Программа спецкурса

Программа спецкурса «Введение в алгебраическуюгеометрию и теорию инвариантов»Лектоp — И. В. Аржанцев2005–2006 г.Часть 1. Алгебраическая геометрия1. Аффинные алгебраические подмногообразия. Примеры. Идеал подмногообразия. Теорема Гильберта обазисе. Алгебра регулярных функций. Теорема Гильберта о нулях.2. Морфизмы аффинных подмногообразий. Аффинные многообразия.3. Топология Зарисского. Главное открытое подмножество. Спектр аффинной алгебры.4.

Нётерово топологическое пространство. Однозначность разложения на неприводимые компоненты.5. Произведение аффинных многообразий. Алгебра регулярных функций на произведении.6. Рациональные функции. Область определения и идеал знаменателей. Локализация алгебры.7. Морфизмы: доминантные, конечные, замкнутые вложения, рациональные и простые накрытия.

ЛеммаНакаямы и детерминантный трюк. Лемма Нётер о нормализации. Разложение доминантного морфизма вкомпозицию рационального накрытия и проекции.8. Размерность многообразия. Теорема Крулля о гиперповерхности. Высота простого идеала. Теорема о размерности слоёв морфизма. Теорема Шевалле о полунепрерывности.9. Рациональные морфизмы. Теорема о факторизации морфизма. Теорема об образе морфизма.10. Касательное пространство.

Дифференциал морфизма. Гладкие и особые точки.11. Пучки функций и абстрактные алгебраические предмногообразия.12. Проективные и квазипроективные многообразия. Примеры: многообразия Грассмана и многообразие флагов.13. Произведение предмногообразий. Аксиома отделимости и алгебраические многообразия.

Отделимость квазипроективных многообразий.14. Полные многообразия. Полнота проективных многообразий.15. Нормальные многообразия. Теорема об устранении особенности. Дивизоры на многообразиях. Дивизоррациональной функции.Часть 2. Алгебраические группы1. Алгебраические группы. Определение и примеры. Замкнутые подгруппы. Теорема о компонентах связности. Замкнутость ядра и образа при гомоморфизме групп.2. Действие алгебраической группы. Теорема о размерности орбит. Стабилизаторы.3. Теорема о замкнутом эквивариантном вложении.

Существование точного линейного представления.4. Однородные пространства. Теорема Шевалле о квазипроективности. Факторгруппа алгебраической группы.5. Касательная алгебра. Свойства функтора Ли.6. Разложение Жордана в алгебраической группе и её касательной алгебре.7. Алгебраические торы: полная приводимость представлений и решётки характеров. Квазиторы.8. Разрешимые группы. Теорема Бореля о неподвижной точке.

Теорема Ли – Колчина. Унипотентные группы.9. Максимальные торы и подгруппы Бореля: теорема о сопряжённости. Проективность обобщённого многообразия полных флагов.10. Редуктивные группы: пять эквивалентных определений. Строение связных редуктивных групп.1Часть 3. Теория инвариантов1. Теорема Гильберта об инвариантах. Оператор Рейнольдса.2. Морфизм факторизации для действия редуктивной группы на аффинном многообразии. Его свойства.Критерий Игусы. Категорный фактор.3.

Рациональные инварианты. Теорема Розенлихта. График действия.4. Инварианты конечных групп. Геометрический фактор. Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда.5. Классическая теория инвариантов: постановка задачи, поляризация, полный набор типовых инвариантов,первая основная теорема для классических групп.6. Присоединённое представление: нильпотентные и полупростые элементы, лемма Ричардсона, группа Вейля, теорема Шевалле об инвариантах.Последняя компиляция: 22 мая 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.