Топологические свойства асимптотики спектра несамосопряженного оператора на двумерной поверхности вращения, страница 7

Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåòλimè z2 , à λ òàê, ÷òîZ λ pim11= π(2n + − m)[(λ − imz)(fz2 + 1)dz]−1²4z2òîãäà ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà:|λ − λ̃| = O(²2 ).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü l , l1 , l2 òðè ëèíèè Ñòîêñà, âûõîäÿùèå èç z0 (λ) =λ,imïðè÷åìl1 îãðàíè÷åííûé ïóòü ìåæäó z2 è x0 (λ), l2 ëèíèÿ Ñòîêñà, ëåæàùàÿ ñëåâà îò l, è l1 ëèíèÿ Ñòîêñà, ëåæàùàÿ ñïðàâà îò l (ò.å. ïîâîðîò îò l ê l2 âîêðóã x0 ïðîèñõîäèò ïðîòèâ÷àñîâîé ñòðåëêè, à îò l ê l1 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå).

Îòìåòèì, ÷òî ïóòè l, l2 çàêàí÷èâàþòñÿâ áåñêîíå÷íîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç D îáëàñòü ìåæäó êðèâûìè l1 è l2 , ñîäåðæàùóþ l,÷åðåç D1 îáëàñòü ìåæäó l è l2 , ñîäåðæàùóþ l1 , è ÷åðåç D2 îáëàñòü ìåæäó l1 è l,ñîäåðæàùóþ l2 . Íàêîíåö, ëèíèþ Ñòîêñà, âûõîäÿùóþ èç òî÷êè z1 îáîçíà÷èì ÷åðåç l3(ðèñ.2.2):Ïóñòü w1,2 ñòàíäàðòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå z1 (ñì. ï. 1.5), v1,2 ñòàíäàðòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå z2 . Ðàññìîòðèì êàíîíè÷åñêèå (ÔÑÐ), ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå ïîâîðîòà z0 (λ) è ëèíèÿì Ñòîêñà l, l1 , l2 (ñì. ï.1.3); áóäåì îáîçíà÷àòüèõ u, υ , (u1 , υ1 ), (u2 , υ2 ) ñîîòâåòñòâåííî.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω ìàòðèöó ïåðåõîäà îò w ê v :Ω : w1,2 −→ v1,2è ïðåäñòàâèì åå â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ:Ω = Ω4 Ω3 Ω2 .ÇäåñüΩ2 : w1,2 −→ u, υΩ2 : (l2 , z1 , D) −→ (l, z0 (λ), D)− 1² τ1e0Ω2 = eiτ0 1τ1²0e ,τ1 =R z0 (λ) pz1(imt − λ)(fz2 + 1)dt. Äàëåå,Ω3 : u, υ −→ u1 , υ1Ω3 : (l, z0 (λ), D) −→ (l1 , z0 (λ), D1 )50πΩ3 = e−i 6 011 + O(² ) i(1 + O(² ))22Ω4 : u1 , υ1 −→ v1,2Ω4 : (l1 , z0 (λ), D1 ) −→ (l1 , 1, D1 )− 1² Θ10eT4 = eiΘ0  1Θ1²e0,ãäå Θ1 =p(imt − λ)(fz2 + 1)dt è ReΘ1 = 0 (ïîñêîëüêó ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåòx0 (λ)R111z0 (λ) è z2 ), ïîýòîìó e ² Θ1 = ei ² ϕ .

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìàòðèöû Ω ïîëó÷àåìΩ = Ω4 Ω3 Ω2 = îòêóäà01ei ² ϕ− 1² τ1e01e0,1τ22101 + O(² ) i(1 + O(² ))0e²−i 1² ϕT =11(1 + O(²2 ))e− ² (iϕ+τ1 ) (1 + O(²2 ))e− ² (iϕ−τ1 )0e1(iϕ+τ1 )².Ïîýòîìó, åñëè l1 w1 + l2 w2 = ˜l1 v1 + ˜l2 v2 , òî   − 1² (iϕ−τ1 )− 1² (iϕ+τ1 )22˜l1(1 + O(² ))el(1 + O(² ))e  1 , =1˜l20e ² (iϕ+τ1 )l2îòêóäà˜l1 = l1 (1 + O(²2 ))e− 1² (iϕ+τ1 ) + l2 (1 + O(²2 ))e− 1² (iϕ−τ1 )˜l2 = l2 e 1² (iϕ+τ1 ) .Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì:11˜l1l1 (1 + O(²2 ))e− ² (iϕ+τ1 ) + l2 (1 + O(²2 ))e− ² (iϕ−τ1 ).=1˜l2l2 e ² (iϕ+τ1 )Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè l, ˜l ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö ìîíîäðîìèè, òîc˜1= −Ã−1 a˜+ −1 = −Ã−1 a−1−c˜21Ïîñêîëüêó e ² τ1 ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò (ò.å.

Reτ1 > 0), èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò,÷òî−2ic1 2 (iϕ−τ1 )c̃1= −Ã−1 a−1e²+ ie ² ϕ )(1 + O(²2 )).− = (c̃2c21Ïîñêîëüêó e− ² τ1 ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, ïîëó÷àåì1π1−2i ² ϕ(1 + O(²2 )) = ei 2 e−2i ² ϕ (1 + O(²2 ))−Ã−1 a−1− = ie51îòêóäà íàõîäèì óðàâíåíèÿ íà ñîáñòâåííûå ÷èñëà1π1−e−iρ ei ² ϕ = ei 2 e−i ² ϕ (1 + O(²2 )).Ïî òåîðåìå Ãóðâèöà êîðíè óðàâíåíèÿρπρ1π1e−i( 2 + 4 − ² ϕ) + ei( 2 + 4 − ² ϕ) (1 + O(²2 )) = 0íàõîäÿòñÿ â O(²2 )-îêðåñòíîñòÿõ êîðíåé óðàâíåíèÿρπρ1π1e−i( 2 + 4 − ² ϕ) + ei( 2 + 4 − ² ϕ) = 0.Äðóãèìè ñëîâàìè, òî÷êè ñïåêòðà íàõîäÿòñÿ â O(²2 )-îêðåñòíîñòÿõ êîðíåé óðàâíåíèÿρ π 12 cos( + − ϕ) = 0,2 4²êîòîðûå íàõîäÿòñÿ èç ðàâåíñòâρ π 1π+ − ϕ = + 2nπ2 4²2èëè1πρϕ = − + 2nπ +²42Íàêîíåö, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ ϕ, ïîëó÷àåìZ 1 p11= π(− + 2n − m)[(imt − λ)(fz2 + 1)dt]−1²4x0 (λ)è òåîðåìà äîêàçàíà.3.3 Ðàñïîëîæåíèå ñïåêòðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèÑïåêòð íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåí âáëèçè ìíîæåñòâà, îïðåäåëÿåìîãî óñëîâèÿìè êâàíòîâàíèÿ, ïîëó÷åííûìè â â ïðåäûäóùèõ òåîðåìàõ.

Ìíèìûå ÷àñòè ýòèõ óñëîâèé îïðåäåëÿþò êðèâûå, â O(²2 )-îêðåñòíîñòÿõ êîòîðûõ ðàñïîëîæåí ñïåêòð (ðåáðà ñïåêòðàëüíîãî ãðàôà).Îáîçíà÷èì q(z) = (λ−imz)(fz2 +1), òîãäà ðåáðà îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì âåùåñòâåííîR pñòè èíòåãðàëà ς q(t)dt, ãäå ς ïóòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Íàïîìíèì ÷òî íà ñôåR 2π pðå áûëî äîêàçàíî,÷òî Im 0q(t)dt = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà ,êîãäà λ-äåéñòâèòåëüíîåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî.

Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ýòî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå52òàê; ìîæíî ëèøü âûñêàçàòü íåêîòîðûå óòâåðæäåíèÿ î ðàñïîëîæåíèè ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåáðà ñïåíêòðàëüíîãî ãðàôà. Èìåííî, ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì ïðèäîêàçàòåëüñòâå ëåììû 2.3.1, ïîêàçûâàþò, ÷òî ëþáàÿ âåðòèêàëüíàÿ ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòðåáðî ñïåêòðàëüíîãî ãðàôà, çàäàííîå óðàâíåíèåìZ z2 p(imt − λ)(fz2 + 1)dt = 0z1íå áîëåå îäíîãî ðàçà.

Ýòî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâàZ z2 pZ z2pf2 + 1∂∂f2 + 1i = Re pz>0Imq(z)dz =Im q(z)dz = Im pz∂λ2∂λ2 z1q(z)q(z)z1(ñì. ëåììó 2.3.1); çäåñü λ2 = Imλ. Äåéñòâèòåëüíî, èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òîïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñòðîãî ìîíîòîííà ïî λ2 , à çíà÷èò, îáðàùàåòñÿ â íóëü íå áîëååîäíîãî ðàçà. Àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî ñïðàâåäëèâî è äëÿ äâóõ äðóãèõ ðåáåð ýòî ñëåäóåòèç íåðàâåíñòâ∂Im∂λ2∂Im∂λ2ZZλimpq(z)dz > 0z1λimpq(z)dz > 0.z2Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 2.3.2. çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ïðè ÷åòíîé ôóíêöèè f îäíî èç ðåáåð ãðàôà ëåæèò íàäåéñòâèòåëüíîé îñè.

Èìåííî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 3.3.1. Ïóñòü z1 = −z2 è ôóíêöèÿ f ÷åòíàÿ. ÒîãäàZz2Imz1p(λ − imz)(fz2 + 1)dz = 0òîãäà è òîëüêî òîãäà ,êîãäà λ-äåéñòâèòåëüíîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè óêàçàííûõ λ ìíèìàÿ ÷àñòü èíòåãðàëà îáðàùàåòñÿ â íóëü. Äëÿ ýòîãî ñäåëàåì â èíòåãðàëå çàìåíó ïåðåìåííîé z = z2 α;ïîëó÷èì ïðè λ = λ1 :Z1ImZq(λ −−1imz2 α)(fz22 αq1+ 1)d(z2 α) = Imz2−1(λ − imz2 α)(fz22 α + 1)dα.Çàìåíÿÿ α = cos θ, íàõîäèì:Z0Imπqz2 (λ − imz2 α)(fz22 α + 1)dα =53Zs0Imz2(λ − imz2 cos θ)(πZs0−Imz2 sin θπZπIm0(λ − imz2 cos θ)(Zπ2qpimz2 cos θ − λ0π2+Im11. 2 fθ2 + 1)dθ =2z2 sin θq(λ − imz2 cos θ)(fθ2 + z22 sin2 θ)dθ =−ImZ1 2f+ 1)d(cos θ) =z22 cos θfθ2 + z22 sin2 θdθqpimz2 cos θ − λ0fθ2 + z22 sin2 (π − θ)dθ = 0.3.4 Óñëîâèÿ êâàíòîâàíèÿ íà ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòèÏîëó÷åííàÿ àñèìïòîòèêà ñïåêòðà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà èç óñëîâèé êâàíòîâàíèÿ, ïîõîæèõ íà ïðàâèëà Áîðà Çîììåðôåëüäà Ìàñëîâà ([9],[10]); ýòè óñëîâèÿ çàäàþòñÿ íà ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé êîìïëåêñíîé ýíåðãèè.

Èìåííî, ïóñòü M ñòàíäàðòíàÿ ñôåðà; ðàññìîòðèì ðèìàíîâó ïîâåðõíîñòü, çàäàííóþ â C2 óðàâíåíèåì(z 2 − 1)p2 + imz = λ. Ýòà ïîâåðõíîñòü ãîìåîìîðôíà òîðó ñ òðåìÿ ïðîêîëàìè; îíàïîëó÷àåòñÿ èç äâóõ ýêçåìïëÿðîâ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z ñêëåéêîé âäîëü ðàçðåçîâ,ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè ±1 è òî÷êó λ/im ñ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé. Íà ýòîé ïîâåðõíîñòèîïðåäåëÿþòñÿ òðè öèêëà γ j ,j = 1, 2, 3 òàê, ÷òîáû ïðîåêöèè ýòèõ öèêëîâ íà ïëîñ-êîñòü z ñîâïàäàëè ñ îòðåçêàìè [−1, 1], [−1, λ/im], [1, λ/im] ñîîòâåñòâåííî.

Ñëåäóþùååóòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç òåîðåì 2.2.1 2.2.3:Ïðåäëîæåíèå 3.4.1. Óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå àñèìïòîòèêó ñïåêòðà, ìîãóò áûòüçàïèñàíû â âèäåãäå µ1 = 0,1²2πZpdz = n +γjµj,2µ 2 = µ3 = 1 .Çàìå÷àíèå 3.4.1.  îòëè÷èå îò óñëîâèé Ìàñëîâà, êîòîðûå äîëæíû áûòü âûïîëíåíû íà ëþáîì öèêëå âåùåñòâåííîãî ëàãðàíæåâà ìíîãîîáðàçèÿ, ïðèâåäåííûå âûøå êîìïëåêñíûå óñëîâèÿ êâàíòîâàíèÿ äîëæíû áûòü âûïîëíåíû õîòÿ áû íà îäíîì öèêëå;ðàçíûå öèêëû îïðåäåëÿþò ðàçíûå ñïåêòðàëüíûå ñåðèè.54Ëèòåðàòóðà[1] Ñ. Â. Ãàëüöåâ, À. È. Øàôàðåâè÷, Ñïåêòð è ïñåâäîñïåêòð íåñàìîñîïðÿæåííîãîîïåðàòîðà Øðeäèíãåðà ñ ïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè, Ìàòåì.

çàìåòêè, 80:3(2006), 356366[2] Ñ. Â. Ãàëüöåâ, À. È. Øàôàðåâè÷, Êâàíòîâàííûå ðèìàíîâû ïîâåðõíîñòè è êâàçèêëàññè÷åñêèå ñïåêòðàëüíûå ñåðèè äëÿ íåñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà Øðåäèíãåðàñ ïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè, ÒÌÔ, 148:2 (2006), 206226[3] È.Ö. Ãîõáåðã, Ì.Ã. Êðåéí, Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ íåñàîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ, Ì., Íàóêà, 1965.[4] Þ.Í. Äíåñòðîâñêèé, Ä.Ï. Êîñòîìàðîâ, Î çàäà÷àõ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿóðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà â ñëó÷àå íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà λ, ÄÀÍ,1963, 52:1, 28-30.[5] C.Þ. Äîáðîõîòîâ, Âèêòîð Ìàðòèíåñ Îëèâå, Â.Í.

Êîëîêîëüöîâ. Ìàò. Çàìåòêè, 1995,58(2), 880-884[6] À. Â. Äüÿ÷åíêî, À. À. Øêàëèêîâ, Î ìîäåëüíîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿ ÎððàÇîììåðôåëüäà ñ ëèíåéíûì ïðîôèëåì, Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèë., 36:3 (2002),7175[7] Ì. À. Åâãðàôîâ, Ì. Â. Ôåäîðþê, Àñèìïòîòèêà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ w00 (z) −p(z, λ)w(z) = 0λ → ∞ â êîìïëåêñíîé ïëîcêîñòè z, ÓÌÍ, 21:1 (1966), 350[8] À. È. Åñèíà, À. È. Øàôàðåâè÷ Óñëîâèÿ êâàíòîâàíèÿ íà ðèìàíîâûõ ïîâåðõíîñòÿõè êâàçèêëàññè÷åñêèé ñïåêòð îïåðàòîðà Øðeäèíãåðà ñ êîìïëåêñíûì ïîòåíöèàëîìÌàòåì. çàìåòêè, 2010, 88:2, 229248[9] Â. Ï.

Ìàñëîâ, Òåîðèÿ âîçìóùåíèé è àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû, Èçä-âî Ìîñê. óí-òà,Ì., 196555[10] Â.Ï. Ìàñëîâ, Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, Ì., Íàóêà, 1987.[11] Ñ. À. Ñòåïèí. Íåñàìîñîïðÿæåííûå ñèíãóëÿðíûå âîçìóùåíèÿ: ìîäåëü ïåðåõîäà îòäèñêðåòíîãî ñïåêòðà ê íåïðåðûâíîìó. ÓÌÍ, 50:6 (1995), 219220[12] Ñ. À. Ñòåïèí Î ñïåêòðàëüíûõ ñâîéñòâàõ çàäà÷è ÎððàÇîììåðôåëüäà ïðè èñ÷åçàþùåé âÿçêîñòè Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ, 1996, 30:4, 8891[13] Ñ. À.

Ñòåïèí, À. À. Àðæàíîâ, Êâàçèêëàññè÷åñêèå ñïåêòðàëüíûå àñèìïòîòèêè èÿâëåíèå Ñòîêñà äëÿ óðàâíåíèÿ Âåáåðà, Äîêë. ÐÀÍ, 378:1 (2001), 1821[14] Ñ.À. Ñòåïèí, Â.À. Òèòîâ. Î êîíöåíòðàöèè ñïåêòðà â ìîäåëüíîé çàäà÷å ñèíãóëÿðíîéòåîðèè âîçìóùåíèé, Äîêëàäû ÐÀÍ, 2007, 75:2, 197-200.[15] Ñ. Í. Òóìàíîâ, À. À. Øêàëèêîâ, Î ïðåäåëüíîì ïîâåäåíèè ñïåêòðà ìîäåëüíîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ÎððàÇîììåðôåëüäà ñ ïðîôèëåì Ïóàçåéëÿ, Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð.ìàòåì., 66:4 (2002), 177204[16] Ì. Â. Ôåäîðþê, Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû äëÿ ëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, Ñïðàâî÷íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèáëèîòåêà, Íàóêà, Ì., 1983[17] À. À. Øêàëèêîâ, Î ïðåäåëüíîì ïîâåäåíèè ñïåêòðà ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà îäíîé ìîäåëüíîé çàäà÷è, Ìàòåì. çàìåòêè, 62:6 (1997), 950953[18] E.

B. Davies, Pseudospectra of dierential operators, J. Operator Theory, 43:2 (2000),243262[19] S.Yu.Dobrokhotov, V.N. Kolokoltsov, V.Martinez Olive. Quasimodes of the diusion˙ , corresponding to asymptotically stable limit cycles of the eld V.operator −²∆ + V ∇Sobretiro de Sociedad Matematica Mexicana, 1994, 11, 81-89.[20] P. G. Drazin, W. H. Reid, Hydrodynamic Stability, Cambridge Monogr. Mech. Appl.Math., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981[21] [L. N. Trefethen, Pseudospectra of linear operators, ISIAM 95, Proceedings of the Thirdinternational congress on industrial and applied mathematics (Hamburg, 1995), Math.Res., 87, Akademie Verlag, Berlin, 1996, 40143456[22] Roohian Í.

Semiclassical Asymptotics of the Spectrum of a Nonselfadjoint Operator onthe Sphere / H. Roohian, A. I. Shafarevich // Russian Journal of mathematical Physics 16,  2. 2009. p. 309314.[23] Roohian H. Semiclassical Asymptotics behavior of the Spectrum of a NonselfadjointElliptic Oprator on a Two-Dimentional Surface of Revolution / H.

Roohian,A. I. Shafarevich // Russian Journal of mathematical Physics 17,  3. 2010.p. 328333.57.