (х > 0), у(1) = 1+2р. 188. д' = д — х -1- ра; ели, у(1) = 2 — р. 189. у' = рх+ а1пу, у(0) = 2йа 190. т, = х зш х + аш(ха)., х(0) = фл, х(0) = Уи 191. х = х+ з1п(хз). т(0) = 1л, х(0) = рз. 192. х + х = 21л а1п 4+ балт', х(0) = О,:г(0) = О. 193. х — 2т = фх, х(0) = 4., х(О) = 1лз + Зр. 194. т, = у, у = х + 31лдз., т(0) = 2 — 4рк у(0) = О. 2.

Дифференцирование по начальным условиям 195. Сформулировать теорему о дифференцируемости решения системы дифференциальных уравнений по началь- 'З'27. Уравнении с честными нроизооднмми 149 ным условиям. Написать систему уравнений в вариациях и начальные условии длн нее. 196. Доказать, что в случае у б Л' производнан по уо от Решении задачи У' = д(х., д), У(хо) = Уо всегДа положительна (предполагаетсн д Е С'). В задачах 197 — 199 найти производную от решении по уо при уо = О. У к а з а н н е. При ус = О каждая из этих задач имеет нулевое решение. 197. у' = 2ху -~- сйп у, у(1) = до. 198. д' = узшпх+дсозх, у(0) = до. х = у — х+ х 199..

' х(0) = О, у(О) = уо. ( д = д — 2х + хд, 200'. х+ зшх = О, х(О) = а, х(0) = (1. еч Найти а,* при а = В = О. 3. Разложение решения по степеням параметра В задачах 201 и 202 найти разложение решения по степеням параметра и до рз включительно. 201. у' = бдх + — '„(х > 1), у(1) = 1 — П. 202. х = 2х — 2хч, х(0) = 1, х(0) = рл 927.УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Теоретические вопросы 203.

Написать общий вид квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. Пто называется характеристикой этого уравнения'! 150 З27. Уравнения с частными производными 2. Задачи 208. Найти общее решение уравнения дг дг — + хг — = д, дх ду Решить следующие задачи Коши (209 — 215). 209. худ' + хгд' — — уг., г = 1+ д при х = 1. 210. ф '-(з — хг)ф = 2х, г = хг+х при у — 2хг 211.д — ,'.'ч р=д,, =-д' р,=о. 212.

хед' + усР = тз + у, с = 4дз при х = Здг 213. уг д' + хуф = хгщ с = е" ~~ при х = 2у. дс ди 214. ха' + гф = г+ 2хг, г = х прн у = — ' — хг. 215. хдде+уф =х+у+г, г=х+у при у=и+1. Решить следующие задачи Коши (216 — 218) в тех случаях, когда решение сугцествует. 216. д' + 2 д' = 5.

г = 0 при у = йх. 217 де + д де 2 а) г дг б) г=2х при х= 1; прн д = 8х. г = 2ау при т = (аг Ч- а — 2)у. 204. Сформулировать и доказать утверждение о связи решения уравнения с его характеристиками. 205. Как можно использовать первые интегралы некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений для получения решении данного уравнения с частными производными? 206.

Сформулировать постановку задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными и теорему существовании се решения. 207. Сформулировать и доказать теорему о существовании решения задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. З 27. Уравнении с частными производными 1о1 219. Имеют ли решения в окрестности точки (1.,0) следующие задачи Коши: а) уз' — т,з'„= О, з = 2д пРи х = 1; б) дф — хф=О, з=2дприх=1+ду 220*. Име1от ли решения в окрестности точки (1, 1) следующие задачи Коши для уравнения (х — Зху ) — + (Зх-у — у ) — = 0 ,з зда,ч, здз д:г дд а) з = япу при хз + дз = 2; б) з=япу при с=11 221.

Какому условию должна удовлетворять функции Зо(х) Е С' для того, чтобы задача Коши дз дз у — — х — =О, з=зо(х) при д=О, — ос<:с<ос, ' д* ду имела решение на всей плоскости х, д? ОТВБТЫ 15. 1(х, у) = 0; Д<0 (п1ах), Д>0 (ппп). 16. а) у = т' + + 2х; б) х = 2сКу; в) хда = -(1 — х~)~;д = 0; т) Д + У Д = О. 1Т. у = еал У". 18. у' = Зугуа. 19. ху' = Зу. 20.

у + у' = 1. 21. х"у' — ху = уд'. 22. 2хуу' — дг = 2хл. 23. у'л = 4у(ху' — 2у). 24. д' = сов " . 25. х(х — 2)у" — (х — 2)у'+ 2(х — 1)у = 28. хуун' — Зх~дн-!-6ху' — бу = О. 29. ун'у' = Здн'. 30. (д — 2х) (у' -!- -!- 1) = (2у' -~ 1)~. 31. ху'~ = д(2д' — 1). 32. (ху' — у) = 2ху(дм -Ъ +1) 33 "ун — 2 д'+Зу = 0 34 (дну+у" +1)' = (у" +Ц'*. 35. уу' -Ъ лл' = О, у~ -т 2хлл' = х~л'~ 36. хг ~- у = л~ — 2л(у— — хд'); х + уу' = лл' — л'(у — ху'). 37. 4уу' = — х. 38. у' = — 2у.

39. (х~ -!- у)у' = — х. 40. (х -!- у)у' = д — х; (х — у)у' = т -ъ у. 41. (х ~ утгЗ)у' = д ~ хогЗ. 42. (Зх+ утгЗ)д~ = у+ ЗхчгЗ. 43. (2х+ ~учгЗ)у = у х 2хъгЗ. 44. т'а!пВ = т~. 45. т' = -'т с46В. 46. тг = = т с!8(В ~ 45'). 47. (х + 2у)у' = — Зх — у; (Зх + 2у)у' = у — х. 48. у'[2ху х (х~ — у~)] = у~ — х~ х 2ху. 49. х(! -!- д'~) = — 2уу'.

50, уу а + ху ~ = — 1. 51. у = С(л + 1)е "; х = — 1. 52. !п [х[ = С+ -! ъгул м 1; х = О. 53. д(!п[х~ — ![тС) = 1, у = 0; д[!п(1 — х~) ! 1) = 1. 54. у = 2+ С гол х! у = 2 — 3 сов х. 55. у = (х — С)а; д = 0; у = = (х — 2)л; д = О. 56. у(1 — Сх) = 1; у = 0; д(1+ х) = 1. 57. у — 2 = Сеи'. 68. (Се ' — 1)д = 2! у = О. 59. е ' = 1 -!- Се'. 60. л = — !8(С вЂ” 10*). 61. х~ -!- 1~ — 21 = С. 62. с!8 ": — ' = т, -!- С; у— — т, = 2лЬ, 9 = О, х1, ...

63. 2х+ у — 1 = Се'. 64. х+ 2у+ 2 = =с'г.. ь =ю..готт — 1 — ~ (гота 1 ° е= = х М С. 66. у = асс!8(1 — «~ ) + 2н. 67. у = 2. 68. а) Зу~ -Ъ х~ = С; б) у М 2х = С; в) у = Се ~т . Т1. (С х х)у = 2а . 72. Ыпу— — у = хх -!- С, О<у<5. ТЗ. а !п(а *, ~а~ — уг) х „IР— ут = х -!- -!- С. 74.

д = Схт. 75. д = Сх~; ут = Сх. 76. т'(1 х сов!о) = С. Т7. Количество азота (в литрах) х(!) = 20 — 4е. Олоо; х(1) = 19,8 при С = 200!п20 600 сел = 10мин. Т8. Количества соли т(1) = = 10е Ото; х(60) = 10е ~ — 0,5 на 79. Объем СОл (в мл) х(1) = = 0,08+ 0,22е Оче; х(!) = 0,1 при ! = 10!п11 24 мин.

80. Темпе- Ответи 153 ратура тела х(1) = 20-Ь80 2 Н'о; х(г) = 25 при 1 = 40 мин. 81. Разность температур воды и предмета х(1) = 55 . (Зггб)', х(1) = 1 при 1 = 1п55/(1п5 — 1п3) — 8мин. 82. Температура металла х(1) = = а-~ ив „' (1 — ' ' ); х(60) = 5 — а „"(1 — е оо"). 83. Скорость (в м/сек) е(г) = (2/3)итог ': и(1) = 0,01 при г = 4 (, г а + 1) -50 сок; путь з =, о, 15 м. 84.

Оставшееся количество вещества х(г) = = х(0)2 Ого; х(1) = 0,01х(О) прис = 60/182 200 дней. 85. Оставшееся количество радия х(1) = х(0) (1 — 0,00044)', х(г) = -'х(0) при 1 = 1пОа5/1п(1 — 0,00044) 1600 лет. 86. Количество урана х(1) = = х(0)е ', а = 1п2/(4,5 10 ); х(1) = 100, х(0) = 100 4- 14 гаа = 116,2; 1 = 4,5. 10 лц-"-г- 970 10о лет.

87. Количество снега г та, прошедшего через слой в х см, у(х) = у(0) 2 Наа; д(200) = = у(0)2 ~~г~ 0,02. у(0); поглощается 100% — 2% = 98%. 88. Скорость е(1) = 5015 -', путь (в метрах) з(Г) = 260 1пой —,'; а(1) = 1000 при сЬ -' = еа, 1 5(4+ 1п2) — 23 сек. 89. Скорость и(1) = = т/Ла 18~Лр(С вЂ” 1)ах= 10, Ь = 0,012, С = + ахосб ((Ли(0) 1,75: и(1) = 0 при 1 = С 1,75 сек; наибольшан высота Ь = а 1п(йи~(0)4- + 1) аз16,3м (без сопротивления воздуха 1 = 2 сен, Ь = 20м). 90. СКОрОСтЬ и(г) = а/Ла г)гиГЬЬЧ', ПутЬ З(г) = -„' 1ПСЬ иГЬдг„а(1) = = Ь = 16,3м при 1 = гь-1п(еан -~ ъ'ег"ь — 1) — 1,87сек, и(1) Тà — ) ° иу г ..а .

"" 'а(О~ ° ив — и'Ь = 0,3/2л — "гй Ь(1) = О при 1 = бг„тф 1050сек = 17,5 мин. 92. (2 — Ь(1))гтг = 0,4блг~а/28 — ', Ь(1) = 0 при 1 = = о „а 1(гй 1010 сек. 93. игН вЂ” т/Ь(1) = И, Ь = —, (1 — —,-); Ь(1) = 0 пРи1 = ог(2->иг2)гз17мин 94 Но~г (Ь(1))айаг зл — гггт — аио23- Ь(1) = 0 при 1 = (4В~/За(~)ъ/2Н~Я 27сек. 95. Объем воды в баке в литрах х(10 1 = ~5 1и — -х — - — г игл, 9 = 1,8, а = 1О ив х(1) = 360 при 1 = 260 сек (для бака без отверстия в дне г = = 200 сен).

96. Удлинение нижнего куска длины;г равно у(х) = , а всего шнура — д(1) = агг. 97. На высоте Ь км давление р(Ь) = е о'1™ (кГ/см ). 98. Сила натяжения каната на расстоянии р (в радианной мере) по дуге от начальной точки равна 7(р) = = ДО)егг~; Г(бл) = 10ег" = 5000 кГ. 99. Количество оставшейся воды т(1) = иго — и(уг — Оо) (1 — е '), Й вЂ” козффициент пропорциональности. 100. После сгорания массы х топлива скорость ракеты и(х) = с1п "~," и(Ьà — ги) = с1п аг. 101.

х + у = Сх; 154 Ответы х = О. 102. 1п(хо+у ) = С вЂ” 2 асс!3(у/х). 103. х(у — х) = Су; у = О. 104. х = ху~Г!вСх; у = О. 105. у = Се"г*'. 106. уг — хг = Су; у = О. 107. в)гг в- = Сх. 108. у = — х!п!пСх. 109. 1п -'ов = Сх. 110. 1п Сх = г38(-' !п ~) ! у = хег, й = О, х1, х2, ... 111.