Вопросы к экзамену (Вопросы к экзамену.pdf)

Программа экзамена по линейной алгебреЛектор — М. В. ЗайцевII семестр, 2004 г.1. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, размерность.2. Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты, их изменение при замене базиса. Изоморфизмпространств одинаковой размерности.3. Подпространства, их суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств.

Размерность суммы и пересечения подпространств.4. Сопряженное пространство и его размерность. Канонический изоморфизм. Критерий линейной независимости векторов.5. Задание подпространств линейной однородной системой уравнений.6. Линейные отображения, их задание матрицами. Размерность ядра и образа.

Критерий инъективности.7. Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса.8. Определитель и след линейного оператора. Критерий невырожденности оператора.9. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения.10. Характеристический многочлен. Алгебраическая и геометрическая кратности корня.11. Спектр оператора.

Критерии диагонализируемости линейного оператора.12. Минимальный многочлен, его существование и единственность.13. Теорема Гамильтона – Кэли и ее следствия.14. Разложение пространства в сумму корневых подпространств.15. Нормальный базис для нильпотентного оператора.16. Жордановы матрицы. Существование жордановой нормальной формы у комплексной матрицы.17. Единственность жордановой нормальной формы.18. Билинейные формы и их матрицы. Изменение матрицы при замене базиса. Канонический базис для симметрической билинейной формы.19.

Квадратичные формы и их матрицы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. АлгоритмЛагранжа.20. Закон инерции для вещественных квадратичных форм.21. Теорема Якоби. Критерии Сильвестра.22. Канонический вид кососимметрической билинейной формы.23. Евклидово пространство. Неравенство Коши – Буняковского и его следствия.24. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.25. Процесс ортогонализации Грамма – Шмидта. Ортогональное дополнение.26.

Сопряженный оператор и его матрица. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов для самосопряженного оператора.27. Ортогональные матрицы. Приведение квадратичной формы к главным осям.28. Ортогональный оператор и его канонический базис.29. Полярное разложение линейного оператора.30. Унитарное пространство, существование ортонормированного базиса, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.31. Эрмитовы и унитарные операторы, их канонический вид.32.

Аффинные пространства, их изоморфизм, координаты точки в разных системах координат.33. Подпространства в аффинном пространстве и их пересечение. Задание подпространств системами линейных уравнений.34. Евклидовы пространства, расстояние от точки до плоскости.135. Расстояние между плоскостями в евклидовом пространстве. Определитель Грама и объем параллелепипеда.36.

Аффинная группа, подгруппа сдвигов и подгруппа, оставляющая неподвижной фиксированную точку.37. Движения евклидова пространства, их представление в виде произведения сдвига и движения с неподвижной точкой.38. Классификация движений в двумерном и трехмерном пространствах.39. Квадратичные функции в аффинном пространстве, их центральные точки, канонический вид.40. Квадрики в аффинном пространстве. Единственность уравнения, задающего квадрику.41.

Центр квадрики и центральные точки квадратичной функции.42. Понятие тензора, тензоры малых рангов, произведение тензоров. Базис и размерность пространства тензоров типа (p, q).43. Изменение координат тензора при замене базиса.44. Свертка тензора, ее координаты.45. Симметризация и альтернирование тензоров.46. Тензорная алгебра. Внешняя алгебра векторного пространства.47.

Базис и размерность внешней алгебры векторного пространства.48. Связь внешнего произведения с определителем.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.