Топологические свойства асимптотики спектра несамосопряженного оператора на двумерной поверхности вращения, страница 3

Òàêèì îáðàçîì, èçâåñòíà àñèìïòîòèêà ìàòðèöûîïåðàòîðà ìîíîäðîìèè â ôèêñèðîâàííîì áàçèñå; áóäåì íàçûâàòü ýòîò áàçèñ áàçèñîìñòàíäàðòíûõ ðåøåíé (â îòëè÷èå îê êàíîíè÷åñêèõ ÔÑÐ, îïðåäåäåëííûõ â ï.1.3).18Ãëàâà 2Àñèìïòîòèêà ñïåêòðà îïåðàòîðà D íàñòàíäàðòíîé ñôåðå S2 ýòîé ãëàâå èçó÷àåòñÿ ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à äëÿ îïåðàòîðà D íà ñòàíäàðòíîé ñôåðå.Ìû âû÷èñëÿåì àñèìïòîòèêó ñïåêòðà ýòîãî îïåðàòîðà è îïðåäåëÿåì ðàñïîëîæåíèå òî÷åêñïåêòðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.2.1 Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â ñïåêòðàëüíîé çàäà÷å.Ðåäóêöèÿ ê çàäà÷å ñ ðåãóëÿðíûìè îñîáûìè òî÷êàìèÅñëè âåêòîðíîå ïîëå v íàïðàâëåíî âäîëü ïàðàëëåëåé, ïåðåìåííûå â ñïåêòðàëüíîé çàäà÷å ðàçäåëÿþòñÿ è âîïðîñ ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ ñïåêòðà îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà.

 ýòîì ïàðàãðàôå ïðèâîäÿòñÿ ñîîòâåñòâóþùèå ôîðìóëû.Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàòîð D èìååò ñëåäóþùèé âèä:D = ²2 ∆ + (υ, ∇),ãäå ∆îïåðàòîð Ëàïëàñà-Áåëüòðàìè.  êîîðäèíàòàõ (θ, ϕ) (θ øèðîòà, ϕ äîëãîòà,θ ∈ [−π/2, π/2], ϕ ∈ [0, 2π]) ýòîò îïåðàòîð âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì∆=∂1 ∂21 ∂cos θ+cos θ ∂θ∂θ cos2 θ ∂ϕ2Ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à äëÿ îïåðàòîðà D â êîðäèíàòàõ θ, ϕ çàïèøåòñÿ òàê:19(2.1)²2 (1 ∂∂Y1 ∂ 2Y∂Ycos θ+) + a(θ)= λY,22cos θ ∂θ∂θcos θ ∂ϕ∂ϕãäå:v=a∂.∂ϕÏîñëå çàìåíû Y = u(θ)ν(ϕ) ïðåäûäóùåå óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå:²2 (∂ 2u∂u1∂2ν∂νν−uν−tanθ) + a(θ) u = λu(θ)ν(ϕ);222∂θ∂θcos θ ∂ϕ∂ϕïîäñòàâëÿÿ ν = eimϕ , ïîëó÷àåì äëÿ u:²2 (∂ 2u∂um2−tanθ−u) + imau = λu∂θ2∂θ cos2 θèëè, ïîñëå çàìåíû sin θ = x∂ 2u∂um22² ( 2 (1 − x ) − 2x−)u + ima(x)u = λu∂x∂x 1 − x22.mÎáîçíà÷èì u = (1 − x2 ) 2 w(x) è ïåðåïèøåì ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ â âèäå:²2 (∂ 2 w(x)∂w(x)(1 − x2 ) − 2x(m + 1)− (m2 + m)w(x)) + ima(x)w(x) = λw(x)2∂x∂xè ïðè a(x) = x ïîëó÷àåì:∂ 2 w(x)∂w(x)²((1 − x2 ) − 2x(m + 1)− (m2 + m)w(x)) + imxw(x) = λw(x)2∂x∂x2Î÷åâèäíî, ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:²2 (∂ 2 w(x)∂w(x)2(1−x)−2x(m+1)− (m2 + m)w(x)) + (imx − λ)w(x) = 0∂x2∂x²2 (∂ 2 w(x)∂w(x)(1 − x2 ) − 2x(m + 1)) + (−²2 (m2 + m) + imx − λ)w(x) = 02∂x∂x²2 (w00 (x) −22ximx − λ02 (m + m)(m+1)w(x))+(−²+)w(x) = 0221−x1−x1 − x2(2.2)ßñíî, ÷òî óðàâíåíèå (2.2) èìååò âèä:²2 (w00 + P w0 ) + Qw = 0(2.3)22x22 (m +m)ãäå P (x) = − 1−x+2 (m + 1) ,p(x) = (1 − x )P (x), Q(x) = −²1−x220imx−λ1−x2'imx−λ.1−x2 óðàâíåíèè (2.3) ôóíêöèè P, Q ãîëîìîðôíûé â ëþáîé îäíîñâÿçíîé îáëàñòè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè x, íå ñîäåðæàùåé îòðåçêà [−1, 1].

Óðàâíåíèå èìååò 2 îñîáûå òî÷êè x = 1,x = −1; îáå ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ïîêàçàòåëÿìè(0, ρ+ ),(0, ρ− ),ãäå ρ± = 1 ±p(±1).2Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíèå ñïåêòðà èñõîäíîãî îïåðàòîðà ñâîäèòñÿ ê îïèñàíèþñïåêòðà îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà (2.3) ñ äâóìÿ ðåãóëÿðíûìè îñîáûìè òî÷êàìè. ßñíî, ÷òî â îñîáûõ òî÷êàõ (ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëþñàì ñôåðû) íàäî òðåáîâàòü àíàëèòè÷íîñòè ñîáñòâåííîé ôóíêöèè.

Òàêèì îáðàçîì çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ àñèìïòîòèêè ÷èñåë λ, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3), àíàëèòè÷åñêîå â îáåèõ îñîáûõ òî÷êàõ x = ±1. Äàëåå â ýòîé ãëàâå ðåøàåòñÿ èìåííî ýòàçàäà÷à.2.2 Òîïîëîãèÿ ëèíèé Ñòîêñà è àñèìïòîòèêà ñïåêòðàÐàññìîòðèì ëèíèè Ñòîêñà óðàâíåíèÿ (2.3). Èìååòñÿ äâå òî÷êè ïîâîðîòà ïîðÿäêà −1(îñîáûå òî÷êè ±1) è îäíà òî÷êà ïîâîðîòà ïîðÿäêà 1 (òî÷êà x0 =λ).imÀñèìïòîòèêàñïåêòðà îïðåäåëÿåòñÿ òîïîëîãèåé ãðàôà Ñòîêñà; ÿñíî, ÷òî âîçìîæíû ñëåäóþùèå òîïîëîãè÷åñêèå ñëó÷àè.Ñëó÷àé 1. Âñå 5 ëèíèé Ñòîêñà çàêàí÷èâàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòè; â ýòîì ñëó÷àå íåòêîíå÷íûõ ëèíèé Ñòîêñà.Ñëó÷àé 2.

Îäíà èç òðåõ ëèíèé Ñòîêñà, âûõîäÿùèõ èç òî÷êè ïîâîðîòà x0 , çàêàí÷èâàåòñÿ â îñîáîé òî÷êå; äâå äðóãèõ çàêàí÷èâàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòè.Ñëó÷àé 3. Äâå èç òðåõ ëèíèé Ñòîêñà, âûõîäÿùèõ èç òî÷êè ïîâîðîòà x0 , çàêàí÷èâàþòñÿ â îñîáûõ òî÷êàõ, à òðåòüÿ óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü.Ñëó÷àé 4. Ëèíèÿ Ñòîêñà âûõîäÿùàÿ èç îäíîé îñîáîé òî÷êè, çàêàí÷èâàåòñÿ â äðóãîé; ëèíèè, âûõîäÿùèå èç òî÷êè x0 , çàêàí÷èâàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòè.Ñâÿçü òîïîëîãèè ëèíèé Ñòîêñà ñ àñèìïòîòèêîé ñïåêòðà îïèñûàåòñÿ ïðèâåäåííûìèíèæå ëåììîé è òåîðåìàìè.Ëåììà 2.2.1.

Ïóñò λ òàêîâî ,÷òî íåò êîíå÷íûõ ëèíèé Ñòîêñà.Òîãäà â O(²2 ) îêðåñòíîñòè òî÷êè λ íåò òî÷åê ñïåêòðà.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ òîãî ÷òî áû êîìïëåêñíîå ÷èñëî λ áûëî òî÷êîé ñïåêòðà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3), îäíîçíà÷íîå â îêðåñò21íîñòÿõ îñîáûõ òî÷åê z = 1 è z = −1. Ïóñòü T1 , T2 ìàòðèöû îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèè,ñîîòâåòñòâóþùèõ îñîáûì òî÷êàì x = +1 è x = −1 ñîîòâåñòâåííî â íåêîòîðîì áàçèñå;óêàçàííîå îäíîçíà÷íîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, åñëè ñóùåñòâóåò äâóìåðíûé âåêòîð l, äëÿêîòîðîãîlT1 = l, lT2 = l.Ñóùåñòâîâàíèå l çàâèñèò îò ìàòðèö T1 ,T2 ; ìû âû÷èñëèì àñèìïòîòèêó ýòèõ ìàòðèö.Îáîçíà÷èì ÷åðåç w1 , w2 ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2.3), îïðåäåëåííóþ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè x = −1 ïî ôîðìóëàì ï.1.5; àíàëîãè÷íûå ðåøåíèÿ,ñîîòâåòñòóþùèå òî÷êå x = 1, îáîçíà÷èì u1 , u2 . ×åðåç a1 áóäåì îáîçíà÷àòü òî÷êó, ôèãóðèðóþùóþ â îïðåäåëåíèè ðåøåíèé u, à ÷åðåç a2 ñîîòâåòñòâóþùóþ òî÷êó äëÿ ðåøåíèéw.

Íàïîìíèì ÷òî äëÿ ðåøåíèé uu(x − i0) = T1 u(x + i0),ïðè÷åì ìàòðèöà ìîíîäðîìèè T1 â áàçèñå u èìååò ñëåäóþùóþ àñèìïòîòèêó:T1 = 2O(² )−A−1 a−1+A2+ O(² ) 1 +a−1+2+ O(² ),îòêóäàu1 (x − i0) = O(²2 )u1 (x + i0) + Au2 (x + i0),2−12u2 (x − i0) = (−A−1 a−1+ + O(² ))u1 (x + i0) + (1 + a+ + O(² ))u2 (x + i0)Àíàëîãè÷íî, â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = −1 èìååìw(x − i0) = T˜1 w(x + i0),ãäå T˜1 ìàòðèöà ìîíîäðàìèè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êå x = −1 â áàçèñå w. Åå àñèìïòîòèêà èìååò âèäT˜1 = 2O(² )Ã−122−Ã−1 ã−1+ + O(² ) 1 + ã+ + O(² ),îòêóäàw1 (x − i0) = O(²2 )w1 (x + i0) + Ãw2 (x + i0)2−12w2 (x − i0) = (−Ã−1 ã−1+ + O(² ))w1 (x + i0) + (1 + ã+ + O(² ))w2 (x + i0)).22Òàêèì îáðàçîì, íàì èçâåñòíû àñèìïòîòèêè ìàòðèö ìîíîäðîìèè â ðàçíûõ áàçèñàõ;÷òîáû âûïèñàòü óñëîâèÿ ïðèíàäëåæíîñòè òî÷êè λ ñïåêòðó îïåðàòîðà D, íàäî âû÷èñëèòü ìàòðèöó ïåðåõîäà ìåæäó ýòèìè áàçèñàìè (òî÷íåå, åå àñèìïòîòèêó).

 íàøåì ñëó÷àå ýòî äîñòàòî÷íî ïðîñòî, ïîñêîëüêó îêðåñòíîñòè òî÷åê x = ±1 (áåç ðàçðåçîâ âäîëüâûõîäÿùèõ èç íèõ ëèíèé Ñòîêñà) ëåæàò â îäíîé êàíîíè÷åñêîé îáëàñòè. Îòñþäà àíàëîãè÷íî [16] ïîëó÷àåì, ÷òî w1 = c1 u1 , w2 = c2 u2 ; ïîýòîìóc1 u1 (x − i0) = O(²2 )c1 u1 (x + i0) + Ãc2 u2 (x + i0)22−1c2 u2 (x − i0) = (−Ã−1 ã−1+ + O(² ))c1 u1 (x + i0) + (1 + ã+ + O(² ))c2 u2 (x + i0),îòêóäà ñëåäóþò ôîðìóëû äëÿ àñèìïòîòèêè ìàòðèöû ìîíîäðîìèè T2 , ñîîòâåòñòâóþùèåîñîáîé òî÷êå x = −1 â áàçèñå u (u(x − i0) = T2 u(x + i0)):O(²2 )à cc12T2 = −12−1 −12 c1(−à ã+ + O(² )) c2 1 + ã+ + O(² )Òàêèì îáðàçîì, íàéäåíà àñèìïòîòèêà ìàòðèö äâóõ îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèè â îäíîì èòîì æå áàçèñå u; ýòî ïîçâîëÿåò âûïèñàòü óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ó ýòèõ ìàòðèö îáùåãîñîáñòâåííîãî âåêòîðà l. Äëÿ åãî êîîðäèíàò l1 , l2 ïîëó÷àåì:2l1 = l1 O(²2 ) + l2 (−A−1 a−1+ + O(² )),è2l1 = l1 O(²2 ) + l2 (Ã−1 a−1+ + O(² ))c1,c22l2 = l1 A + l2 (1 + a−1+ + O(² ))l2 = (l1 Ãc22+ l2 (1 + ã−1+ + O(² ))c1Îòñþäà ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå íà ýëåìåíòû ìàòðèö T , ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé óðàâíåíèå íà òî÷êè ñïåêòðà îïåðàòîðà D:Aa+c2+ O(²2 ).=cÃã+1Íàïîìíèì (ñì.

ï.1.5), ÷òîA=eà = eîòêóäàP∞k=0P∞k=0²k αk,²k α̃k,P∞ kA= e k=0 ² (αk −α˜k )Ãa+= eπi(p(1)+p(−1)) .a˜+23ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ ðåøåíèé u, w èìååì:c2=c1w2u2w1u1=e2[( ²iR a q imt−λ1a21−t2RPj a1 y (t)dt)]dt)+( ∞jj=0 ²a2è óðàâíåíèå íà òî÷êè ñïåêòðà ïðèíèìàåò âèä:2[( ²ieR a q imt−λ1a21−t2RPj a1 y (t)dt)]dt)+( ∞jj=0 ²aP∞= eπi(p(1)+p(−1))+2k=0²k (αk −α˜k )+ O(²2 ).(2.4)ßñíî, ÷òî àñèìïòîòè÷åñêèå ðÿäû∞XZjyj (t)dta2j=0èa1²∞X²k (αk − α˜k )k=0îãðàíè÷åíû ïðè ² → 0; ñ äðóãîé ñòîðîíû, âåòâü êîðíÿîáðàçîì, ÷òîZa1rIma2Ýòî çíà÷èò, ÷òî ôóíêöèÿ2[ ²ieqimx−λ1−x2ôèêñèðîâàíà òàêèìimt − λdt < 0.1 − t2R a q imt−λ1a21−t2dt]ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò ïðè ² → 0, ïîýòîìó ôóíêöèÿ2[( ²ieR a q imt−λ1a21−t2RPj a1 y (t)dt)]dt)+( ∞jj=0 ²a2P∞− eπi(p(1)+p(−1))+k=0²k (αk −α˜k )íå îáðàùàåòñÿ â íóëü â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå λ, îòêóäà ïî òåîðåìå Ãóðâèöà âûòåêàåò,÷òî â O(²2 )-îêðåñòíîñòè òàêîé òî÷êè íåò òî÷åê ñïåêòðà îïåðàòîðà D.Çàìå÷àíèå 2.2.1. Èç óòâåðæäåíèÿ  ëåììû (2.2.1) ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè ñïåêòðàëåæàò â îêðåñòíîñòÿõ ìíîæåñòâ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè λ, äëÿ êîòîðûõ ãðàôÑòîêñà ñîäåðæèò êîíå÷íûå ëèíèè.

Êîíå÷íûå òèïû ëèíèè Ñòîêñà ìîãóò áûòü òðåõòèïîâ: ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò òî÷êè −1 è 1. ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò òî÷êè −1 è ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò òî÷êèλimλ.imè 1.Íèæå îòäåëüíî ðàçáèðàåòñÿ êàæäûé èç ýòèõ ñëó÷àåâ è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå îíèâíîñÿò âêëàä â ñïåêòð.24Òåîðåìà 2.2.1. Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò îñîáûå òî÷êè −1 è 1.

Ïóñòü λ òàêîâî, ÷òîZ 1r1imt − λ −1dt]= π(2n − 2m − 1)[²1 − t2−1òîãäà ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà D, ëåæàùåå â O(²2 )îêðåñòíîñòè òî÷êè λ.|λ − λ̃| = O(²2 ).Äîêàçàòåëüñòâî.  ýòîì ñëó÷àå, àíàëîãè÷íî ðàçîáðàííîìó â ëåììå 2.2.1, äîñòàòî÷íîîïèñàòü óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ âåêòîðà l, äëÿ êîòîðîãî lTj = l, j = 1, 2 (çäåñü, êàê èðàíåå, Tj ìàòðèöû äâóõ îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèè, çàïèñàííûå â îáùåì áàçèñå). Äëÿðàññìàòðèâàåìîãî ðàñïîëîæåíèÿ ëèíèé Ñòîêñà àñèìïòîòèêà îáåèõ ìàòðèöû Tj â îäíîìè òîì æå áàçèñå âû÷èñëåíà â ðàáîòå Ì.Â. Ôåäîðþêà [16]. Èìåííî, åñëè u1 , u2 ðåøåíèÿ,îïðåäåëåííûå âûøå (ñì. äîêàçàòåëüñòâî ïðåäûäóùåé ëåììû), òî â áàçèñå u ìàòðèöàìîíîäðîìèè T1 îïðåäåëåíà ôîðìóëàìè ï.1.5, à ìàòðèöà T2 ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ τijñëåäóþùåãî âèäà (ñì.

[16]):τ11 = 1 + a−1− ,τ12 = −ABa−1− ,èτ22 = 0τ21 = −(AB)−1∞X²k αk },A = exp{k=0B=ei²R q imt−λγ1−t2RPkdt+ ∞k=0 ²γ yk (t)dt.Çäåñü γ êðèâàÿ, îáõîäÿùàÿ êîíå÷íóþ ëèíèþ Ñòîêñà, ñîåäèíÿþùóþ òî÷êè ±1. Ñòàðøàÿ ÷àñòü B ïðè ² → 0 èìååò âèäiB = exp{−2²Zr1|−1imt − λ|dt + πi(ρ+ + ρ− − 1)}[1 + O(²2 )].21−tÒåïåðü óðàâíåíèå íà òî÷êè ñïåêòðà âûïèñûâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê ðàâåíñòâî (2.4);îíî èìååò âèäB = a− a+ ,èëèei²R 1 q imt−λ−11−t2dt= e−iπ(2m+1) + O(²2 ).25Çäåñü ìû ó÷èëè, ÷òî ρ+ = 1 +P (1)2= 1 − (m + 1) è ρ− = 1 −P (−1)2= 1 − (m + 1).Òåïåðü èç òåîðåìû Ãóðâèöà âûòåêàåò, ÷òî â O(²2 )-îêðåñòíîñòè êàæäîãî ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ1²Z1−1rimt − λdt = π(2n − 2m − 1)1 − t2ðàñïîëîæåíà òî÷êà ñïåêòðà îïåðàòîðà D. Òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 2.2.2. Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò −1 è x0 (λ).Ïóñòü λ òàêîâî, ÷òîZ x0 (λ) r11imt − λ −1dt] .= π(− + 2n − m)[²41 − t2−1Òîãäà ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà D, äëÿ êîòîðîãî|λ − λ̃| = O(²2 ).Äîêàçàòåëüñòâî.