Программа экзаменов 1-4 семестры (С.А. Теляковский)

Программа экзамена по математическому анализуЛектор — С. А. ТеляковскийI–IV семестры, 2002–2004 г.I семестр1. Непрерывность множества действительных чисел в терминах теорем о точных гранях, вложенных отрезкахи дедекиндовых сечениях. Равносильность этих теорем.2. Счётность множества рациональных чисел и несчётность множества действительных чисел.3. Предел последовательности.

Свойства пределов, связанные с неравенствами и арифметическими действиями. Определение числового ряда и его суммы.4. Подпоследовательности, теорема Больцано – Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы последовательности, их свойства.5. Предел монотонной последовательности. Число e. Критерий Коши сходимости последовательности.6. Определения предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность. Свойства пределов функции.7.

Критерий Коши существования предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Классификация точек разрыва.8. Непрерывность элементарных функций.9. Предел и непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции.10. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижимость точной верхней и точнойнижней граней значений.11.

Теорема Коши о промежуточных значениях для функций, непрерывных на отрезке и на интервале.12. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке. Модуль непрерывности, критерий равномерной непрерывности функции.13. Производная и дифференциал функции. Касательная к графику функции.14. Производная обратной функции, производная сложной функции.15. Правила вычисления производных. Производные элементарных функций.16. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница для производной произведения.Вопрос об инвариантности формы дифференциалов.17.

Возрастание и убывание функции в точке. Теорема Ферма. Теорема Дарбу о промежуточных значениях.18. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о среднем.19. Следствия из формулы конечных приращений Лагранжа. Возрастание и убывание функции на отрезке.20. Раскрытие неопределённостей. Правила Лопиталя.21. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано.22. Поведение остаточного члена формулы Тейлора функций ex , sin x, cos x, ln(1 + x). Бином Ньютона.23.

Достаточные условия и необходимые условия локального экстремума в терминах старших производных.24. Выпуклость и вогнутость функции в точке. Точки перегиба.25. Необходимое и достаточное условие выпуклости функции на промежутке.26. Свойства производных функций, выпуклых на промежутке.27. Неравенства Йенсена, Гёльдера, Минковского и Чебышева.28. Непрерывность и дифференцируемость векторнозначных функций. Свойства производных.29. Длина дуги кривой. Гладкие кривые.1II семестр1. Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, интегрирование по частям и замена переменной.Интегрирование рациональных дробей.2.

Определение интеграла Римана. Ограниченность интегрируемой функции. Верхний и нижний интегралыДарбу.3. Критерии интегрируемости функции в терминах сумм Дарбу.4. Интегрируемость непрерывных и кусочно-непрерывных функций. Площадь криволинейной трапеции. Интегрируемость монотонных функций.5. Аддитивность интеграла относительно промежутка интегрирования. Интегрируемость суммы, произведения и частного интегрируемых функций.

Интегрирование неравенств. Первая теорема о среднем.6. Приближение интегрируемых функций ступенчатыми и непрерывными функциями.7. Интегрируемость в степени p > 0 модуля интегрируемой функции.8. Свойства интеграла с переменным верхним пределом: выполнение условия Липшица, дифференцируемость. Формула Ньютона – Лейбница.9. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Формула Тейлора с остаточнымчленом в интегральной форме.10. Вторая теорема о среднем.11. Несобственные интегралы. Критерий Коши, признаки сравнения.

Признаки Дирихле и Абеля сходимостинесобственных интегралов. Формула Ньютона – Лейбница и интегрирование по частям для несобственныхинтегралов.12. Неравенства Йенсена, Гёльдера, Минковского и Чебышева для интегралов.13. Функции ограниченной вариации и их свойства.14.

Интеграл Римана – Стилтьеса, критерий Коши интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функциипо функции ограниченной вариации.15. Интегрирование по частям для интеграла Римана – Стилтьеса. Связь интеграла Римана – Стилтьеса с интегралом Римана.16. Открытые и замкнутые множества в многомерном евклидовом пространстве.17. Предел функции многих переменных, критерий Коши. Повторные пределы.18. Непрерывность функции многих переменных. Непрерывность сложной функции. Свойства функций, непрерывных на компакте.19.

Частные производные и дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Градиент функции и его инвариантностьотносительно системы координат.20. Касательная плоскость к графику функции многих переменных.21. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций многих переменных. Достаточныеусловия равенства смешанных производных.22. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Лагранжа и в формеПеано.23. Выпуклые функции многих переменных.24.

Теорема о неявной функции.25. Теорема о системе неявных функций.26. Безусловный локальный экстремум функций многих переменных.27. Локальный относительный экстремум функций многих переменных.28. Метод неопределенных множителей Лагранжа для нахождения локального относительного экстремумафункций многих переменных.2III семестр1. Числовые ряды, критерий Коши. Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости.

Признакисравнения. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов, сравнение этих признаков.2. Ряды с монотонными членами. Интегральный признак сходимости. Постоянная Эйлера. Теорема Коши.Необходимое условие сходимости рядов с монотонными членами. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.3. Признаки Раабе, Гаусса и Куммера сходимости рядов. Неравенства Гёльдера и Минковского для рядов.4.

Преобразование Абеля. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов. Бесконечные произведения. Связьсходимости бесконечных произведений и рядов.5. Перестановка членов абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящихся рядов.6. Почленное умножение абсолютно сходящихся рядов. Теорема Мертенса об умножении рядов.7. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Критерий Коши, признаки сравнения.

Признаки Дирихле, Абеля и Дини равномерной сходимости рядов.8. Теоремы о равномерно сходящихся последовательностях и рядах: предельный переход, непрерывность,почленное интегрирование.9. Теорема о дифференцировании равномерно сходящихся последовательностей и рядов.

Пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции.10. Первая теорема Абеля о степенных рядах. Радиус сходимости степенного ряда, формула Коши – Адамара.Теорема единственности для степенных рядов. Представление функций рядами Тейлора.11. Функции комплексной переменной ez , sin z, cos z, sh z, ch z. Формула Эйлера. Почленное дифференцирование степенных рядов по комплексному аргументу.12. Вторая теорема Абеля о степенных рядах. Представление функций ln(1 + х ) и arctg x рядами Тейлора.13.

Представление степенной функции (1 + х )m рядом Тейлора, |х | 6 1.14. Суммирование рядов методами средних арифметических и Абеля – Пуассона.15. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра (непрерывность, переход к пределу, дифференцирование, интегрирование).16. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра.

Критерий Коши, признакиравномерной сходимости. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: переход к пределу,непрерывность.17. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: интегрирование, дифференцирование.18. Γ-функция. Формула Стирлинга.19. B-функция, выражение через Γ-функцию,20. Разложение функции sin1 x по полюсам. Представление функции sin x в виде бесконечного произведениямногочленов.

Формула дополнения для Γ-функции.21. Наилучшее приближение элементов полиномами в линейном нормированном пространстве. Ортонормированные системы в пространствах со скалярным произведением. Минимальное свойство коэффициентовФурье. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Полнота и замкнутость систем.22. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Лемма Римана. Принцип локализации Римана.

Почленноедифференцирование и интегрирование рядов Фурье. Ряды Фурье в комплексной форме.23. Сходимость тригонометрического ряда Фурье в точке. Пример непрерывной функции с рядом Фурье,расходящимся в точке.24. Обобщённая лемма Римана. Принцип локализации для равномерной сходимости рядов Фурье. ЯвлениеГиббса.25. Наилучшее приближение функций тригонометрическими полиномами. Теорема Лебега, константы Лебега.Теорема Джексона.

Условие Дини – Липшица.26. Суммирование тригонометрических рядов Фурье методом средних арифметических. Теоремы Вейерштрасса о полноте тригонометрической системы и системы алгебраических многочленов.27. Преобразование Фурье.3IV семестр1. Элементарные фигуры, внутренняя и внешняя меры множества.

Мера Жордана.2. Свойства измеримых множеств. Измеримость множества и мера его границы. Мера объединения множеств,аддитивность меры.3. Кратный интеграл Римана. Вопрос об ограниченности интегрируемых функций.4. Критерии интегрируемости в терминах сумм Дарбу.5. Свойства кратного интеграла Римана.6. Кратные и повторные интегралы.7. Геометрический смысл модуля якобиана плоского отображения.8. Замена переменных в кратном интеграле.9. Достаточные условия сходимости несобственных кратных интегралов.10. Абсолютная сходимость несобственных кратных интегралов.11.