Вопросы к экзамену от Мануйлова

Программа экзамена по линейной алгебреЛектор — Владимир Маркович МануйловII семестр, 2005–2006 г.Различия программ 2006 и 2005 года минимальны, хотя и имеются. Для полноты картины старая программа оставлена.Программа 2006 года1. Линейное пространство. Определение, примеры. Линейная оболочка.

Аффинное пространство.2. Линейная (не)зависимость системы векторов. Ранг системы векторов. Размерность. Базис. Координаты.Зависимость координат от базиса.3. Подпространство. Факторпространство. Теорема о сумме размерностей подпространства и факторпространства.4. Пересечение и сумма подпространств.

Теорема об их размерностях. Прямая сумма двух и более подпространств. Внешняя прямая сумма.5. Двойственное пространство. Двойственный базис. Зависимость координат в двойственном пространствеот базиса.6. Изоморфизм линейных пространств. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности.7. Линейные отображения. Матрица линейного отображения. Зависимость её от базиса.8. Линейные операторы. Ядро и образ оператора. Инвариантное подпространство. Ограничение оператора ифактор-оператор.

Вид матрицы оператора, обладающего инвариантным подпространством.9. Собственные значения и собственные векторы. Существование нетривиальных инвариантных подпространств в случае алгебраически замкнутого поля.10. Операторы проектирования. Их алгебраическая и геометрическая характеризация.11.

Нильпотентные операторы. Теорема о нормальной форме для нильпотентного оператора.12. Корневые подпространства. Аннулирующий многочлен. Минимальный многочлен.13. Теорема Гамильтона – Кэли (доказательство для случая алгебраически замкнутого поля).14. Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств (для случая алгебраически замкнутогополя).15. Теорема Жордана о приведении к нормальной форме.16.

Овеществление и комплексификация линейных пространств и операторов.17. Существование одномерных или двумерных инвариантных подпространств у операторов над R.18. Евклидовы и эрмитовы пространства. Неравенство Коши – Буняковского и неравенство треугольника.19. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение.

Проекция и ортогональная составляющая.20. Расстояние от вектора до подпространства, угол между вектором и подпространством.21. Метод наименьших квадратов.22. Определитель Грама G(a1 , . . . , an ). Объём n-мерного параллелепипеда. Критерий невырожденности матрицы Грама. Связь между G(f (a1 ), . . . , f (an )) и G(a1 , .

. . , an ), где f — оператор. Критерий для матрицыбыть матрицей Грама.23. Изометрические операторы как операторы, сохраняющие скалярное произведение. Свойство матриц изометрических операторов в ортонормированном базисе.24. Канонический вид унитарного оператора.25. Канонический вид ортогонального оператора.26. Сопряжённый оператор. Самосопряжённые и кососимметрические операторы, их канонический вид.27. Нормальные операторы, связь нормальности с диагонализируемостью.28. Неотрицательные операторы.

Существование и единственность неотрицательного квадратного корня изнеотрицательного оператора.29. Полярное разложение операторов (доказательство существования только для обратимых операторов).130. Билинейные и полуторалинейные функции. Правое и левое ядро. Невырожденность.31. Матрица билинейной (полуторалинейной) функции, её изменение при заменах базиса. (Анти)симметричные и эрмитовы функции.32. Ортогональное дополнение относительно (анти)симметричной билинейной (эрмитовой полуторалинейной)функции. Его размерность.

Сумма подпространства и его ортогонального дополнения. Второе ортогональное дополнение.33. Нормальный вид (анти)симметричных билинейных функций над полями R и C, эрмитовых полуторалинейных функций.34. Теорема инерции. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра.35. Квадратичные функции в линейных и аффинных пространствах.36. Группы O(p, q), U(p, q), Sp(2m). Частные случаи.37. Естественный изоморфизм между L(V ) и B(V ). Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду в евклидовом пространстве.38. Обобщённый характеристический многочлен.

Теорема об одновременном приведении одной квадратичнойфункции к каноническому виду, а другой (положительно определённой) — к нормальному виду.39. Канонический изоморфизм линейного пространства и его второго двойственного. Тензоры. Полилинейныефункции. Примеры.40. Линейные операторы как тензоры.

Матричные элементы обратной матрицы билинейной функции кактензоры.41. Тензорное произведение тензоров. Координатное определение тензоров. Базис в пространстве тензоров.42. Свёртка тензоров. Поднятие и опускание индексов в случае евклидова пространства.43. Симметричные и кососимметричные тензоры. Симметризация и альтернирование. Внешнее умножение,его свойства.44. Базис в пространстве кососимметрических тензоров.Последняя компиляция: 10 июня 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2Программа 2005 года1.

Линейное пространство. Определение, примеры. Линейная оболочка. Аффинное пространство.2. Линейная (не)зависимость системы векторов. Ранг системы векторов. Размерность. Базис. Координаты.3. Подпространство. Факторпространство. Теорема о сумме размерностей подпространства и факторпространства.4. Пересечение и сумма подпространств. Теорема об их размерностях.

Прямая сумма двух и более подпространств. Внешняя прямая сумма.5. Двойственное пространство. Двойственный базис. Пример: двойственное пространство к пространствумногочленов степени не выше n и его базис.6. Изоморфизм линейных пространств. Изоморфность линейных пространств одинаковой размерности. Второе двойственное пространство.

Канонический изоморфизм между пространством и его вторым двойственным.7. Линейные отображения. Ядро и образ линейного отображения. Теорема о сумме размерностей ядра иобраза. Матрица линейного отображения. Зависимость от базиса.8. Линейные операторы.

Ядро и образ оператора. Инвариантное подпространство. Ограничение оператора ифактор-оператор. Вид матрицы оператора, обладающего инвариантным подпространством.9. Собственные значения и собственные векторы. Существование нетривиальных инвариантных подпространств в случае алгебраически замкнутого поля.10.

Операторы проектирования. Их алгебраическая и геометрическая характеризация.11. Нильпотентные операторы. Теорема о нормальной форме для нильпотентного оператора.12. Собственные значения и собственные векторы. Корневые подпространства. Аннулирующий многочлен.Минимальный многочлен.13. Теорема Гамильтона – Кэли (доказательство для случая алгебраически замкнутого поля).14. Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств (для случая алгебраически замкнутогополя).15. Теорема Жордана о приведении к нормальной форме.16. Овеществление и комплексификация.

Канонические изоморфизмы (VC )R ∼= V ⊕ V , (VR )C ∼=V ⊕V.17. Существование одномерных или двумерных инвариантных подпространств у операторов над R. Вещественная жорданова нормальная форма.18. Евклидовы и эрмитовы (унитарные) пространства. Неравенство Коши – Буняковского и неравенство треугольника.19. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение. Проекция и ортогональная составляющая.20.

Расстояние от вектора до подпространства, угол между вектором и подпространством.21. Метод наименьших квадратов.22. Определитель Грама G(a1 , . . . , an ). Объем n-мерного параллелепипеда. Связь между G f (a1 ), . . . , f (an )и G(a1 , . . . , an ), где f — оператор. Критерий невырожденности матрицы Грама. Критерий для матрицабыть матрицей Грама.23. Изоморфизмы евклидовых (унитарных) пространств. Операторы, сохраняющие скалярное произведение.Изометрии.

Частичные изометрии.24. Канонический вид унитарного оператора.25. Канонический вид ортогонального оператора.26. Самосопряженные и кососимметрические операторы, их канонический вид.27. Нормальные операторы, связь нормальности с диагонализируемостью.28.

Неотрицательные операторы. Неотрицательность квадратного корня из неотрицательного оператора.29. Полярное разложение операторов.30. Билинейные, полуторалинейные, квадратичные функции. Канонический изоморфизм B(V ) ∼= L(V, V ′ ).Правое и левое ядро. Невырожденность.31. Матрица билинейной (полуторалинейной) функции, ее изменение при заменах базиса. Симметричные иантисимметричные и эрмитовы функции.32. Ортогональное дополнение относительно (анти)симметричной билинейной (эрмитовой полуторалинейной)функции.