А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 2

69*. Показать, что каждая интегральная кривая уравнез г-!-! ния у' = '! ~т-+-; имеет две горизонтальные асимптоты. 70*. Йсследовать поведение интегральных кривых уравнении У' = !и! ( и~ в окРестности начала кооРдинат. Пока! !и1г-~-и) ние зать, что из каждой точки границы первого координатного угла выходит одна интегральная кривая, проходящая внутри этого угла.

12 З 3. Геоззетрические и Яизические задачи В 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ' 1. Чтобы решить приведенные ниже геометрические задачи. надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через р = = у(щ) (если задача решается а прнмоугольных координатах) и выразить все упоминаемые в задаче величины через з„р и р'.

Тогда данное в условии задачи соотношение пренрвщается в дифференциальное уравнение. из которого можно найти искомую функцию р(' ). 2. В физических задачах надо прежде всего решить. какую из величин взять за независимое переменное, а какую — — за искомую функцию. Затем надо выразить, на сколько изменится искомая функция у, когда независимое переменное з получит приращение Ьз, т.

е. выразить разность р(щ ф Ьз) — р(з) через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на Ьз и перейдя к пределу при сьл -з О, получим дифференциальное уравнение. из которого можно найти искомую функцию. В большинстве задач содержатся условии, с помощью которых можно определить значении постоянных, входящих в общее решение дифференциального уравнения.

Иногда дифференциальное уравнение можно составить более простым путом, воспользовавшись физическим смыслом производной (если независимое переменное время т, то ах есть скорость изменения величины ц). В некоторых задачах при составлении уравнения следует использоаать физические законы, сформулироаанные в тексте перед задачей (или перед группой задач). П р и м е р. В сосуд, содерзкащий 10 л воды, непрерывно поступает со скоростью 2 л в минуту раствор, в каждом литрс которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемепзнвается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минуту Р с ш е н и с. Примем за независимое переменное время П а за искомую функцию у(1) --. количестяо соли в сосуде через Г минут после начала опыта.

Найдем, на сколько изменится количество соли за промежуток времени от момента 1 до момента 1 ф Ы.. В одну минуту поступает 2 л раствора, а в дгт минут -- 2ЬГ литроп; в этих Нсе задачи этого параграфе сводятса к уравнениям с разделяющимися переменными. Задачи, приволящиеся к уравнениям других типов. можно найти в соответствующих перагрвфвх. Необходимые дле рещение задеч значения показательной функции я логарифмов можно брать из табчяиы в конце эалвчнякв. Гг3.

Геалзетричееиие и физичесние задачи 13 2Ьг литрах садержится 0,3 2Ьг = О,ОЫ нг соли. П другой стороны, за время ЛГ из сосуда вытекает 2Ж литров раствара. В момент 1 ва всем сосуде (10 л) содержится у(1) нг соли, следовательно, в 2г!зг литрах вытекающего растаара содержалось бы 0,2Ьг у(Г) нг соли, если бы за время зЗг содержание сали в сосуде не менялось. На так как ана за эта время меняется на величину, бесконечно малую при Ьг -э О, та в вытекающих 2ЬГ литрах садержится 0,2ЬЛ(у(г) Ьа) нг соли, где о — з 0 при Ы -э О. Итак, в растворе, втекающем за прамежутак времеви (й г ЧЧ- Ьг), садержитсн О,бгзг нг соли, е в вытекающем — 0.2Ьг (у(1) + + а) иг.

Приращение количества соли за эта время 1з(Г+ Ьг) — у(г) равна разности найденных величин, т, е. у(г+ Ьг) — у(г) = 0,6Ьг — 0,2~1 (у(г) + о). Разделим на глГ и перейдем к пределу при 1зг-Э О. В левай части палучнтся праизвадная у'(1), а в правой палучим 0,6 — 0,2у(1), так как о -э 0 при зЗг — э О. Итак, имеем дифференциальное уравнение д'(Г) = 0,6 — 0,2у(г). Решая ега, получим у(Л) = 3 — Се Ш~~. Так как при Г = 0 сали в сосуде не была, та у(0) = О.

Налагая в (1) г = О, найдем у(0) = 3 — С; 0 = 3 — С; С = 3. Падставляя эта значение С в (1), получим у(г) = 3 — Зе э'г'. Прн Г = 3 в сосуде булет у(а) = 3 — Зе е' ' = 3 — Зе 1,9 иг соли. 71. Найти кривые, длн которых площадь треугольника, образованного касательной, ордипатай точки касания и осью абсцисс, есть величина постоннная, равнан аз. 72.

Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, построенного как в предыдущей задаче. есть величина постоянная, равная Ь. 73. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок аси абсцисс, отсекаемый касательной и иармальнц проведенными из произвольной точки кривой, равен 2а. 74. Найти кривые, у которых точка псресеченин любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касанин. 76.

Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллель- 14 53. Геометрические и физические задачи ные осям координат, до встречи с зтими осими, то площадь полученного прнмоугольника делнтсн кривой в отношении 1: 2. Тб. Найти кривые, касательные к которым в любой точке образуют равные углы с полярным радиусом и полярной осью.

В задачах 77 — 79 считать, что втекающий газ (или жидкость) вследствие перемешивания распределнется по всему объему вместилища равномерно. 77. Сосуд объемом в 20 л содержит воздух (80озе азота и 20% кислорода). В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое жс количество смеси.

Через сколько времени в сосуде будет 99с7о азота? Т8. В баке находитсн 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час? 79. В воздухе комнаты объемом 200 мз содержитсн 0,15% углекислого газа (СОз). Вентилятор подает в минуту 20 мз воздуха, содержашего 0,04% СОз. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшитсн втрое? В задачах 80 — 82 принять, что скорость остывания (или нагревании) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

80. Тело охладилось за 10 мин от 100' до 60'. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20'. Когда тело остынет до 25'? 81. В сосуд, содержащий 1 кг воды при температуре 20', опущен алюминиевый предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0,2 и температурой 75*. Через минуту вода нагрелась на 2'. Когда температура воды и предмета будет отличаться одна от другой на 1'? Потерями тепла на нагревание сосуда и прочими пренебречь. 82. Кусок металла с температурой а градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от а градусов до Ь градусов.

При разности температур З 3. Геометрические и Лзизические зада щ 1о печи и металла в Т градусов металл нагреваетсл со скоростью ЙТ градусов в минуту. Найти температуру металла через час. ВЗ. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды., котороо пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/сек, через 4 сек скорость ее 1 м/сек. Когда скорость уменьшится до 1 см/сек? Какой путь может пройти лодка до остановки? В задачах 84 — 86 использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадакзщегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имекнцемуся в рассматриваемый момент.

84. За 30 дней распалось ос0% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества? 85. Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радин распадается 0,44 мг. с!ерез сколько лет распадетсн половина имеющегося количества радия'? 86. В исследованном куске горной породы содержится 100 мг урана и 14 мг уранового свинца. Известно, что уран распадается наполовину за 4,5 10е лет и что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца.

Определить возраст горной породы. Считать, что в момент образования горная порода нс содержала свинца, и пренебречь наличием промежуточных радиоактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрее урана). 87. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной Зо см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м? Для составления дифференциального уравнения в задачах 88 — 90 за неизвестную функцию удобнее взлть скорость.