Топологические свойства асимптотики спектра несамосопряженного оператора на двумерной поверхности вращения, страница 5

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ im cos θ − λ = 0 (òî÷êà ïîâîðîòà â êîîðäèíàòåθ) èìååò âèä:θ± = −i ln(iλ ±√−λ2 − m2 ) − ln mìîæíî îáúÿñíèòü â ñëåäóþùåå:srsignImλλ 2λImλ 2√θ± = ± arccos[| | + 1 − (| |2 + 1)2 − 4() ]+mmmm 2rq√ ReλReλ 2λ 2λ 2| + 1)2 − 4( Imλ)2± 2 m + 1 − | m | + 2( m ) + (| mmri lnqλ 21 − |m| +λ 2(| m| + 1)2 − 4( Imλ)2mãäå Reλ 6= 0.Ïðè λ ∈ (−∞, 0), èç ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî:rπλλθ± = ±( + i ln( 1 + ( )2 + ))2mmËåììà 2.3.2. ÓðàâíåíèåZθ+J(λ) = Im√im cos θ − λdθ = 00íà ïàðàìåòð λ ∈ (0, +∞) èìååò òîëüêî îäíî ðåøåíèå λ0 , ïðè÷åì λ0 ∈ (−m sinh π2 , 0).Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðè λ ∈ (−∞, 0) îáðàç ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ ïîä äåéñòâèåìôóíêöèè im cos θ − λ íå ïåðåõîäèò ÷åðåç ëó÷ (−∞, 0). Çíà÷èò, ìîæíî çàôèêñèðîâàòüâåòâü êîðíÿ ñ ðàçðåçîì âäîëü ýòîãî ëó÷à. Âûáåðåì òàêóþ âåòâü:√: C\(−∞, 0] → {z ∈ C|Imz > 0}Òîãäà ïîëó÷àåì:Z θ+Z√im cos θ − λdθ = ImIm1θ0Zp001im cos(θ0 r) − λdr = Imθ0pim cos(θ0 r) − λdr,0qãäå θ = θ+ r , θ+ =π2+ i ln(λ 2) +1 + (mλ)m, r ∈ R.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîäíóþ ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ ïî ïàðàìåòðó λ:p∂Im[θ0 im cos(θ0 r) − λ]θ0= −Im p.∂λ2 im cos(θ0 r) − λïîñêîëüêó äëÿ η(r) = im cos(θ+ r) − λ ïðè λ ∈ (−∞, 0) èìååì ðàâåíñòâî:λλe m r + e− m reiθ0 r + e−iθ0 r− λ = im− λ,η(r) = im cos(θ+ r) − λ = im2235òîλλe m r + e− m rImη(r) = m−λ>02Reη(r) = −λ > 0òî åñòü η(r) ëåæèò âî âíóòðåííîñòè ïåðâîãî êâàäðàòà, à arg η(r) ∈ (0, π/2), Çíà÷èò η(r)íå ïåðåñåêàåò ëó÷à (−∞, 0] ïðè r ∈ (0, 1) ÷òî ïîçâîëÿåò íàì âûáðàòü âåòâü êîðíÿ, êàêè ðàíåå, ñ ðàçðåçîì âäîëü (−∞, 0].

Òîãäà ïîëó÷àåì:pθ013πarg p= arg θ0 − arg η(r) = arg θ0 − arg η(r) ∈ (0, ),242 im cos(θ0 r) − λîòêóäà:θ0> 0.Im p2 im cos(θ0 r) − λÇíà÷èò, â ýòîì ñëó÷àå òàê æå, êàê è ðàíüøå, ìû ìîæåì äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â J(λ):p∂Re[θ0 im cos(θ0 r) − λ]θ0<0= −Re p∂λ2 im cos(θ0 r) − λäëÿ ëþáîãî λ íà (−∞, 0) è äëÿ ëþáîãî r ∈ (0, 1). Òàêèì îáðàçîì, ïîäûíòåãðàëüíîåâûðàæåíèå ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàåò ïî λ íà (−∞, 0) äëÿ ëþáîãî r ∈ (0, 1).Çíà÷èò(òàê êàê èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ìíîæåñòâó ïîëîæèòåëüíîé ìåðû) è ñàì èíòåãðàëJ(λ) ìîíîòîííî óáûâàåò ïî ïî λ íà (−∞, 0). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå J(λ) = 0íà ïàðàìåòð J(λ) ∈ (0, +∞) ìîæåò èìåòü íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ.√Îöåíèì J(0) (çäåñü ó÷òåíî, ÷òî θ+ (0) = π2 + i ln( 1 + 0 + 0) = π2 ):Zθ+ (0)J(0) = Im√Zim cos θdθ = Im0√π2√im cos θdθ < 0,0im cos θ ∈ (1 + i).(0, +∞) íà èíòåðâàëå θ ∈ (0, π2 )(ïî âûáîðó âåòâè êîðíÿ), à√çíà÷èò, Im im cos θ < 0 íà âñåì èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ.òàê êàêÏðè λ = −m sinh π2 èìååì z+ =π2+ i π2 , arg z+ =π4è ìû çíàåì,÷òî arg η(r) ∈ ( π2 , π).çíà÷èò:arg(θ+pim cos(θ+ r) − λ)|λ=−m sinh π2 = arg θ+ +Òî åñòüIm(θ+ππ ππ 3π1arg η(r) ∈ + ( , ) = ( , ).244 22 4pim cos(θ+ r) − λ)|λ=−m sinh π2 > 0ïðè ëþáîì r ∈ (0, 1), îòêóäà J(−m sinh π2 ) > 0.

Òàêèì îáðàçîì J(0) < 0, J(m sinh π2 ) > 0.Òàê êàê ôóíêöèÿ J(λ) íåïðåðûâíà ïî λ òî îòñþäà ñëåäóåò ,÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà λ ∈(−m sinh π2 , 0) â êîòîðîé J(λ) = 0. Êðîìå òîãî, ýòà òî÷êà, ïî äîêàçàííîìó, åäèíñòâåííàÿ.36Çàìå÷àíèå 2.3.3. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ðàáîòàì [1,2] äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ÷àñòèñïåêòðà, îïèñàííûå â òåîðåìàõ 2.2.2 è 2.2.3, ðàñïîëàãàþòñÿ âáëèçè äâóõ êðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êó λ0 , îïèñàííóþ â ïðåäûäóùåé ëåììå, ñ òî÷êàìè ±im, ïðè÷åì ýòèêðèâûå ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîé îñè. Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòð âïðåäåëå êîíöåíòðèðóåòñÿ â îêðåñòíîñòè òðåõâàëåíòíîãî ãðàôà ñ âåðøèíîé â òî÷êåλ0 , ðåáðà êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ìíèìûìè ÷àñòÿìè óñëîâèé êâàíòîâàíèÿ, ïîëó÷åííûõ âûøå (ñì. òåîðåìû 2.2.1 2.2.3). çàâèñèìîñòè îò ðàñïîëîæåíèÿ òî÷êè ñïåêòðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè λ, ëèíèè Ñòîêñà ïî-ðàçíîìó ðàñïîëîæåíû íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.Ñëó÷àé(1): Åñëè òî÷êà ñïåêòðà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ñïåêòðàëüíîãî ãðàôà (ò.å.òî÷êîé, óêàçàííîé â ëåììå 2.3.2), ðàñïîëîæåíèå ëèíèé Ñòîêñà òàêîå, êàê íà ðèñ.

2.4.Ñëó÷àé(2): Åñëè òî÷êà ñïåêòðà íàõîäèòñÿ íà ëèíèè(3)(ðèñ. 2.3), òî ëèíèè Ñòîêñàðàñïîëîæåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 2.5.Ñëó÷àé(3): Åñëè òî÷êà ñïåêòðà íàõîäèòñÿ íà ëèíèè (2), òî ëèíèè Ñòîêñà ðàñïîëîæåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 2.6.Ñëó÷àé(4): Åñëè òî÷êà ñïåêòðà íàõîäèòñÿ íà êðèâîé (1), òî ëèíèè Ñòîêñà ðàñïîëîæåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 2.7.Ðèñ.

2.3: Ðàñïîëîæåíèå ñïåêòðàÎòìåòèì, ÷òî â îáëàñòÿõ (ii) è (iii) íåò òî÷åê ñïåêòðà; ýòè îáëàñòè ñîîòâåòñòâóþòãðàôàì Ñòîêñà, íå ñîäåðæàùèì êîíå÷íûõ ëèíèé (ñëó÷àé îáùåãî ïîëîæåíèÿ).37Ðèñ. 2.4: Ëèíèè Ñòîêñà 1Ðèñ. 2.5: Ëèíèè Ñòîêñà 2Ðèñ. 2.6: Ëèíèè Ñòîêñà 338Ðèñ. 2.7: Ëèíèè Ñòîêñà 4Çàìå÷àíèå 2.3.4. Ìîæíî íàéòè íàïðàâëåíèÿ, â êîòîðûõ ëèíèè Ñòîêñà âûõîäÿò èçòî÷åê x = −1 ,x = 1 è x =λ.imÄëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ðàçëîæèòü ñîîòâåòñòâóþùèåïîäèíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ âáëèçè ýòèõ òî÷åê è âû÷èñëèòü àñèìïòîòèêó ôóíêöèèS ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êå ïîâîðîòà.

Ïðèâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû.Ñëó÷àé(1): Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà âûõîäèò èç òî÷êè x = −1, òîãäà ïðè x → −1 :q(x) =ïîýòîìóZximx − λλ + im'(x + 1)−121−x−2rS(x) =−1imt − λdt '1 − t2r1λ + im (x + 1) 2.1−22Óðàâíåíèå ëèíèè Ñòîêñà èìååò âèä ImS(x) = 0, ò.å. àñèìïòîòè÷åñêèImp−(λ + im)(x + 1) = 0.Åñëè t = (λ + im)(x + 1), òî t < 0 è ìîæíî âû÷èñëèòü êàñàòåëüíóþ ê ëèíèè Ñòîêñàâ âèäå:x = −1 +tt= −1 +(λ̄ − im)λ + im|λ + im|239t(λ1 − i(λ2 + m)).|λ + im|2= −1 +Ïîñêîëüêó λ1 < 0 è λ2 + m > 0, ëèíèÿ Ñòîêñà âûõîäèò èç òî÷êè x = −1 ââåðõ èâïðàâî.Ñëó÷àé(2):Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà âûõîäèò èç òî÷êè x = 1, òîãäà:q(x) =ïîýòîìóZximx − λim − λ'(x − 1)−1 ,21−x2rS(x) =1imt − λdt '1 − t2r1im − λ (x − 1) 2.122Óðàâíåíèå ëèíèè Ñòîêñà èìååò âèä ImS(x) = 0, ò.å.

àñèìïòîòè÷åñêèImp(im − λ)(x − 1) = 0åñëè t = (im − λ)(x + 1) òî t > 0 è ìîæíî âû÷èñëèòü êàñàòåëüíóþ ê ëèíèè Ñòîêñà ââèäå:tt=1+(λ̄ + im)im − λ|im − λ|2t=1+(λ1 + i(m − λ2 ))|im − λ|2x=1+Ïîñêîëüêó λ1 < 0 è m − λ2 > 0 è ëèíèÿ Ñòîêñà âûõîäèò èç òî÷êè x = 1 ââåðõ è âëåâî.λ, òîãäà:Ñëó÷àé(3):Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà âûõîäèò èç òî÷êè x0 = imsrrpimx − λim(x − x0 )im3 √q(x) ===. x − x0 .λ21 − x2m2 + λ21+ m2Óðàâíåíèå ëèíèè Ñòîêñà èìååò âèä ImS(x) = 0, ò.å.

àñèìïòîòè÷åñêèZ xrim3 √ImS(x) = Imx − x0 dt = 0.m2 + λ2x0Ìîæíî âû÷èñëèòü àñèìïòîòèêó S : S|x − x0 |eiϕ ïîýòîìóS√3z0 (x − x0 ) 2 ãäå z0 =im3m2 +λ2= |z0 |eiψ è x − x0 =pψ3ϕ3 iψ 3iϕ|z0 |.|x − x0 | 2 e 2 e 2 |S|ei( 2 + 2 ) .Ïî îïðåäåëåíèþ ëèíèè Ñòîêñà, sin( ψ2 +3ϕ)2=0èϕ=2kπ3− ψ3 . ýòîì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå ëèíèé Ñòîêñà çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ z0 =im3.m2 +λ2Ðàñ-ñìîòðèì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.• Åñëè λ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, òîm3m2 +λ2õîäèòñÿ íà ìíèìîé îñè (ψ = π2 ).40òàêæå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî è z0 íà-• Åñëè λ ìíèìîå ÷èñëî, òî λ = Imλ è |Imλ| < m çíà÷èò m2 + λ2 = m2 − Imλ2 > 0,ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå òàêæåm3m2 +λ2äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî è z0 íàõîäèòñÿ íàìíèìîé îñè (ψ = π2 ).• Åñëè λ = ² + iλ2 òîz0 ='im3im3im3'=m2 + λ2m2 + ²2 − λ22 + 2i²λ2m2 − λ22 + ²2iλ2im3−im3 2iλ2im32λ2 m3+².=+.²m2 − λ22(m2 − λ22 )2m2 − λ22 (m2 − λ22 )2çíà÷èò îòíîñèòåëüíî ïðåäûäóùåé ñèòóàöèè (λ = iλ2 ) òî÷êà z0 íàõîäèòñÿ ïðàâåå è íàïðàâëåíèå ëèíèè Ñòîêñà òîæå âðàùàåòñÿ íàïðàâî (ψ < π2 ).• Åñëè λ = λ1 + i² òîz0 ='im3im3im3='m2 + λ2m2 − ²2 + λ21 + 2i²λ1m2 + λ21 + ²2iλ1im3−im3 2iλ1im32λ1 m3+²=+².m2 + λ21(m2 + λ21 )2m2 + λ21 (m2 + λ21 )2Ïîñêîëüêó λ1 < 0, ïîýòîìó îòíîñèòåëüíî ñèòóàöèè (λ = λ1 ) òî÷êà z0 íàõîäèòñÿëåâåå è ëèíèè Ñòîêñà òîæå âðàùàåòñÿ íàëåâî (ψ > π2 ).Çàìå÷àíèå 2.3.5.

Ïî ðàñïîëîæåíèþ ëèíèé Ñòîêñà è èõ íàïðàâëåíèþ ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñ íèìè ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé îáëàñòè íà ïëîñêîñòè λ â äðóãóþ. Íàïðèìåð, ïðè ïåðåõîäå ïàðàìåòðà λ èç îáëàñòè (II) â (III) ÷åðåç ëèíèþ (3) íàðèñóíêå (2.1), ëèíèè Ñòîêñà âðàùàþòñÿ âëåâî. Òàê êàê â (II) λ èìååò âèä λ = λ1 + iλ2è, åñëè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ëèíèþ (3), λ ñòàíîâèòñÿ äåéñòâèòåëüíîé, ïðè÷åì ìíèìàÿ÷àñòü λ óìåíüøàåòñÿ, òî ëèíèè Ñòîêñà âðàùàþòñÿ íàëåâî (ψ > π2 ). Ïðè ïåðåõîäå èç(3) â (III) ñèòóàöèÿ àíàëîãè÷íà.41Ãëàâà 3Àñèìïòîòèêà ñïåêòðà D íàïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ýòîé ãëàâå ìû èçó÷àåì àñèìïòîòèêó ñïåêòðà îïåðàòîðà D íà ïðîèçâîëüíîé êîìïàêòíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ãîìåîìîðôíîé ñôåðå. Ìû íà÷íåì ñ ôîðìóëèðîâêè çàäà÷èè åå ðåäóêöèè ê îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ.3.1 Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ.

Çàäà÷à ñ îñîáûìè òî÷êàìè ýòîì ïóíêòå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîâåðõíîñòü M , ïîëó÷åííóþ âðàùåíèåì ãëàäêîé êðèâîé, çàäàííîé íà ïëîñêîñòè (x, z) óðàâíåíèåì x = f (z), z ∈ [z1 , z2 ], âîêðóã îñè z .pÎòíîñèòåëüíî f ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî f (z) = (z − z1 )(z − z2 )f0 (z), ãäå f0 ìíîãî÷ëåí,íå îáðàùàþùèéñÿ â íóëü â äîñòàòî÷íî áîëüøîé îáëàñòè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé îòðåçîê [z1 , z2 ] äåéñòâèòåëüíîé îñè.