А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 21

Системы уравнений Решить системы 93 — 95. х = — бд, 94. д = 2т+ 2у. х=у+т — 4, 93. у = Зу — х. 95. ( х=з — х — у, д=т,— д — з, А1 = О, Лз, 96. При каких матрицах А все вещественные решения системы х = Ах выражаются только через синусы, косинусы и константы? 97. Длн одного частного решения системы х, = Ах известна только первая координата: х1 —— гз + гя1пг. Каким может быть порядок матрицы А? 98. Найти фундаментальную матрицу системы х = Ах., гогот где А = ( а а о ~, нормированную при в = О.

(,1 вам ' 99. Доказать, что для системы х = Ах, с вещественной кососимметрической матрнцей А нормированнан при 1 = 0 фундаментальная матрица прн каждом 1 является ортогональнойй. 100. Найти все вещественные периодические решения системы х = 2у — х+ 2соя1, у = 4у — 2х+ сова 101. Найти решение с периодом я системы х = х — у, у = 2х — д+ Оя1п а 92. Пусть х = ~р(Я) и х = ф(г) — решения уравнения 'х' — х+ 4х — 4х = 0 с начальными условиями св(0) = ое ~р'(0) = 6, ~ре(О) = с; т(л.) = о, ф'(л) = ~), фн(я) = у.

Указать какие-нибудь числовые значения а, Ь, с, гн (в, у так, чтобы ~р(в) и ар(1) были периодическими и линейно независимыми. 140 Ь23. Линейные уравнения и сеете аи 102. а) Найти все вещественные периодические решения системы х = х — у+ Зв1п2~, у = 2х — у. б) Найти все решения с периодом я. 103. При каких а система х = у + в1п2В у = — 4х + о сов 2~ имеет периодическое решение? 104.

Для каких вещественных чисел а и Ь все решения системы х = 2у — 4х+ и, у = 2х — у+ Ь ограничены при 1 > О? 105. Для каких матриц А каждое решение системы л: = Ах ограничено при — оо < 1 < ао. 4. Показательная функция матрицы 106. Сформулировать свойства показательной функции матрицы. В задачах 107 †1 найти е'4. 107. А=, . 10В. А = 109.А= О О О . 110.А= О 2 О 111.

Найти вектор еел Ь, если — 1 ' 4 В задачах 112 — 114 а) не вычисляя матрицу сел, найти ее детерминант и собственньш значения; 141 2 23. Линейные иравнения и висте ам б) найти еел. 112. Л=, . 113. Л= 114. А = 1 О О 115. А = О О 1 . Найти бес / еел еП. О 1 О о 116. Нри каких матрицах А имеем с'л — > О при 1 — > +со? 117. Найти фундаментальную матрицу системы т = г|Ат. 118. Если А .. такая матрица, что ел = Е, то обязательно ли .4 О? 119*. Что можно сказать о жордановой форме матрицы А, если сел ~ ы1ьЛьт я=о 120". Если при всех е матрица еел симметрическая, то обязательно лн матрица А симметрическан? 121'.

Если еел е'и = ейл ьп~, то обязательно ли АВ = ВА? 122'. Если матрица е'л ортогональная при каждом 1Е Л, то обнзательно ли А' = -А? 5. Линейные системы с периодическими коэффициентами 123. Что называется мультипликатором системы х = А~с)л с периодической матрицей А(~)? 124. Какому условию должны удовлетворять мультипликаторы линейной системы для того, чтобы все ее режения стремились к нулю при 1 -+ +ею? 125. Найти мультипликатор для уравнении л = (и + + в1п 1)ж. 142 З 24. Уотопчиоосто 126*. При каких значениях параметра а Е Л уравнение х = (а+ зш 4):с+1 имеет ровно одно периодическое решение? 2 127*. Пусть матрица А(?) имеет период Т, и ~(А(?)~( < а при всех ~..

Доказать, что для системы х = А(?)х модули мультипликаторов не превосходят е'т . 3 24. УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Теоретические вопросы 128. Дать определение устойчивости по Ляпунову. 129. Сформулировать и доказать теорему об устойчивости при наличии функции !япупова п(х). 130. Сформулировать теорему об устойчивости по первому приближению. 131. Сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы х = Ах, (х е Л", матрица А постоянпан). 132. Доказать, что если одно решение линейной системы устойчиво, то устойчиво каждое решение втой системы. 133. Какому необходимому и достаточному условию должна удовлетворять матрица А, чтобы для любой непрерывной функции 6(?) каждое решение системы т = Ах+ а(1) было устойчивым по Ляпунову? 134. а) При каких матрицах А система х = Ат имеет более одного положения равновесия? б) При каких дополнительных предположениях все эти положения равновесин устойчивы? 135.

Система х = Ах, где х Е Лз, А — постоянная матрица, имеет частное решение, у которого известна только первая координата: х~ = е '+ сов|. Устойчиво ли нулевое решение? 136. Система х = А:г (х б Л") имеет частное решение, у которого известны только две координаты: хз = зш? + 2 сов?, хз = соя 2С Устойчиво ли нулевое решение? 137.

Если для системы х = Ах (х с Ло) нулевое решение неустойчиво, то обязательно ли оно неустойчиво для каждой системы вида х = Ах + оо(х), где оо(х) с Са, ~р(х) = о(~х~) при х — о О? 143 г 24. Устойчивость 2. Исследование устойчивости конкретных систем Для уравнений 139 †1 и систем 145 †1 найти положения равновесия и исследовать их на устойчивость. 139. х = —:сг.

140. х = з1пх — х. 141. х = — хз4п~х. 142. х = — хз1п~й 144. х = Д-. 146. х = у, д = Зхг — 2х. 143 ' = а 31 145. т. = д, у = — хз. 147. х = д — х+ (у — х)г, у = О. В задачах 148 — 155 выяснить, при каких значениях параметра а нулевое решение является а) асимптотически устойчивым; б) устойчивым, но не асимптотически; в) неустойчивым. 149. ( 149. 140. ( 152. у = ад 194. — ау — х — а х.

3 г от+ у+ (а+ 1)х, х+ ор. ах+ а вшу, Х = У1 151. а.х — а у. ( у = — х(1+х ) — оу. г х, = Зд — ад, 153. у = 2х + (2 — а)д. у — а,х — д, ,г г — (а+ 1)х — иу. 138*. Пусть Д11 х) ССо1х.ЕВ" и пусть разность каждых двух решений уравнения х = Я, х) стремится к нулю при 1 — ~ +ос. Следует ли отсюда при каком-либо пз что всякое рещение этого уравнения асимптотически устойчивоу 144 2 2ос. Фпвовпл и госкость т = — ах+ ~а — 1)у, 155. у=х+ад. 156.

е) При каких а б?? существуют ограниченные при — ж < с < оо решения системы х=2у — 4х+1, у=2х — у+а. Найти все такие решения. б) Устойчивьг ли они'? 15г. Устойчиво ли решение системы х=х — у, у=2х — у+баю г, имеющее период яу В задачах 158 — 160 а) найти все значения параметра а Е П, при которых все репгения уравнения неограничены при? > 0 (гге требуется отыскивать решения); б) выяснить, явлнются ли эти решения устойчивыми или асимптотически устойчивыми.

158. х+ ах = э1пзт. 159.:с'+ т = соэас 160. 2+ ах = соя гг?. 2 25. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. Траектории линейных систем 161. При каких соотношениях между коэффипиентами а, Ь, с, г? особая точка системы х = ат+ Ьд, д = ох+ с?у является а) седлом, б) узлом'? 162. При каких а, Ь, с, г? для каждого решении системы х = ах + Ьу, у = сх + г?у полярный угол точки (х(?)г у(г)) возрастает при увеличении 12 В задачах 163 — 165 определить тип особой точки и нарисовать траектории системы на плоскости х, у. 145 2 25. Фпвовпл и госкость х = х+Зу, 163. = 5уг — х. х= х — 5у, 164. у = 5х — 5д.

х=у+х — 4, 165. д = Зд — х. 166. При каких а особая точка системы х = а(х + у), у = азу являетсн седлом? 16Т. а) Может ли траектория системы х=2д — х, д=Зх — 2у из точки ( — аз — 1, — 1) попасть в точку (1, аз + 1)? б) Устойчиво ли положение равновесия? 168. а) определить тип особой точки и нарисовать траектории системы х = ах — д, д = бр+ х при о,= — 2, Ь= — 3. б) На плоскости параметров аг 5 указать такую область, что при любых (а, Ь) из втой области вторая компонента у(с) любого решения указанной выше системы имеет бесконечно много нулей нри 1 ) О.

169. Рассматривается система х = азх — д, у = 5т, — (3+ 2а)у. а) Будет ли нулевое решение системлг при а = 1 асимптотически устойчивым? Обосновать ответ. б) Нарисовать траектории системы при а = — 3. в) Существует ли такое значение а Е сго при котором траектории — замкнутые кривые? В задачах 170 — 173 исследовать а) при каких значениях параметра а Е В нулевое решение асимптотически устойчиво и при каких — устойчиво: б) при каких значениях параметра а Е Н особан точка— седло'.г узел? фокус? в) при указанном значонии а дать чертеж траекторий. 146 з 25. Фпловап плоспосшь х=х+ау, 170., а = -".

у=ах+у; х = ах+у, 171.. ' а=1. у = ау — (2а+ 1)х; х = 2ах+у, 172. ' а, = 1. у = иу — 2ах; х = х+ (2 — а)у, 178., ' а=4. у = ах — Зу; 2. Траектории нелинейных систем 174. Найти и нарисовать траектории системы х = хз — Зху, 2 у=Ох у — у. 175. Имеет ли уравнение х+ х" = 0 ненулевые решения, определенные при — оо < 1 < оо? 176. Имеются ли у уравнения х = 4х — 4хз неограниченные решения? 177. Перейти от уравнения х+ ах+ х — хз = 0 к автономной системе двух уравнений.

Для этой системы а) найти особые точки; б) указать значения а, при которых все зти точки неустойчивы; в) существует ли значение а, при котором ровно две особые точки устойчивы? 178. Для уравнения У + 4х — Охз = 0 а) найти уравнение у = у(х) траектории, проходнщей через точку (1, 0); б) нарисовать эту траекторию, учитывая значение предела Ншд; л — ь оь в) найти решение данного уравнения с начальными условиями х(0) = 1, х(0) = О.

179. Для уравнения х = — и'(х), где и(х) = — х~ + хз — 1, а) цать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 147 з 2б. Фпзаввл плоскость б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость; в) найти наклоны сепаратрис и периоды малых колебаний; г) добавить +ох в левую часть уравнения и для а > 0 исследовать типы особых точек полученного уравнения. 180. Длн уравнения х = 2х — 2:г провести такое же исследование, как в предыдущей задаче. 181. Длн уравнения х -~- х = хз а) найти и исследовать особые точки на фазовой плоскости; б) найти решение х11), убывающее и стремнщееся к 1 при 1 — > +со, а также его траекторию на фазовой плоскости; в) выяснить, при каких о решение с начальными условиями х10) = О, х(0) = а периодическое; г) указать на фазовой плоскости область, заполненную замкнутыми траекторинми; д) устойчиво ли решение с начальными условиями х(0) = О, х(0) = +? В задачах 182 и 183 а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость; в) вынснитьм определены ли все решения при — оо < 1 < оо.

х=1 — х, 182. с з у=у- 184*. Для системы у = х.' + т'у' — х' х=у ху у~ а) найти все особые точки; б) линеаризовать систему в каждой из точек (О, 0),(1, 0), ( ~/2' ьсз) ' в) исследовать устойчивость этих линеаризованных систем: г) исследовать на устойчивость те же три особые точки длн исходной системы; д) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 148 з 20. Дифференцирование решения по паралнетру е) выяснить, имеет ли данная система неограниченные решения; ж) описать множество точек, через которые проходят периодические решения. З 26.