Топологические свойства асимптотики спектра несамосопряженного оператора на двумерной поверхности вращения, страница 2

Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò z1 è z2 , à λ òàêîâî, ÷ò µZ z2¶−1p11= π n − + 2m(λ − imz)(fz2 + 1)dt,²2z1òîãäà ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà D òàêîå, ÷òî|λ − λ̃| = O(²2 ).Òåîðåìà 5. Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò z1 èλ,imà λ òàêîâî, ÷òî#−1µ¶ "Z λim p11= π 2n − − m(λ − imz)(fz2 + 1)dz,²4z1òîãäà ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà D òàêîå, ÷òî|λ − λ̃| = O(²2 ).Òåîðåìà 6.

Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåòλimè z2 è λ òàêîâî, ÷òî#−1µ¶ "Z λim p11= π 2n + − m(λ − imz)(fz2 + 1)dz,²4z2òîãäà ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà D òàêîå, ÷òî|λ − λ̃| = O(²2 ). ðàçäåëå 3.3 îïèñàíî ðàñïîëîæåíèå ñïåêòðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè â ñëó÷àåïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. Ñïåêòð êîíöåíòðèðóåòñÿ â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîãî ãðàôà, ãîìåîìîðôíîãî ãðàôó, ïðåäñòàâëåííîìó íà ðèñ.1; êàæäîå ðåáðî ãðàôà ïåðåñåêàåòñÿ âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé íå áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå.

Êðîìå òîãî, äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.11Òåîðåìà 7. Åñëè ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òî îäíî èç ðåáåð ñïåêòðàëüíîãî ãðàôàëåæèò íà äåéñòâèòåëüíîé îñè.Íàêîíåö, â ðàçäåëå 3.4 ïîêàçàíî, ÷òî àñèìïòîòèêà ñïåêòðà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà èçóñëîâèé êâàíòîâàíèÿ, ïîõîæèõ íà ïðàâèëà Áîðà Çîììåðôåëüäà Ìàñëîâà [9],[10]; ýòèóñëîâèÿ çàäàþòñÿ íà ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé êîìïëåêñíîé ýíåðãèè. Èìåííî, ïóñòü M ñòàíäàðòíàÿ ñôåðà; ðàññìîòðèì ðèìàíîâó ïîâåðõíîñòü, çàäàííóþ â C2óðàâíåíèåì (z 2 − 1)p2 + imz = λ. Ýòà ïîâåðõíîñòü ãîìåîìîðôíà òîðó ñ òðåìÿ ïðîêîëàìè; îíà ïîëó÷àåòñÿ èç äâóõ ýêçåìïëÿðîâ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z ñêëåéêîé âäîëüðàçðåçîâ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè ±1 è òî÷êó λ/im ñ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé.

Íà ýòîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ òðè öèêëà γ j ,j = 1, 2, 3 òàê, ÷òîáû ïðîåêöèè ýòèõ öèêëîâíà ïëîñêîñòü z ñîâïàäàåò ñ îòðåçêàìè [−1, 1], [−1, λ/im], [1, λ/im] ñîîòâåñòâåííî. Èìååòìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ïðåäëîæåíèå 1. Óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå àñèìïòîòèêó ñïåêòðà ñîãëàñíî òåîðåìàì 1 3, ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäåZ1µj²pdz = n + ,2π γj2ãäå µ1 = 0,µ 2 = µ3 = 1 .Çàìå÷àíèå 2.

 îòëè÷èå îò óñëîâèé Ìàñëîâà, êîòîðûå äîëæíû áûòü âûïîëíåíû íàëþáîì öèêëå âåùåñòâåííîãî ëàãðàíæåâà ìíîãîîáðàçèÿ, ïðèâåäåííûå âûøå êîìïëåêñíûå óñëîâèÿ êâàíòîâàíèÿ äîëæíû áûòü âûïîëíåíû õîòÿ áû íà îäíîì öèêëå; ðàçíûåöèêëû îïðåäåëÿþò ðàçíûå ñïåêòðàëüíûå ñåðèè.ÁëàãîäàðíîñòüÀâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ äîêòîðóôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðó À.

È. Øàôàðåâè÷ó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷èè ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå. Àâòîð áëàãîäàðåí âñåì ñîòðóäíèêàì êàôåäðû äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ çàòâîð÷åñêóþ àòìîñôåðó è äîáðîæåëàòåëüíîå îòíîøåíèå.12Ãëàâà 1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îñíîâíûåîïðåäåëåíèÿ1.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàññìîòðèì íåñàìîñîïðÿæåííûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîðD = ²2 ∆ + (υ, ∇)(1.1)íà äâóìåðíîé êîìïàêòíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ M , ãîìåîìîðôíîé ñôåðå; çäåñü∆îïåðàòîð Ëàïëàñà Áåëüòðàìè, ² > 0, υ ãëàäêîå âåêòîðíîå ïîëå íà M .

Íàøàöåëü âû÷èñëåíèå àñèìïòîòèêè ñïåêòðà îïåðàòîðà D ïðè ² → 0.Ïîâåðõíîñòü M âîçíèêàåò ïðè âðàùåíèè ãðàôèêà ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè x = f (z)âîêðóã îñè z ; f îïðåäåëåíà íà îòðåçêå [z1 , z2 ], ïðè÷åì f (z1 ) = f (z2 ) = 0 (òî÷íûå óñëîâèÿíà f ñôîðìóëèðîâàíû íèæå).  êà÷åñòâå êîîðäèíàò íà M âûáåðåì ïàðó z, ϕ, ãäå ϕ∂, a(z) ëèíåéíàÿ óãîë âðàùåíèÿ, à â êà÷åñòâå υ âåêòîðíîå ïîëå âèäà υ = a(z) ∂ϕôóíêöèÿ. ïåðâîé ÷àñòè ðàáîòû ìû ðàññìîòðèì ñàìûé ïðîñòîé ñëó÷àé, êîãäà M ñòàíäàðòíàÿ ñôåðà S2 : x2 + y 2 + z 2 = 1; â äàëüíåéøåì âû÷èñëèì ñïåêòð îïåðàòîðà D äëÿïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ è âûÿñíèì, êàê îí çàâèñèò îò ãåîìåòðèè M .Îòìåòèì, ÷òî îïåðàòîð D íå ñàìîñîïðÿæåí (è äàæå íå ñèììåòðè÷åí) â L2 (M ); ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð çàäàåòñÿ âûðàæåíèåìD∗ = ²2 ∆ − (υ, ∇).13Ñïåêòð ýòîãî îïåðàòîðà ïðè ² → 0 êîíöåíòðèðóåòñÿ âáëèçè íåêîòîðîãî ãðàôà íàêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè; ðàñïîëîæåíèå ãðàôà çàâèñèò îò âèäà ïîâåðõíîñòè M .Ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à äëÿ îïåðàòîðà D ñâîäèòñÿ êîáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ îñîáûìè òî÷êàìè (ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîëþñàì ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ).

Ìû èçó÷àåì àñèìïòîòèêó ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ïðèìåíÿÿ òåõíèêó ëèíèé Ñòîêñà è êàíîíè÷åñêèõ îáëàñòåé; íèæå ïðèâîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ.1.2 Ëèíèè Ñòîêñà è êàíîíè÷åñêèå îáëàñòèÐàññìîòðèì óðàâíåíèå²2 (w00 + P w0 ) + Qw = 0(1.2)ãäå ïàðàìåòð ² → 0, ôóíêöèè P ,Q ìåðîìîðôíû â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ïåðåìåííîéz . Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè, èìåþùèå ïîëþñà íå âûøå ïåðâîãî ïîðÿäêà.Îïðåäåëåíèå 1.2.1.

Òî÷êîé ïîâîðîòà íàçûâàåòñÿ íóëü èëè ïîëþñ ôóíêöèè Q; ïîðÿäîê íóëÿ íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì òî÷êè ïîâîðîòà (ïîëþñà ñ÷èòàþòñÿ òî÷êàìè ïîâîðîòà ïîðÿäêà −1).Îïðåäåëåíèå 1.2.2. Îáîçíà÷èìZzS(z0 , z) =pQ(t)dtz0ãäå z0 òî÷êà ïîâîðîòà. Ìàêñèìàëüíàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ëèíèè óðîâíÿReS(z0 , z) = 0íàçûâàåòñÿ ëèíèåé Ñòîêñà (ËÑ).Ëèíèè Ñòîêñà îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:(1) Ëèíèÿ Ñòîêñà íà÷èíàåòñÿ â òî÷êå ïîâîðîòà è çàêàí÷èâàåòñÿ ëèáî â òî÷êå ïîâîðîòà , ëèáî â áåñêîíå÷íîñòè.(2) Ëèíèÿ Ñòîêñà íå ìîæåò ñîäåðæàòü òî÷êè ïîâîðîòà âíóòðè ñåáÿ.(3) Ëèíèÿ Ñòîêñà íå ìîæåò ïåðåñåêàòü ñåáÿ èëè äðóãóþ ëèíèþ Ñòîêñà.(4) Èç òî÷êè ïîâîðîòà êðàòíîñòè d âûõîäÿò d + 2 ëèíèè Ñòîêñà.14Îáúåäèíåíèå âñåõ ËÑ óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ ãðàôîì Ñòîêñà. Ãðàô Ñòîêñà íå ìîæåòñîäåðæàòü òîïîëîãè÷åñêîé îêðóæíîñòè.Ëèíèè Ñòîêñà ðàçáèâàþò ïëîñêîñòü C íà îáëàñòè, ãîìåîìîðôíûå ïîëóïëîñêîñòè èëèïîëîñå.Îïðåäåëåíèå 1.2.3.

Êàíîíè÷åñêîé îáëàñòüþ íàçûâàåòñÿ îáëàñòü íà êîìïëåêñíîéïëîñêîñòè, ñîäåðæàùàÿ âíóòðè ñåáÿ ðîâíî îäíó ëèíèþ Ñòîêñà, îãðàíè÷åííàÿ äðóãèìè ëèíèÿìè Ñòîêñà è òàêàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ S (ïðè âûáîðå íåïðåðûâíîé âåòâè êîðíÿ)âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ýòó îáëàñòü íà êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü ñ êîíå÷íûìèëè áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì âåðòèêàëüíûõ ðàçðåçîâ.Êàíîíè÷åñêàÿ îáëàñòü ìîæåò áûòü çàäàíà òî÷êîé ïîâîðîòà è ëèíèåé Ñòîêñà, âûõîäÿùåé èç íåå (ýòà ëèíèÿ ñîäåðæèòñÿ âíóòðè êàíîíè÷åñêîé îáëàñòè).1.3 Àñèìïòîòèêà ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèéÐàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.

1. Ïóñòü ñïåðâà êîýôôèöèåíòû P è Q óðàâíåíèÿ (1.2) ãîëîìîðôíûå ôóíêöèè. Ôèêñèðóåì òðîéêó (l, z0 , D), ãäå z0 òî÷êà ïîâîðîòà, l âûõîäÿùàÿèç íåå ëèíèÿ Ñòîêñà, è D ñîîòâåòñòâóþùàÿ êàíîíè÷åñêàÿ îáëàñòü. Îïðåäåëèì âåòâüôóíêöèè S(z0 , z) â D òàê,÷òîáûImS(z0 , z) > 0, z ∈ l. îáëàñòè D ñóùåñòâóåò ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.2) ñî ñëåäóþùåé àñèìïòîòèêîé:u(z) = cQv(z) = cQ−14−141(z) exp{ S(z0 , z)}(1 + O(²))²1(z) exp{− S(z0 , z)}(1 + O(²)).²Çäåñü c íîðìèðîâî÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ; ôèêñèðóåì åå óñëîâèÿìè:|c| = 1, lim arg[cQz→z0−14(z)] = 0.Îïðåäåëåíèå 1.3.1.

Ïàðà ôóíêöèé u, v íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêîé ôóíäàìåíòàëüíîéñèñòåìîé ðåøåíèé (ÔÑÐ), ñîîòâåòñòâóþùåé òðîéêå (z0 , l, D).15 ïåðåñå÷åíèè Dj ∩ Dk äâóõ êàíîíè÷åñêèõ îáëàñòåé ëþáîå ðåøåíèå w(z) ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå:w(z) = αj uj + βj vj = αk uk + βk vk ;êîýôôèöåíòû α,β ñâÿçàíû ïîñðåäñòâîì ìàòðèöû Ωjk :  αkα  = Ωjk  j  .βkβjÎïðåäåëåíèå 1.3.2. Ìàòðèöà Ωjk íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà ìåæäó òðîéêàìè(zj , lj , Dj ) è (zk , lk , Dk ). ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå ïðèâîäèòñÿ àñèìïòîòèêà ýòèõ ìàòðèö ïðè ² → 0.2. Ïóñòü êîýôôèöèåíòû P , Q èìåþò ïîëþñ â òî÷êå z0 .

Ôèêñèðóåì òî÷êó a â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 , íå ëåæàùóþ íà âûõîäÿùåé èç z0 ëèíèè Ñòîêñà.  îêðåñòíîñòè òî÷êè aîïðåäåëåíû äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðîñòêà àíàëèòè÷åñêèé ôóíêöèé ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.2). Èõ ìîæíî àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæèòü â îêðåñòíîñòü òî÷êè z0 ñ ðàçðåçîìâäîëü êðèâîé l; â ýòîé îáëàñòè ñóùåñòâóþò äâà ðåøåíèÿ ñ àñèìïòîòèêîé ñëåäóþùåãîâèäà:Z∞X− k2w1,2 (z, ²) = w1,2 (z, ², a) exp{ (±²)zyk (t)dt}(1 + O(²))ak=1(1.3)ãäå:−141f (a, z) exp{±i²− 2 S(a, z)}Z zpS(a, z) =Q(t)dt,w1,2 (z, ², a) = Q(z)a1f (a, z) = exp{−2y0 = −iyk+1 (z) = p2 Q(z)[yk0 (z)ZzP (t)dt}aQ0 (z)P (z)−,4Q(z)2+ P (z)yk (z) +kXyj (z)yk−j (z)],j=00iQ (z) 2 Q2 (z)y1 (z) = p[y00 (z) + () −].4Q(z)42 Q(z)Ðÿäû çäåñü è âñþäó íèæå ïîíèìàþòñÿ êàê àñèìïòîòè÷åñêèå.

 ïàðàãðàôå 1.5 ïðèâåäåíà àñèìïòîòèêà ìàòðèöû îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè â áàçèñå w1 , w2 .161.4 Ìàòðèöû ïåðåõîäàÀñèìïòîòèêà ìàòðèö ïåðåõîäà, îïðåäåëåííûõ â ïóíêòå (1.3), çàâèñèò îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òðîåê (l, z, D); âûäåëÿåòñÿ ÷åòûðå ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèöû ïåðåõîäà, êîìáèíèðóÿ êîòîðûå, ìîæíî äâèãàòüñÿ ïî ïðîèçâîëüíûì öåïî÷êàì êàíîíè÷åñêèõ îáëàñòåé.Ïåðâûé òèï:(l, z1 , D) → (l, z2 , D) ìåíÿåòñÿ òîëüêî íàïðàâëåíèå ËÑ ìåæäó äâóìÿòî÷êàìè ïîâîðîòà (òàêîé ïåðåõîä ñóùåñòâóåò òîëüêî äëÿ êîíå÷íîé ËÑ):−i 1² α0 eΩ = eiϕ0  1ei ² α0ãäå α = |S(z1 , z2 )|, eiϕ0 =c1.c2Âòîðîé òèï:(l1 , z1 , D) → (l2 , z2 , D) ìåíÿåòñÿ è ëèíèÿ Ñòîêñà è òî÷êà ïîâîðîòà;êàíîíè÷åñêàÿ îáëàñòü îáùàÿ, ïðè÷åì ëó÷è S(l1 ) è S(l2 ) íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó:Ω = eiϕ0 ãäå α = S(z1 , z2 ), Reα > 0, eiϕ0 =1e− ² α00e1α²c1.c2òðåòèé òèï:(l, z0 , D1 ) → (l, z0 , D2 ) ìåíÿåòñÿ òîëüêî êàíîíè÷åñêàÿ îáëàñòü:Ω=ãäå1 + η11w12w121 + η2211η11 = η22 = O(²), w12 = O(exp(−2 (a+ − t))), w21 = O(exp(−2 (a− − t)))²²t > 0, t → 0, −a− < ReS < a+ .Òàêàÿ ìàòðèöà ïðè ² → 0 ñòðåìèòñÿ ê åäèíè÷íîé.×åòâåðòûé òèï:(l1 , z0 , D1 ) → (l2 , z0 , D2 ) òî÷êà ïîâîðîòà ôèêñèðîâàíà, ìåíÿþòñÿêàíîíè÷åñêàÿ îáëàñòü è ëèíèÿ Ñòîêñà:iπΩ = e− 6 0 11 i + O(²).1.5 Àñèìïòîòèêà ìàòðèöû ìîíîäðîìèèÐàññìîòðèì îêðåñòíîñòü ðåãóëÿðíîé îñîáîé òî÷êè óðàâíåíèÿ (2.1) ñ ðàçðåçîì âäîëü ëèíèè Ñòîêñà; áóäåì ñ÷èòàòü âåðõíèì áåðåãîì ðàçðåçà òîò, íà êîòîðîì ImS > 0.

Ïóñòü x 17òî÷êà, ëåæàùàÿ íà âåðõíåì áåðåãó ðàçðåçà, è êðèâàÿ α+ (x) ñîåäèíÿåò ïîñòîÿííóþ òî÷êóa (â D) è x ( Imz > 0 íà ýòîé êðèâîé).Îáîçíà÷èì wj (x + i0, ²) (j = 1, 2) ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå ïðè àíàëèòè÷åñêîì ïðîäîëæåíèè ðîñòêà wj âäîëü α+ (x), à ÷åðåç wj (x − i0, ²) ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå ïðîäîëæåíèåì wj ïðè âäîëü α− (x) êðèâîé, ñèììåòðè÷íîé α+ (x)îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé îñè. Ïîëîæèì w = (w1 , w2 )t âåêòîð ðåøåíèé óðàâíåíèÿ(1.2); ìàòðèöà îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè â áàçèñå w îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:w(x − i0, ²) ≡ T1 (²)w(x + i0, ²).Àñèìïòîòèêà ýòîé ìàòðèöû èìååò âèä:t11 = O(²),t12 = At21 = −A−1 a−1+ + O(²),t22 = 1 + a−1+ + O(²),ãäåa± = exp{2πiρ± },A = exp{∞Xk² 2 αk }.k=0Çäåñü ρ± õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè îñîáîé òî÷êè z0 , αk êîýôôèöèåíòû, âû÷èñëÿåìûå ïî ðåêóððåíòíûì ôîðìóëàì.