Топологические свойства асимптотики спектра несамосопряженного оператора на двумерной поверхности вращения, страница 4

Âîïðîñ ñíîâà ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ àñèìïòîòèê ìàòðèö îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèè â îáùåì áàçèñå. Ìû óæå âèäåëè, ÷òî òîïîëîãèÿ ãðàôà Ñòîêñà ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà ýòè àñèìïòîòèêè.Åñëè òî÷êè −1 è z0 (λ) ñîåäèíåíû ëèíèåé Ñòîêñà, âîçíèêàåò íîâîå ðàñïîëîæåíèåêàíîíè÷åñêèõ îáëàñòåé.  îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ ñëó÷àåâ, ìû íå ìîæåì âû÷èñëèòüìàòðèöû ìîíîäðîìèèè â îáùåì áàçèñå, èñïîëüçóÿ òîëüêî àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèåáàçèñíûõ ðåøåíèé ñòàíäàðòíûå ðåøåíèÿ (ñì ï.1.5), îïðåäåëåííûå â îêðåñòíîñòè ðàçíûõ îñîáûõ òî÷åê, ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûì êàíîíè÷åñêèì îáëàñòÿì, ïîýòîìó ïðèõîäèòñÿèñïîëüçîâàòü ìàòðèöû ïåðåõîäà, îïèñàííûå â ï.

1.4.  íàøåì ñëó÷àå âîçìîæíû äâåðàçëè÷íûõ òîïîëîãèè ãðàôà Ñòîêñà. Èìåííî, ðàññìîòðèì òî÷êó ïîâîðîòà x0 (λ) è ðàññìîòðèì îáúåäèíåíèå äâóõ áåñêîíå÷íûõ ëèíèé Ñòîêñà, âûõîäÿùèõ èç ýòîé òî÷êè. Ïîëó÷åííàÿ êðèâàÿ äåëèò êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè; îñîáûå òî÷êè ±1 ìîãóòëåæàòü ëèáî â îäíîé èç íèõ, ëèáî â ðàçíûõ.  ïåðâîì ñëó÷àå îêðåñòíîñòè îñîáûõ òî÷åê(áåç ðàçðåçîâ) ïîïàäàþò â îáëàñòü, íå ñîäåðæàùóþ ëèíèé Ñòîêñà, è âû÷èñëåíèå àñèìïòîòèê ìàòðèö ìîíîäðîìèè àíàëîãè÷íî ïðèâåäåííîìó ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 2.2.1è òåðåìû 2.2.2.

Ðàññìîòðèì âòîðîé ñëó÷àé; ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ.Ïóñòü l , l1 , l2 òðè ëèíèè Ñòîêñà, âûõîäÿùèå èç x0 (λ) =λ,imïðè÷åì l îãðàíè-÷åííûé ïóòü ìåæäó −1 è x0 (λ), l1 ëèíèÿ Ñòîêñà, ëåæàùàÿ ñëåâà îò l, è l2 ëèíèÿÑòîêñà, ëåæàùàÿ ñïðàâà îò l (ò.å. ïîâîðîò îò l ê l1 âîêðóã x0 ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à îò l ê l2 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå).

Îòìåòèì, ÷òî ïóòè l1 , l2 çàêàí÷èâàþòñÿâ áåñêîíå÷íîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç D îáëàñòü ìåæäó êðèâûìè l1 è l2 , ñîäåðæàùóþ l,26÷åðåç D1 îáëàñòü ìåæäó l è l2 , ñîäåðæàùóþ l1 , è ÷åðåç D2 îáëàñòü ìåæäó l1 è l, ñîäåðæàùóþ l2 .Íàêîíåö, ëèíèþ Ñòîêñà, âûõîäÿùóþ èç òî÷êè x = 1 îáîçíà÷èì ÷åðåç l3(ðèñ.2.1):Ðèñ. 2.1: ðàñïîëîæåíèå ëèíèé Ñòîêñà è êàíîíè÷åñêèõ îáëàñòåéÏóñòü w1,2 ñòàíäàðòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåñòâóþùèå òî÷êå x = −1 (ñì. ï.

1.5), v1,2 ñòàíäàðòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå x = 1. Ïîñêîëüêó èçâåñòíû àñèìïòîòèêè îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèèè, ñîîòâåñòâóþùèõ îñîáûì òî÷êàì ±1, â áàçèñàõ v1,2 è w1,2ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïèñàòü óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå ÷èñëà, äîñòàòî÷íîíàéòè àñèìïòîòèêó ìàòðèöû ïåðåõîäà ìåæäó ýòèìè áàçèñàìè. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèìêàíîíè÷åñêèå ÔÑÐ, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå ïîâîðîòà x = x0 (λ) è ëèíèÿì Ñòîêñà l, l1 , l2(ñì. ï.1.3); áóäåì îáîçíà÷àòü èõ u, υ , (u1 , υ1 ), (u2 , υ2 ) ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëèì èñêîìóþ ìàòðèöó Ω ðàâåíñòâîì v  = Ω  1w2v2w1è ïðåäñòàâèì åå â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ:Ω = Ω4 Ω3 Ω2ãäå:Ω2 : v1,2 −→ u1 , υ1Ω2 : (l3 , 1, D1 ) −→ (l1 , x0 (λ), D1 )− 1² Θ10eΩ2 = eiΘ0 10e ² Θ1Ω3 : u1 , υ1 −→ u, υΩ3 : (l1 , x0 (λ), D1 ) −→ (l, x0 (λ), D)27πΩ3 = e−i 6 011 + O(² ) i(1 + O(² ))22Ω4 : u, υ −→ w1,2Ω4 : (l, x0 (λ), D) −→ (l, −1, D)− 1² τ10 eΩ4 =  10e ² τ1ÇäåñüZx0 (λ)rτ1 =−1Z1rΘ1 =x0 (λ)imt − λdt1 − t2imt − λdt.1 − t2Ïðèâåäåííûå ôîðìóëû ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ êàíîíè÷åñêèõ ôóíäàìåíòàëüíûõñèñòåì ðåøåíèé è èç ôîðìóë äëÿ àñèìïòîòèê ìàòðèö ïåðåõîäà, ïðèâåäåííûõ â ï.

1.4.Âû÷èñëÿÿ ïðîèçâåäåíèå, ïîëó÷àåì− 1² (Θ1 +τ1 )− 1² (τ1 −Θ1 )22(1+O(²))ei(1+O(²))eπ.Ω = Ω4 Ω3 Ω2 = e−i 6 1(τ1 +Θ1 )²0eÍàïîìíèì, ÷òî Reτ1 = 0 (ïîòîìó ÷òî ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò −1 è x0 (λ)), ò.å.R x0 (λ) q imt−λe−11−t2dt= eiϕ ïîýòîìó,− 1² (Θ1 +iϕ)− 1² (iϕ−Θ1 )22(1 + O(² ))ei(1 + O(² ))eπ.Ω = e−i 6 10e ² (iϕ+Θ1 )Äàëåå, ïóñòü T, Te ìàòðèöû ìîíîäðîìèè, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êàì ∓1 â áàçèñàõ w,v ñîîòâåòñòâåííî; èõ àñèìïòîòèêè ïðèâåäåíû â ï.1.5. Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà l = lT èìååò âèä:c1= −A−1 a−1+c2èc˜1= −Ã−1 a˜+ −1 .c˜2Èç ðàâåíñòâà l1 w1 + l2 w2 = l˜1 v1 + l˜2 v2 ñ ó÷åòîì âû÷èñëåííîé àñèìïòîòèêè ìàòðèöûïåðåõîäà Ω ïîëó÷àåì:11c˜1 = c1 (1 + O(²2 ))e− ² (Θ1 +iϕ) + c2 i(1 + O(²2 ))e− ² (iϕ−Θ1 )1c˜2 = c2 e ² (iϕ+Θ1 )28îòêóäà:11c˜1c1 (1 + O(²2 ))e− ² (Θ1 +iϕ) + c2 i(1 + O(²2 ))e− ² (iϕ−Θ1 )=1c˜2c2 e ² (iϕ+Θ1 )1Ïîñêîëüêó ReΘ1 > 0, e− ² Θ1 ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëî; ïîýòîìó1ie−2i ² ϕ (1 + O(²2 )) = −Ã−1 a˜+ −1 = −Ã−1 a−1− .Ýòî è åñòü óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå ÷èñëà.

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ åãî àñèìïòîòèêè íàïîìíèì, ÷òî a± = exp{2πiρ± }, ãäå ρ± = 1 ±p(±1)2è à = eP∞k=0²k α̃k.Óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:11ie−i ² ϕ (1 + O(²2 )) = −e−iρ ei ² ϕ ,ρ = 2πρ−èëèπ11ei 2 e−i ² ϕ (1 + O(²2 )) = −ei( ² ϕ−ρ) .Îòñþäà ïîëó÷àåì:1ρπ1πρei(− ² ϕ+ 4 + 2 ) (1 + O(²2 )) + e−i(− ² ϕ+ 4 + 2 ) = 0Ïî òåîðåìå Ãóðâèöà, êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ áëèçêè ê êîðíÿì óðàâíåíèÿ1πρ1πρei(− ² ϕ+ 4 + 2 ) + e−i(− ² ϕ+ 4 + 2 ) = 0;òî÷íåå, òî÷êè ñïåêòðà íàõîäÿòñÿ â O(²2 )-îêðåñòíîñòÿõ ðåøåíèé óðàâíåíèé1π ρ2 cos(− ϕ + + ) = 0,²4 2èëè1πρ− ϕ = + 2nπ −²42Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ ϕ, ïîëó÷àåìrZ1 x0 (λ) imt − λπρ−dt = + 2nπ −2² −11−t42èëè, îêîí÷àòåëüíîZ x0 (λ) r11imt − λ −1= π(− + 2n − m)[dt]²41 − t2−1è òåîðåìà äîêàçàíà.29Òåîðåìà 2.2.3.

Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò x0 (λ) è 1. Ïóñòü λ òàêîâî, ÷òîZ 1 r11imt − λ −1= π(− + 2n − m)[dt]²41 − t2x0 (λ)òîãäà ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà D, äëÿ êîòîðîãî|λ − λ̃| = O(²2 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ñèòóàöèÿ àíàëîãè÷íà ðàññìîòðåííîé ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé òåîðåìû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ áåñêîíå÷íûõ ëèíèé Ñòîêñà, âûõîäÿùèõ èç òî÷êè ïîâîðîòà x0 (λ) ðàçäåëÿåò òî÷êè ±1 è ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ.Ïóñòü l , l1 , l2 òðè ëèíèè Ñòîêñà, âûõîäÿùèå èç x0 (λ) =λ,imïðè÷åì l1 îãðà-íè÷åííûé ïóòü ìåæäó 1 è x0 (λ), l2 ëèíèÿ Ñòîêñà, ëåæàùàÿ ñëåâà îò l, è l1 ëèíèÿÑòîêñà, ëåæàùàÿ ñïðàâà îò l (ò.å. ïîâîðîò îò l ê l2 âîêðóã x0 ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîéñòðåëêè, à îò l ê l1 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå).

Îòìåòèì, ÷òî ïóòè l, l2 çàêàí÷èâàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç D îáëàñòü ìåæäó êðèâûìè l1 è l2 , ñîäåðæàùóþ l, ÷åðåçD1 îáëàñòü ìåæäó l è l2 , ñîäåðæàùóþ l1 , è ÷åðåç D2 îáëàñòü ìåæäó l1 è l, ñîäåðæàùóþl2 (ðèñ.2.1). Íàêîíåö, ëèíèþ Ñòîêñà, âûõîäÿùóþ èç òî÷êè x = −1 îáîçíà÷èì ÷åðåç l3(ðèñ.2.2):Ðèñ. 2.2: ðàñïîëîæåíèå ëèíèé Ñòîêñà è êàíîíè÷åñêèõ îáëàñòåéÏóñòü w1,2 ñòàíäàðòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåñòâóþùèå òî÷êå x = −1 (ñì. ï. 1.5), v1,2 ñòàíäàðòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå x = 1. Ðàññìîòðèì êàíîíè÷åñêèå ÔÑÐ,ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå ïîâîðîòà x = x0 (λ) è ëèíèÿì Ñòîêñà l, l1 , l2 (ñì. ï.1.3); áóäåìîáîçíà÷àòü èõ u, υ , (u1 , υ1 ), (u2 , υ2 ) ñîîòâåòñòâåííî.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω ìàòðèöó ïåðåõîäà îò w ê v :Ω : w1,2 −→ v1,230è ïðåäñòàâèì åå â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ:Ω = Ω4 Ω3 Ω2 .ÇäåñüΩ2 : w1,2 −→ u, υΩ2 : (l2 , −1, D) −→ (l, x0 (λ), D)− 1² τ10eΩ2 = eiτ0 1τ1²0e ,τ1 =R x0 (λ) q imt−λ1−t2−1dt. Äàëåå,Ω3 : u, υ −→ u1 , υ1Ω3 : (l, x0 (λ), D) −→ (l1 , x0 (λ), D1 )01πΩ3 = e−i 6 221 + O(² ) i(1 + O(² ))Ω4 : u1 , υ1 −→ v1,2Ω4 : (l1 , x0 (λ), D1 ) −→ (l1 , 1, D1 )− 1² Θ10eT4 = eiΘ0  1Θ1²e0,ãäå Θ1 =e1Θ² 1R1i 1² ϕ=ex0 (λ)qimt−λdt1−t2è ReΘ1 = 0 (ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò x0 (λ) è 1), ïîýòîìóäëÿ ìàòðèöû Ω ïîëó÷àåìΩ = Ω4 Ω3 Ω2 = îòêóäà01ei ² ϕ− 1² τ1e01e0,1τ22101 + O(² ) i(1 + O(² ))0e²−i 1² ϕT =11(1 + O(²2 ))e− ² (iϕ+τ1 ) (1 + O(²2 ))e− ² (iϕ−τ1 )0e1(iϕ+τ1 )².Ïîýòîìó, åñëè l1 w1 + l2 w2 = ˜l1 v1 + ˜l2 v2 , òî   11˜l1(1 + O(²2 ))e− ² (iϕ+τ1 ) (1 + O(²2 ))e− ² (iϕ−τ1 )l =  1 ,1˜l20e ² (iϕ+τ1 )l2îòêóäà˜l1 = l1 (1 + O(²2 ))e− 1² (iϕ+τ1 ) + l2 (1 + O(²2 ))e− 1² (iϕ−τ1 )˜l2 = l2 e 1² (iϕ+τ1 ) .31Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì:11˜l1l1 (1 + O(²2 ))e− ² (iϕ+τ1 ) + l2 (1 + O(²2 ))e− ² (iϕ−τ1 ).=1˜l2l2 e ² (iϕ+τ1 )Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè l, ˜l ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö ìîíîäðîìèè, òîc˜1= −Ã−1 a˜+ −1 = −Ã−1 a−1−c˜21Ïîñêîëüêó e ² τ1 ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò (ò.å.

Reτ1 > 0), èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò,÷òî−2ic1 2 (iϕ−τ1 )c̃1= −Ã−1 a−1e²+ ie ² ϕ )(1 + O(²2 )).− = (c̃2c21Ïîñêîëüêó e− ² τ1 ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, ïîëó÷àåì1π1−2i ² ϕ(1 + O(²2 )) = ei 2 e−2i ² ϕ (1 + O(²2 ))−Ã−1 a−1− = ieèëèπ11−e−iρ ei ² ϕ = ei 2 e−i ² ϕ (1 + O(²2 )).Ýòî è åñòü óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå ÷èñëà.

Ïî òåîðåìå Ãóðâèöà êîðíè óðàâíåíèÿρπρ1π1e−i( 2 + 4 − ² ϕ) + ei( 2 + 4 − ² ϕ) (1 + O(²2 )) = 0íàõîäÿòñÿ â O(²2 )-îêðåñòíîñòÿõ êîðíåé óðàâíåíèÿρπρ1π1e−i( 2 + 4 − ² ϕ) + ei( 2 + 4 − ² ϕ) = 0.Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè ñïåêòðà íàõîäÿòñÿ â O(²2 )-îêðåñòíîñòÿõ êîðíåé óðàâíåíèÿρ π 12 cos( + − ϕ) = 0,2 4²íàõîäÿòñÿ èç ðàâåíñòâèëèπρ π 1+ − ϕ = + 2nπ2 4²2πρ1ϕ = − + 2nπ +²42Íàêîíåö, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ ϕ, ïîëó÷àåìZ 1 r11imt − λ −1= π(− + 2n − m)[dt]²41 − t2x0 (λ)è òåîðåìà äîêàçàíà.322.3 Ðàñïîëîæåíèå ñïåêòðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå àñèìïòîòèêó ñïåêòðàîïåðàòîðà Ëàïëàñà ñî ñíîñîì íà ñòàíäàðòíîé ñôåðå S2 .

Ýòè óðàâíåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ýëëèïòè÷åñêèå èíòåãðàëû.  ýòîì ïàðàãðàôå ïðè ïîìîùè àíàëèçà ñîîòâåòñòâóþùèõèíòåãðàëîâ ìû âûÿñíèì ðàñïîëîæåíèå ñïåêòðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.Çàìå÷àíèå 2.3.1. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü èíòåãðàëû âèäàZ rζimt − λdt.1 − t2Çàìåíà t = cos θ ïðèâîäèò ýòîò èíòåãðàë ê âèäóZ rZ√imt − λim cos θ − λdθ.dt = −21−tζηÊîíå÷íî, â íàøåé ñèòóàöèè ðîëü η áóäóò èãðàòü âïîëíå îïðåäåëåííûå ïóòè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. ñëåäóþùèõ äâóõ óòâåðæäåíèÿõ ìû áóäåì èìååò äåëî ñ ýòèìè èíòåãðàëàìè òîëüêîâ îòíîøåíèè ðàâåíñòâà èõ íóëþ:Ëåììà 2.3.1.

Ïðè λ ∈ C \ i(−m, m)ZI(λ) = Imπ√im cos θ − λdθ = 00òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà λ äåéñòâèòåëüíîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü λ ∈ C \ i(−m, m), λ = λ1 + iλ2 è λ1 ≥ 0; òîãäà:Re(im cos θ − λ) = −λ1 6 0äëÿ ëþáîãî θ ∈ (0, π). Ïîñêîëüêó λ ∈/ i(−m, m) òî arg(im cos θ − λ) ∈ [ π2 , 3π]. Ïîýòîìó2√√arg im cos θ − λ ∈ [ π4 , 3π] èëè arg im cos θ − λ ∈ [ 5π, 7π].444Íàïîìíèì ÷òî, ïðè λ ∈ C \ i(−m, m) íå ñóùåñòâóåò θ ∈ (0, π) , äëÿ√√êîòîðîãîim cos θ − λ = 0; ïîýòîìó Im im cos θ − λ 6= 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,Rπ√Im 0 im cos θ − λdθ 6= 0. Çíà÷èò, åñëèZ π√Imim cos θ − λdθ = 00òîReλ < 0.33Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè λ1 ∈ R− òî Re(im cos θ − λ) = −Reλ > 0 äëÿ ëþáîãî θ ∈ (0, π),ïîýòîìó ìîæíî çàôèêñèðîâàòü âåòâü êîðíÿ ñ ðàçðåçîì âäîëü ëó÷à (−∞, 0]. Çàôèêñè√ðóåì òàêóþ âåòâü óñëîâèåì Re im cos θ − λ > 0.Òåïåðü íàäî ïîêàçàòü ,÷òî ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè Reλ, ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â I(λ) ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàåò ïî Imλ äëÿ ëþáîãî θ ∈(0, π).Äåèñòâèòåëüíî,√∂Im im cos θ − λ−i1= Im √= −Re √<0∂λ22 im cos θ − λ2 im cos θ − λïî âûáîðó âåòâè êîðíÿ.

Ïîýòîìó óðàâíåíèå I(λ) = 0 ïðè ôèêñèðîâàííîì Reλ èìååò íåáîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ ïî Imλ.Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî λ ∈ (−∞, 0):Z π√Imim cos θ − λdθ = 00; òîãäà èç óæå äîêàçàííîãî áóäåò ñëåäîâàòü,÷òî 0 ∈/ I((C \ i(−m, m)) \ (−∞, 0)). Çàìåòèì, ÷òî ïðè òàêîì λ ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â I(λ) ìåíÿåò çíàê ïðè ñèììåòðèéîòíîñèòåëüíî π2 .√Äåéñòâèòåëüíî, arg im cos θ − λ ∈ (0, π) ïî âûáîðó âåòâè êîðíÿ è1signcos( arg(im cos θ − λ)) = sign(cosθ)2ñëåäîâàòåëüíî, ïî ôîðìóëå êîñèíóñà ïîëîâèííîãî óãëà:s1cos( arg(im cos θ − λ)) = sign(cosθ). 1 −2√λm2 cos2 θ+λ22.Çíà÷èòsλ√m2 cos2 θ+λ2√√4Im im cos θ − λ = m2 cos2 θ + λ2 sign(cosθ). 1 −è, êðîìå òîãî,Impsim cos(π − θ) − λ = −√4Ïîýòîìó ïðè λ ∈ (−∞, 0):Z πZ√Imim cos θ − λdθ = Im02m2π2√cos2θ+λ2 sign(cosθ).Z1−πim cos θ − λdθ + Im√λ√m2 cos2 θ+λ22.im cos θ − λdθ = 0π20è ëåììà äîêàçàíà.Çíà÷èò, ìû äîêàçàëè ÷òî ÷àñòü ñïåêòðà, îïðåäåëÿåìàÿ óñëîâèÿìè òåîðåìû (2.2.1),ëåæèò âáëèçè äåéñòâèòåëüíîé îñè (òî÷íåå, îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè).34Çàìå÷àíèå 2.3.2.