Программа экзамена по высшей алгебре 1 и 3 семестры

Программа экзамена по высшей алгебреЛектор — Виктор Николаевич Латышев1, 3 семестры, 2002–2003 г.1 семестр1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.Решение СЛУ методом исключения неизвестных, общее решение, исследование различных случаев.Связь между решениями СЛУ и решениями ее присоединённой однородной СЛУ.Линейная зависимость строк, различные определения, основная лемма о линейной зависимости.База и ранг системы строк.Совпадение рангов системы строк и системы столбцов в любой матрице.Критерий совместности (Теорема Кронекера – Капелли) и критерий определенности в терминах ранговматриц.Алгоритм вычисления ранга и отыскания базы в конечной системе строк, использующий элементарныепреобразования строк матрицы.Фундаментальная система решений однородной СЛУ.Плоскости арифметического пространства как решения СЛУ.Группа подстановок конечного множества, знак подстановки, разложение в произведение транспозиций.Определитель квадратной матрицы и его основные свойства: линейность по строкам, косая симметрия построкам, условие нормировки.

Вычисление определителя приведением к треугольному виду.Неизменность определителя при транспонировании его матрицы.Критерий равенства определителя нулю.Определитель матрицы с углом нулей.Формула разложения определителя по строке (столбцу). Теорема о фальшивом разложении.Теорема Крамера о системах линейных уравнений с квадратной матрицей.Определитель Вандермонда. Интерполяционная теорема Лагранжа.Теорема о ранге матрицы.Действия над матрицами и их свойства.Теорема о ранге произведения двух матриц.Определитель произведения квадратных матриц.Обратная матрица, её явный вид (формула обратной матрицы через алгебраические дополнения), способвычисления с помощью элементарных преобразований строк.Основные алгебраические структуры — группы, кольца, поля.

Определения, их простейшие следствия,понятие подструктуры, изоморфизмы. Примеры.Кольцо вычетов, случай простого модуля. Характеристика поля.Поле комплексных чисел, геометрическое изображение, алгебраическая и тригонометрическая формы записи, извлечение корней, корни из единицы.Теорема Гаусса об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.Кольцо многочленов от одной переменной, формальное и функциональное равенство многочленов.Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком. Теорема Безу и её следствия.Схема Горнера.НОД двух многочленов, его выражение через сами многочлены.

Алгоритм Евклида.Факториальность кольца многочленов и кольца целых чисел.Неприводимые многочлены над полем комплексных и действительных чисел.Формальная производная многочлена, ее свойства. Понижение кратности неприводимого множителя (корня) при дифференцировании, освобождение от кратных корней.Формула Лагранжа и метод Ньютона для интерполяционного многочлена.134. Формулы Виета для корней многочлена.35. Границы корней многочлена, грубая локализация, формула Тейлора для многочлена, признак Ньютонаверхней границы положительных корней.36.

Метод Штурма для отделения вещественных корней многочлена.37. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Случаи R и C.38. Существование и единственность представления симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных многочленов Виета.39.

Результант двух многочленов, его выражение через многочлены и их корни. Дискриминант многочлена.40. Теорема Декарта.23 семестр1. Теорема Кэли о представлении группы подстановками.2. Гомоморфизм групп (колец), его простейшие свойства, ядро и образ гомоморфизма, образ и прообразподгруппы (подкольца), примеры.3. Системы порождающих группы, циклические группы, теорема о подгруппах циклической группы.4. Теорема об изоморфизме циклических групп одинакового порядка.5. Разложение группы по подгруппе, теорема Лагранжа и её следствия.6. Нормальные подгруппы и конгруэнции группы, факторгруппа.7. Теорема о гомоморфизмах групп.8. Теорема о соответствии подгрупп при эпиморфизме и её следствие о понижении этажности «дроби», составленной из факторгрупп.9.

Идеалы и конгруэнции кольца, факторкольцо. Теорема о гомоморфизмах колец. Теорема о том, что Z иK[x] являются КГИ.10. Простое алгебраическое расширение поля, его размерность над исходным полем и свойство минимальности.11. Поле разложение многочлена, его единственность с точностью до изоморфизма и свойство минимальности.12. Формула размерности короткой башни полей. Поле алгебраических чисел, его алгебраическая замкнутость.13. Условия вложимости конечных полей.14. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Существование над конечным полем неприводимого многочлена наперёд заданной степени.15.

Прямые произведения групп и подгрупп, условие, при котором произведение нормальных подгрупп является прямым. Теорема о факторизации по прямым множителям.16. Свободные абелевы группы конечного ранга: эквивалентность различных определений, инвариантностьранга.17. Теорема о подгруппах свободной абелевой группы, согласованные базы.18. Существование примарного разложения конечно порождённой абелевой группы.19. Единственность примарного разложения конечно порождённой абелевой группы с точностью до изоморфизма.20.

Нетривиальность центра конечной p-группы, её разрешимость.21. Теорема существования силовской p-подгруппы.22. Теорема о том, что всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе и что все силовскиеp-подгруппы сопряжены.23. Теорема о том, что количество силовских p-подгрупп сравнимо с 1 по модулю p.24. Линейные представления групп: приводимость, полная приводимость, гомоморфизмы и изоморфизмы,матричные представления и их эквивалентность, лемма Шура.25. Теорема Машке о полной приводимости представления конечной группы.26.

Описание неприводимых комплексных представлений конечно порождённых абелевых групп.27. Вложение неприводимого представления в регулярное. Конечность числа неприводимых представленийконечной группы.28. Разрешимость группы верхнетреугольных матриц.29. Простота знакопеременной группы A5 .30. Малая теорема Ферма. Явное выражение для функции Эйлера.31. Китайская теорема об остатках.32.

Теорема Вильсона.33. Кратность неприводимого представления группы.34. Совпадение кратности и размерности неприводимого подпредставления группы в её регулярном представлении. Следствие для оценки числа неприводимых представлений группы.Последняя компиляция: 19 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.3.