Е.В. Троицкий - Программа экзамена по аналитической геометрии

Программа экзамена по аналитической геометрииЛектор — Евгений Вадимович Троицкий1 семестр, 2005 г.1. Закреплённые и свободные вектора. Коллинеарность и компланарность.2. Линейные операции, линейные комбинации и линейная зависимость векторов. Необходимое и достаточноеусловие линейной зависимости. Линейная зависимость объемлющей системы.3. Условия линейной зависимости векторов на плоскости и в пространстве. Базис. Разложение по базису.Координаты вектора. Аффинная система координат и координаты точки. Ортонормированный базис ипрямоугольная система координат.4. Деление отрезка в данном отношении.5. Скалярное произведение и его свойства. Запись в ортонормированном базисе.

Вычисление угла.6. Ориентированная площадь параллелограмма относительно базиса и её свойства, ориентация пары и её геометрический смысл. Ориентированный объём параллелепипеда относительно ортонормированного базиса,ориентация тройки. Лемма о непрерывной зависимости коэффициентов при вращении и растяжении.7. Необходимое и достаточное условие положительной ориентации одного базиса пространства относительнодругого, связанное с деформацией. Геометрическое следствие.8.

Задание ориентации. Ориентированный объём в ориентированном пространстве. Векторное и смешанноепроизведение, связь с ориентированным объёмом в ориентированном пространстве и свойства.9. Векторное и смешанное произведение в прямоугольных координатах.

Связь ориентированного объёма относительно базиса с ориентированным объёмом в ориентированном пространстве.10. Формула двойного векторного произведения и тождество Якоби.11. Прямая на плоскости. Параметрические уравнения. Прямая как кривая первого порядка. Необходимоеи достаточное условие задания одной прямой в фиксированной системе координат двумя уравнениями.Нахождение векторов, параллельных прямой. Взаимное расположение двух прямых.12. Полуплоскости, связанные с линейным уравнением.13.

Пучок прямых на плоскости. Условие принадлежности прямой пучку.14. Нормальный вектор и расстояние от точки до прямой в прямоугольных координатах. Нормальное уравнение, отклонение.15. Угол между прямыми на плоскости, связь с полуплоскостями.16. Параметрические и общее уравнения плоскости.

Полуплоскости. Условие параллельности вектора плоскости. Условия взаимного расположения плоскостей.17. Пучок плоскостей. Условие принадлежности плоскости пучку.18. Связка плоскостей. Условие принадлежности плоскости связке.19. Нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.20. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая как пересечение двух плоскостей, формула для направляющего вектора.21.

Четыре формулы для прямых в пространстве в прямоугольной системе координат.22. Замены координат, матрица перехода. Формулы замены координат. Координаты векторов. Композициизамен.23. Прямоугольные системы координат и ортогональные матрицы. Их свойства. Двумерные ортогональныематрицы.24. Углы Эйлера и трёхмерные специальные ортогональные матрицы.25. Полярные, сферические и цилиндрические координаты.26. Геометрическое определение эллипса, гиперболы и параболы.27. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения.28.

Оптические (фокальные) свойства коник.29. Аналитические определения коник.130. Директориальные свойства коник. Фокальный параметр. Полярные уравнения коник.31. Канонические уравнения кривых второго порядка. Квадрики. Теорема о приведении к каноническомувиду.32. Инварианты многочлена второй степени.

Определение типа квадрик.33. Семиинвариант. Единственность канонического уравнения и его нахождение.34. Распадающиеся кривые.35. Теоремы единственности для кривых второго порядка.36. Теорема Паскаля. «Построение» кривой второго порядка по пяти заданным точкам.37. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические уравнения. Инвариантность определения.38. Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с кривой. Типы кривых, связанные с наличием асимптотических направлений.39. Диаметр, сопряжённый неасимптотическому направлению. Диаметры параболы.40.

Центр и его уравнения. Наличие центров: условия. Взаимное расположение центров и диаметров.41. Взаимно сопряжённые диаметры и направления. Диаметры кривой с единственным центром.42. Главные диаметры и оси симметрии. Связь с собственными векторами.43. Нахождение вида и расположения кривых второго порядка.44. Касательные к кривым второго порядка.45. Поляра точки относительно коники.

Связь с касательными. Независимость от системы координат.46. Теорема о связи поляры с двумя секущими. Двойственность. Теорема Брианшона.47. Аффинные преобразования плоскости и пространства. Их запись в координатах. Независимость определения от выбора системы координат. Действие на векторы. Геометрические свойства.48. Изометрические преобразования плоскости и пространства. Их свойства и различные определения.

Теорема Шаля.49. Лемма о собственном векторе трёхмерной матрицы. Теорема о геометрических видах изометрий пространства.50. Метрическая классификация существенных квадрик на плоскости. Сильная метрическая классификация.51. Аффинная классификация существенных квадрик на плоскости.

Сильная аффинная классификация квадрик. Метод Лагранжа.52. Поверхности второго порядка: определение и теорема о приведении к каноническому виду.53. Единственность канонического уравнения поверхности.54. Эллипсоид. Его сечения. Гиперболоиды и их свойства.

Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.55. Асимптотические направления поверхности. Инвариантность определения. Связь с прямолинейными образующими.56. Параболоиды и их свойства. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида.57. Конус. Коническая поверхность над кривой. Коническая поверхность над эллипсом. Цилиндры и их образующие.58. Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с поверхностью второго порядка. Сопряжённая диаметральная плоскость.59. Уравнения центра поверхности.

Центральные поверхности.60. Касательная прямая и касательная плоскость к поверхности второго порядка. Связь последней с прямолинейными образующими.61. Аффинная и метрическая классификации пространственных квадрик.62. Пополненная плоскость. связка прямых, перспективное соответствие, однородные координаты.63. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.64. Проективные преобразования. Фундаментальная четвёрка.65. Проективно-аффинные преобразования.66.

Проективная прямая. Простое и двойное отношение. Инвариантность последнего. Определение проективного преобразования по трём точкам.67. Кривые второго порядка на проективной плоскости и их классификация.Последняя компиляция: 19 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.