Топологические свойства асимптотики спектра несамосопряженного оператора на двумерной поверхности вращения, страница 6

Òàêèå óñëîâèÿ îáåñïå÷èâàþò ãëàäêîñòüïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ M â ïîëþñàõ z1 , z2 . Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòèèìåþò âèä:r(z, ϕ) = (f (z) cos ϕ, f (z) sin ϕ, z),ãäå ϕ óãîë âðàùåíèÿ. Îïåðàòîð Ëàïëàñà, â êîîðäèíàòàõ z, ϕ èìååò âèä:1 X ∂ ij √ ∂g g∆= √g i,j ∂ui∂ujãäåu1 = z, u2 = ϕ, g = det gij42(3.1)è g ij îáðàòíàÿ ìàòðèöà ê ìåòðè÷åñêîìó òåíçîðó(rz , rz ) (rz , rϕ )gij = (rϕ , rz ) (rϕ , rϕ ). êîîðäèíàòàõ z, ϕ îïåðàòîð ∆ èìååò âèä:1∂f∂1 ∂2p∆ω = pω + 2 2ωf ∂ϕf fz2 + 1 ∂z fz2 + 1 ∂z(3.2)Ìû ðàññìàòðèâàåì óðàâíåíèå²2 ∆ω + (υ, ∇)ω = λω∂ãäå υ = a(z) ∂ϕ.Ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïðè a(z) = z ïîëó÷àåì:p−1ffz2 + 1 − f fz fzz (fz2 + 1) 2 0²2 m2 (fz2 + 1)z200ψ(z))+(² (ψ (z)++(imz −λ)(fz2 +1))ψ(z) = 01f2f (fz2 + 1) 2(3.3)ãäå ω = exp(imϕ)ψ(z).Îòìåòèì, ÷òî, åñëè f (z) =²2 (√1 − z 2 , ïðåäûäóùåå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:∂ 2 w(x)∂w(x)m22(1−x)−2x−w(x)) + imxw(x) = λw(x).∂x2∂x1 − x2Êîíå÷íî, ýòî èññëåäîâàííîå âûøå óðàâíåíèå (ñëó÷àé ñòàíäàðòíîé ñôåðû).

Òàê æå,êàê è â ñëó÷àå ñôåðû, ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ñîäåðæèò äâå îñîáûå òî÷êè z1 , z2 (îòìåòèì,÷òî f 0 (z1 ) = ∞,f 0 (z2 ) = ∞ Êðîìå òîãî, èìååòñÿ îäíà òî÷êà ïîâîðîòà imz = λ.Íàéäåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè îñîáûõ òî÷åê.  îêðåñòíîñòè ðåãóëÿðíîé√îñîáîé òî÷êè z1 (èëè z2 ) ôóíêöèÿ f èìååò âèä f (z) =z − z1 w(z) (èëè f (z) =√z − z2 w(z)), ãäå w àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.Íàøå óðàâíåíèå èìååò âèä (1.2), ãäå:p−1fz fz2 + 1 − f fz fzz (fz2 + 1) 2P (z) =1f (fz2 + 1) 2èëèP (z) =fzfz fzz− 2ffz + 1èQ(z) = (imz − λ)(fz2 + 1).43 îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè (íàïðèìåð, z1 ) óðàâíåíèå (3.3) èìååò âèä:(z − z1 )2 a(z)ψ 00 (z) + (z − z1 )b(z)ψ 0 (z) − m2 c(z)ψ(z) = 0,(3.4)ãäå a, b, c àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè, ðàâíûå 1 â òî÷êå z1 . Ïóñòü ψ = (z − z1 )ρ w(z) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.4) (w(z) àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ); òîãäà, åñëèψ(z) = (z − z1 )ρ (w0 + w1 (z − z1 ) + w2 (z − z1 )2 + .....),òî áóäåì èìåòü:ψ 0 (z) = ρ(z − z1 )ρ−1 (w0 + w1 (z − z1 ) + w2 (z − z1 )2 + .....) + (z − z1 )ρ (w1 + 2w2 (z − z1 ) + .....)ψ 00 (z) = ρ(ρ−1)(z−z1 )ρ−2 (w0 +w1 (z−z1 )+w2 (z−z1 )2 +.....)+2ρ(z−z1 )ρ−1 (w1 +2w2 (z−z1 )+.....)+(z − z1 )ρ (2w2 + 6w3 (z − z1 ) + .....).Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ðàçëîæåíèÿ â óðàâíåíèå (3.4), ïîëó÷èì:(z − z1 )2 ψ 00 (z) = ρ(ρ − 1)(z − z1 )ρ (w0 + w1 (z − z1 ) + w2 (z − z1 )2 + .....)+2ρ(z − z1 )ρ+1 (w1 + 2w2 (z − z1 ) + .....) + (z − z1 )ρ+2 (2w2 + 6w3 (z − z1 ) + .....)Ïîñêîëüêóm2 ψ(z) = m2 (z − z1 )ρ (w0 + w1 (z − z1 ) + w2 (z − z1 )2 + .....)(z−z1 )ψ 0 (z) = ρ(z−z1 )ρ (w0 +w1 (z−z1 )+w2 (z−z1 )2 +.....)+(z−z1 )ρ+1 (w1 +2w2 (z−z1 )+.....),ïðèðàâíèàÿ ê íóëþ êîýôôèöèåíò ïðè (z−z1 )ρ , ïîëó÷àåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå:ρ(ρ − 1) + ρ − m2 = 0,îòêóäà íàõîäèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè: ρ = ±m èëè ρ+ = |m| , ρ− = −|m|.3.2 Àñèìïòîòèêà ñïåêòðàÄëÿ òîãî, ÷òîáû îïèñàòü àñèìïòîòèêó ñïåêòðà â ñëó÷àå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ìû ïðèìåíèì òîò æå ìåòîä, ÷òî è â ãëàâå 2.

Èìåííî, ìû ðàññìîòðèì òî÷êè ïîâîðîòà è ëèíèèÑòîêñà óðàâíåíèÿ (3.3) è, ïîëüçóÿñü èíôîðìàöèåé î êàíîíè÷åñêèõ îáëàñòÿõ, âû÷èñëèìàñèìïòîòèêó ìàòðèö îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèè â îäíîì è òîì æå áàçèñå.44Çàìå÷àíèå 3.2.1.  íàøåì ñëó÷àå òî÷êè ïîâîðîòà íóëè è ïîëþñà ôóíêöèèq(z) = (imz − λ)(fz2 + 1); òàê æå, êàê è â ñëó÷àå ñôåðû, èõ òðè äâå îñîáûå òî÷êè z1 è z2 (ïîëþñà ïîâåðõíîñòè)è îäíà òî÷êà ïîâîðîòà ïîðÿäêà 1 z0 (λ) =λ.imËåììû (2.2.1) áåç èçìåíåíèé ïåðåíîñèòñÿ íà íàø îáùèé ñëó÷àé; òàêèì îáðàçîì, åñëè λ òàêîâî, ÷òî ãðàô Ñòîêñà íå ñîäåðæèò êîíå÷íûõ ëèíèé, òî â O(²2 )-îêðåñòíîñòèýòîé òî÷êè íåò òî÷åê ñïåêòðà.Òåîðåìà 3.2.1.

Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò z1 è z2 , à λ òàêîâî, ÷òî11= π(n − + 2m)(²2Zz2p(imz − λ)(fz2 + 1))dt)−1 .z1Òîãäà ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà, äëÿ êîòîðîãî|λ − λ̃| = O(²2 ).Äîêàçàòåëüñòâî. àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.2.1; êðàòêî ïðèâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ðàññóæäåíèÿ. Ïóñòü w1 è w2 ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.3) â îêðåñòíîñòè òî÷êèz1 , îïðåäåëåííûå â ï. 1.5 (àíàëîãè÷íûå ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êè z2 îáîçíà÷èì v1è v2 . Êàê óæå îòìå÷àëîñü:w1,2 (x + i0) = −i|q(x)|v1,2 (x + i0) = −i|q(x)|− 41− 41i[1 + O(² )] exp{∓²Zz2i[1 + O(² )] exp{∓²2Z|pa11q(t)|dt −2z|a2p1q(t)|dt −2Zp(t)dt}α+Zp(t)dt}.α0+Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.2.2 óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî îòíîøåíèå c1ôóíêöèé w1 è v1 èìååò âèä:Rz pR1−i|q(x)|− 4 [1 + O(²2 )] exp{− ²i a1 | q(t)|dt − 12 α+ p(t)dt}w1.=c1 =Rz pR1v1−i|q(x)|− 4 [1 + O(²2 )] exp{− ²i a2 | q(t)|dt − 21 α0+ p(t)dt}Ïðåíåáðåãàÿ ñëàãàåìûìè ïîðÿäêà ²2 , ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì:ZZw1i a1 p1 a1c1 == exp{+| q(t)|dt +p(t)dt}.v1² a22 a2Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ ñâÿçü ìåæäó w1 è v1 :ZZi a1 pw21 a1= exp{−| q(t)|dt −p(t)dt}.c2 =v2² a22 a245Îòíîøåíèåc2c1èìååò âèä:c2i= exp{2c1²òàêèì îáðàçîì:Za2|pZq(t)|dt +c2i= exp{2c1²p(t)dt;γa1Za2|pq(t)|dt + πi}a1Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê è â ïðåäûäóùåé ãëàâå, èçâåñòíî, ÷òî (îáîçíà÷åíèÿ òå æå, ÷òî âãë.

2 è ï.1.5):c2Aa+=c1Ãã+ãäåP∞ kA= e k=0 ² (αk −α̃k ) ∼ eα0 −α˜0 ∼ 1,Ãa+ = exp{2πiρ+ },a− = exp{2πiρ− }.Îòñþäà ïîëó÷àåìîòêóäàa+= exp{2πi(ρ+ − ρ− )} = exp{4mπi},a−iexp{2²èëèZz2z1p(imz − λ)(fz2 + 1))dt + πi} = exp{4mπi + 2nπi}11= π(n − + 2m)(²2Zz2p(imz − λ)(fz2 + 1))dt)−1 .z1Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 3.2.2. Ñîåäèíåíèå äâóõ îñîáûõ òî÷åê ëèíèåé Ñòîêñà ñàìàÿ ïðîñòàÿ ñèòóàöèÿ; â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íàéòè ñîîòíîøåíèå ìåæäó áàçèñàìè, îïðåäåëåííûìèâáëèçè îñîáûõ òî÷åê, íå ïðèáåãàÿ ê àïïàðàòó êàíîíè÷åñêèõ îáëàñòåé è ìàòðèö ïåðåõîäà. Äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëó÷àè ñîåäèíåíèÿ ëèíèåé Ñòîêñà òî÷êè ïîâîðîòàz0 (λ) =λimñ îäíîé èç îñîáûõ òî÷åê.Òåîðåìà 3.2.2. Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò z1 èλ,imà λ òàêîâî, ÷òîZ λ pim11= π(2n − − m)[(λ − imz)(fz2 + 1)dz]−1²4z1òîãäà ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà D, äëÿ êîòîðîãî:|λ − λ̃| = O(²2 ).46Äîêàçàòåëüñòâî.

Òî÷êà ïîâîðîòà óðàâíåíèÿ (3.3)èìååò âèä z0 =λ.imÀíàëîãè÷íî äî-êàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.2.2, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äâå áåñêîíå÷íûå ëèíèè Ñòîêñà, âûõîäÿùèå èç òî÷êè ïîâîðîòà, ðàçäåëÿþò îñîáûå òî÷êè (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îñîáûå ìîæíîâîñïîëüçîâàòüñÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì). Ïóñòü l , l1 , l2 òðè ëèíèè Ñòîêñà,âûõîäÿùèå èç z0 (λ) =λ,imïðè÷åì l îãðàíè÷åííûé ïóòü ìåæäó z1 è x0 (λ), l1 ëèíèÿÑòîêñà, ëåæàùàÿ ñëåâà îò l, è l2 ëèíèÿ Ñòîêñà, ëåæàùàÿ ñïðàâà îò l (ò.å. ïîâîðîò îòl ê l1 âîêðóã z0 ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à îò l ê l2 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå).Îòìåòèì, ÷òî ïóòè l1 , l2 çàêàí÷èâàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç D îáëàñòüìåæäó êðèâûìè l1 è l2 , ñîäåðæàùóþ l, ÷åðåç D1 îáëàñòü ìåæäó l è l2 , ñîäåðæàùóþ l1 ,è ÷åðåç D2 îáëàñòü ìåæäó l1 è l, ñîäåðæàùóþ l2 .

Íàêîíåö, ëèíèþ Ñòîêñà, âûõîäÿùóþèç òî÷êè z2 îáîçíà÷èì ÷åðåç l3 .Ïóñòü w1,2 ñòàíäàðòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå z = z1 (ñì. ï. 1.5), v1,2 ñòàíäàðòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå z = z2 . Ïîñêîëüêó èçâåñòíû àñèìïòîòèêè îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèèè, ñîîòâåñòâóþùèõ îñîáûì òî÷êàì z2,1 , â áàçèñàõ v1,2 è w1,2ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïèñàòü óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå ÷èñëà, äîñòàòî÷íî íàéòè àñèìïòîòèêó ìàòðèöû ïåðåõîäà ìåæäó ýòèìè áàçèñàìè. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì êàíîíè÷åñêèå (ÔÑÐ), ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå ïîâîðîòà z = z0 (λ) è ëèíèÿì Ñòîêñàl, l1 , l2 (ñì.

ï.1.3); áóäåì îáîçíà÷àòü èõ u, υ , (u1 , υ1 ), (u2 , υ2 ) ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëèìèñêîìóþ ìàòðèöó Ω ðàâåíñòâîì wv 1 = Ω  1w2v2è ïðåäñòàâèì åå â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ:Ω = Ω4 Ω3 Ω2ãäå:Ω2 : v1,2 −→ u1 , υ1Ω2 : (l3 , z2 , D1 ) −→ (l1 , z0 (λ), D1 )− 1² Θ1e0Ω2 = eiΘ0 10e ² Θ1Ω3 : u1 , υ1 −→ u, υΩ3 : (l1 , z0 (λ), D1 ) −→ (l, z0 (λ), D)47πΩ3 = e−i 6 011 + O(² ) i(1 + O(² ))22Ω4 : u, υ −→ w1,2Ω4 : (l, z0 (λ), D) −→ (l, z1 , D)− 1² τ10 eΩ4 =  10e ² τ1ÇäåñüZz0 (λ)p(imt − λ)(fz2 + 1)dtτ1 =z1Zp(imt − λ)(fz2 + 1)dt.z2Θ1 =z0 (λ)Âûðàæåíèÿ äëÿ ìàòðèö Ωj ïðèâåäåíû â [16] è â ï.1.4 (ñì.

îïðåäåëåíèå êàíîíè÷åñêèõ(ÔÑÐ) è ìàòðèö ïåðåõîäà). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èñêîìîé ìàòðèöû ïîëó÷àåì− 1² (Θ1 +τ1 )− 1² (τ1 −Θ1 )22(1 + O(² ))ei(1 + O(² ))eπ.Ω = Ω4 Ω3 Ω2 = e−i 6 1(τ+Θ)110e²RzÏîñêîëüêó ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò z1 è z0 (λ), Reτ1 = 0, ò.å. eeiϕ , îòêóäàπΩ = e−i 6 2(1 + O(² ))e− 1² (Θ1 +iϕ)2i(1 + O(² ))e0e0 (λ)z1− 1² (iϕ−Θ1 )1(iϕ+Θ1 )²√(imt−λ)(1+fz2 )dt=.Ïóñòü T, Te ìàòðèöû ìîíîäðîìèè, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êàì z2,1 â áàçèñàõ w, vñîîòâåòñòâåííî (ñì. ï.1.5 äëÿ ñîîòâåñòñâóþùèõ àñèìïòîòèê). Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿñîáñòâåííîãî âåêòîðà l = lT èìååò âèä:c1= −A−1 a−1+c2èc˜1= −Ã−1 a˜+ −1 .c˜2Èç ðàâåíñòâà l1 w1 + l2 w2 = l˜1 v1 + l˜2 v2 ñ ó÷åòîì ïðèâåäåííîé âûøå ôîðìóëû äëÿ àñèìïòîòèêè ìàòðèöû ïåðåõîäà Ω ïîëó÷àåì:11c˜1 = c1 (1 + O(²2 ))e− ² (Θ1 +iϕ) + c2 i(1 + O(²2 ))e− ² (iϕ−Θ1 )1c˜2 = c2 e ² (iϕ+Θ1 )48îòêóäà:11c˜1c1 (1 + O(²2 ))e− ² (Θ1 +iϕ) + c2 i(1 + O(²2 ))e− ² (iϕ−Θ1 )=1c˜2c2 e ² (iϕ+Θ1 )1Çàìåòèì, ÷òî ReΘ1 > 0, ò.å.

e− ² Θ1 ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëî; ïîýòîìó1ie−2i ² ϕ (1 + O(²2 )) = −Ã−1 a˜+ −1 = −Ã−1 a−1− .Ýòî è åñòü óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå ÷èñëà. Ïîñêîëüêó a± = exp{2πiρ± }, ãäå ρ± =1±P (z2,1 )2P∞è à = ek=0²k α̃k, óðàâíåíèå èìååò âèä:11ie−i ² ϕ (1 + O(²2 )) = −e−iρ ei ² ϕ ,ρ = 2πρ−èëèπ11ei 2 e−i ² ϕ (1 + O(²2 )) = −ei( ² ϕ−ρ) .Îòñþäà ïîëó÷àåì:1ρπ1πρei(− ² ϕ+ 4 + 2 ) (1 + O(²2 )) + e−i(− ² ϕ+ 4 + 2 ) = 0Ïî òåîðåìå Ãóðâèöà, êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàñïîëîæåíû â O(²2 )-îêðåñòíîñòÿõ ðåøåíèé óðàâíåíèéπ1ρ1πρei(− ² ϕ+ 4 + 2 ) + e−i(− ² ϕ+ 4 + 2 ) = 0;ïîñëåäíåå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå1π ρ2 cos(− ϕ + + ) = 0,²4 2èëèπρ1− ϕ = + 2nπ −²42Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ ϕ, ïîëó÷àåìZπ1 z0 (λ) pρ−(imt − λ)(fz2 + 1)dt = + 2nπ −² z142èëè, c ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå äëÿ ρ,Z x0 (λ) p11= π(− + 2n − m)[(imt − λ)(fz2 + 1)dt]−1²4z1è òåîðåìà äîêàçàíà. êîíöå ýòîãî ïóíêòà ìû ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé ñëó÷àé ñîåäèíåíèÿ òî÷åê ïîâîðîòàëèíèÿìè Ñòîêñà.49Òåîðåìà 3.2.3.