Топологические свойства асимптотики спектра несамосопряженного оператора на двумерной поверхности вращения

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèìåíè Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 514.84,517.984.5Ðóõèàí ÕîìàþíÒîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà àñèìïòîòèêè ñïåêòðàíåñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðàíà äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿÄèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõíàóê, ïðîôåññîðÀ.È.

Øàôàðåâè÷Ìîñêâà 2010ÎãëàâëåíèåÂÂÅÄÅÍÈÅ1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ3131.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2Ëèíèè Ñòîêñà è êàíîíè÷åñêèå îáëàñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.141.3Àñèìïòîòèêà ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé . . . . . . . . . . . . . .151.4Ìàòðèöû ïåðåõîäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.5Àñèìïòîòèêà ìàòðèöû ìîíîäðîìèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 Àñèìïòîòèêà ñïåêòðà îïåðàòîðà D íà ñòàíäàðòíîé ñôåðå S22.119Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â ñïåêòðàëüíîé çàäà÷å. Ðåäóêöèÿ ê çàäà÷å ñ ðåãóëÿðíûìè îñîáûìè òî÷êàìè . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.2Òîïîëîãèÿ ëèíèé Ñòîêñà è àñèìïòîòèêà ñïåêòðà . . . . . . . . . . . . . .212.3Ðàñïîëîæåíèå ñïåêòðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè . . . . . . . . . . . . . .333 Àñèìïòîòèêà ñïåêòðà D íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ423.1Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. Çàäà÷à ñ îñîáûìè òî÷êàìè . . .

. . . . . . . . .423.2Àñèìïòîòèêà ñïåêòðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443.3Ðàñïîëîæåíèå ñïåêòðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè . . . . . . . . . . . . . .523.4Óñëîâèÿ êâàíòîâàíèÿ íà ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . .

. . . . .54ÂÂÅÄÅÍÈÅÀêòóàëüíîñòü òåìû.Ãåîìåòðè÷åñêèå àñïåêòû ñïåêòðàëüíîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ è ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ èçó÷àëèñü â îãðîìíîì êîëè÷åñòâå ðàáîò; ðåçóëüòàòû ýòîé òåîðèèèìåþò ìíîãî ïðèëîæåíèé â ìàòåìàòèêå è òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå. Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ, ñðàâíèòåëüíî ñ ñàìîñîïðÿæåííûì ñëó÷àåì ðàçâèòà çíà÷èòåëüíî ìåíåå ïîëíî; êàê ñòðóêòóðà ñïåêòðà, òàê è ñâîéñòâà ñïåêòðàëüíîãîðàçëîæåíèÿ ìîãóò áûòü â ýòîé ñèòóàöèè âåñüìà ýêçîòè÷åñêèìè.

 ÷àñòíîñòè, â íåñàìîñîïðÿæåííîì ñëó÷àå ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè îòñóòñòâóåò îáùàÿ òåîðèÿ êâàçèêëàññè÷åêèõ àñèìïòîòèê, àíàëîãè÷íàÿ òåîðèè Â.Ï. Ìàñëîâà êâàíòîâàíèÿ èíâàðèàíòíûõ ëàãðàíæåâûõ ìíîãîîáðàçèé.  ðàáîòå[5] ïîñòðîåíû ñïåêòðàëüíûå ñåðèè îïåðàòîðà ËàïëàñàÁåëüòðàìè ñî ñíîñîì â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, ñîîòâåòñòâóþùèå àñèìïòîòè÷åñêèóñòîé÷èâûì ïîëîæåíèÿì ðàâíîâåñèÿ, ïðåäåëüíûì öèêëàì è èíâàðèàíò íûì òîðàìñîîòâåòñòâóþùåãî âåêòîðíîãî ïîëÿ.  ðàáîòàõ [11, 12, 17, 13, 15, 6, 14]ïîëíîñòüþ èññëåäîâàí ñïåêòð îäíîìåðíîãî îïåðàòîðà Øðåäèíãåðà è Îððà - Çîììåðôåëüäà íà îòðåçêåñ ïîòåíöèàëàìè ïðîñòåéøåãî âèäà (ëèíåéíûì, êâàäðàòè÷íûì è áëèçêèì ê ëèíåéíîìó);îòìåòèì, ÷òî ðÿä óòâåðæäåíèé îá óñëîâèÿõ êâàíòîâàíèÿ ñîäåðæàëñÿ åùå â ðàáîòå [4]. Âýòèõ ðàáîòàõ, â ÷àñòíîñòè, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ñïåêòð â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðåäåëå ñòÿãèâàåòñÿ ê íåêîòîðîìó ãðàôó íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.

 ðàáîòàõ [1, 2, 8] èññëåäîâàíñïåêòð îäíîìåðíîãî îïåðàòîðà Øðåäèíãåðà ñ êîìïëåêñíûì ïîòåíöèàëîì ïðîñòåéøåãîâèäà (ëèíåéíûé èëè êâàäðàòè÷íûé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí) íà îêðóæíîñòè; â÷àñòíîñòè, áûë íàéäåí ñïåêòðàëüíûé ãðàô è ïîêàçàíî, ÷òî àñèìïòîòèêà ñïåêòðà ìîæåòáûòü âû÷èñëåíà èç òîïîëîãè÷åñêèõ óñëîâèé êâàíòîâàíèÿ íà ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè êîìïëåêñíîé ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ýíåðãèè. íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè îïèñàí ñïåêòð îïåðàòîðà Ëàïëàñà - Áåëüòðàìè ñî ñíîñîìíà äâóìåðíîé êîìïàêòíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ãîìåîìîðôíîé ñôåðå (ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîëå ñêîðîñòåé, íàïðàâëåííîå âäîëü ïàðàëëëåëåé è ëèíåéíî çàâèñÿùåå îò âûñîòû).Ïîêàçàíî, ÷òî ñïåêòð âû÷èñëÿåòñÿ èç óñëîâèé êâàíòîâàíèÿ íà ñîîòâåòñòâóþùåé ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè, àíàëîãè÷íûì óñëîâèÿì Áîðà - Çîììåðôåëüäà - Ìàñëîâà [9, 10];îäíàêî, â îòëè÷èå îò ñàìîñîïðÿæåííîãî ñëó÷àÿ, â íàøåé ñèòóàöèè äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ òàêîãî óñëîâèÿ õîòÿ áû íà îäíîì áàçèñíîì öèêëå ïîâåðõíîñòè (ðàç-3íûå öèêëû îïðåäåëÿþò ðàçíûå ñïåêòðàëüíûå ñåðèè).

Èññëåäîâàí ñïåêòðàëüíûé ãðàô(ñîñòîÿùèé èç òðåõ ðåáåð); îñîáåííî ïîëíóþ èíôîðìàöèþ î íåì óäàåòñÿ ïîëó÷èòü âñëó÷àå ñòàíäàðòíîé ñôåðû òîãäà àñèìïòîòèêà ñïåêòðà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëëèïòè÷åñêèå èíòåãðàëû. Ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ ñîîòâåòñòâóþùèõ òåîðåì ïðèìåíÿåòñÿ òåõíèêà,ðàçâèòàÿ â ðàáîòàõ [16, 7] è îñíîâàííàÿ íà èçó÷åíèè ðåøåíèé ñïåêòðàëüíîãî óðàâíåíèÿâ êîìïëåêñíîé îáëàñòè è, â ÷àñòíîñòè, íà èññëåäîâàíèè òîïîëîãèè ò.í. ãðàôà Ñòîêñà(ðåáðà ýòîãî ãðàôà îãðàíè÷èâàþò îáëàñòè, â êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû êâàçèêëàññè÷åñêèåàñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìóëû).Öåëü ðàáîòû. íàñòîÿùåé ðàáîòå àâòîð ñòàâèë ïåðåä ñîáîé ñëåäóþùèå öåëè:1.

Îïèñàòü òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà ñïåêòðà íåñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñî ñíîñîì íà äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ãîìåîìîðôíîé ñôåðå.2. Îïèñàòü êâàçèêëàññè÷åñêóþ àñèìïòèîòèêó ñïåêòðà íåñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà Áåëüòðàìè ñî ñíîñîì íà äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ è åå ñâÿçüñ òîïîëîãèåé ãðàôà Ñòîêñà.3. Èññëåäîâàòü òîïîëîãèþ ñïåêòðàëüíîãî ãðàôà è åãî ðàñïîëîæåíèå íà êîìïëåêñíîéïëîñêîñòè.4. Ïîëó÷èòü ïðîñòûå è ýôôåêòèâíûå ôîðìóëû äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ñåðèé â ñëó÷àåñòàíäàðòíîé ñôåðû.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.Èññëåäîâàíèÿ, ïðîâîäèìûå â äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå, îñíîâàíû íà ìåòîäàõ äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè, ñïåêòðàëüíîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ, àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

 ðàáîòå èñïîëüçóåòñÿ ðåçóëüòàòûàñèìïòîòè÷åñêîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ, ðàçðàáîòàííîé Ì.Â. Ôåäîðþêîì.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:41. Îïèñàíà êâàçèêëàññè÷åñêàÿ àñèìïòîòèêà ñïåêòðà îïåðàòîðà Ëàïëàñà-Áåëüòðàìèñî ñíîñîì äâóìåðíîé êîìïàêòíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. Óñòàíîâëåíà ñâÿçü ñ òîïîëîãèåé ëèíèé Ñòîêñà.2. Ïîêàçàíî, ÷òî àñèìïòîòèêà ñïåêòðà îïðåäåëÿåòñÿ èç òîïîëîãè÷åñêèõ óñëîâèéêâàíòîâàíèÿ íà ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé êîìïëåêñíîé ýíåðãèè.3. Èññëåäîâàí ñïåêòðàëüíûé ãðàô; ïîêàçàíî, ÷òî îí îïðåäåëÿåòñÿ òîïîëîãèåé ãðàôàÑòîêñà.4. Äëÿ ñòàíäàðòíîé ñôåðû ïîëó÷åíû ïðîñòûå è ýôôåêòèâíûå ôîðìóëû äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü.Ðàáîòà íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð.

Åå ðåçóëüòàòû è ìåòîäû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ñïåöèàëèñòàìè â îáëàñòè äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Àïðîáàöèÿ äèññåðòàöèè.• Êîíôåðåíöèÿ Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû àíàëèçà è ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè, ïîñâÿùåííàÿ 105-ëåòèþ Ñ.Ì. Íèêîëüñêîãî. Ìîñêâà, ÌÃÓ, ìàé 2010.• Êîíôåðåíöèÿ Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà. Ìîñêâà, ÈÏÌåõ ÐÀÍ, ìàé 2010.• Ñåìèíàð êàôåäðû Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé Ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì Ì.Â. Ëîìîíîñîâà.Ïóáëèêàöèè.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû îïóáëèêîâàíû â äâóõ ñòàòüÿõ, ññûëêè [22, 23] íà êîòîðûåïðèâåäåíû â êîíöå ëèòåðàòóðû.5Ñòðóêòóðà è îáúåì ðàáîòû.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ è òðåõ ãëàâ, âêëþ÷àþùèõ â ñåáÿ 11 ðàçäåëîâ.

Òåêñòäèññåðòàöèè èçëîæåí íà 57 ñòðàíèöàõ è äîïîëíÿåòñÿ 7 ðèñóíêàìè. Ñïèñîê ëèòåðàòóðûñîäåðæèò 23 íàèìåíîâàíèå.Ñîäåðæàíèå ðàáîòûÂâåäåíèå.Âî ââåäåíèè ïðèâîäèòñÿ îáçîð ðàíåå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, ñâÿçàííûõ ñ òåìîé äèññåðòàöèè, è îáîñíîâûâàåòñÿ àêòóàëüíîñòü äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû.Ãëàâà 1. ïåðâîé ãëàâå ïðèâîäÿòñÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóåìûåâ äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå. ðàçäåëå 1.1 îïðåäåëÿåòñÿ íåñàìîñîïðÿæåííûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð:D = ²2 ∆ + (υ, ∇)íà äâóìåðíîé êîìïàêòíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ M , ãîìåîìîðôíîé ñôåðå; ∆îïåðàòîð Ëàïëàñà-Áåëüòðàìè, ² > 0, υ ãëàäêîå âåêòîðíîå ïîëå íà M .Äàëåå â ïåðâîé ãëàâå ââîäÿòñÿ ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ: ëèíèè Ñòîêñà è êàíîíè÷åñêèåîáëàñòè, àñèìïòîòèêà ñèñòåìû ðåøåíèé, ìàòðèöû ïåðåõîäà, ðåãóëÿðíûå îñîáûå òî÷êèè ìàòðèöà ìîíîäðîìèè.

Ïðèâåäåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìóëû äëÿ ìàòðèö ïåðåõîäà èìîíîäðîìèè.Ãëàâà 2.Âî âòîðîé ãëàâå ïðîâîäèòñÿ èññëåäîâàíèå ñïåêòðà îïåðàòîðàD = ²2 ∆ + (υ, ∇)íà ñòàíäàðòíîé ñôåðå S2 . ðàçäåëå 2.1 ïîêàçàíî, ÷òî, äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü ñïåêòð îïåðàòîðà D íà ñòàíäàðòíîé ñôåðå S2 , äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ñâîéñòâà îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî6óðàâíåíèÿ ñ ðåãóëÿðíûìè îñîáûìè òî÷êàìè:²2 (w00 + P w0 ) + Qw = 0,22x22 (m +m)ãäå P (x) = − 1−x+2 (m + 1), p(x) = (1 − x )P (x), Q(x) = −²1−x2imx−λ.1−x2 ðàçäåëå 2.2 ñíà÷àëà îïèñûâàþòñÿ ðàçíûå òîïîëîãè÷åñêèå ñëó÷àè ñòðîåíèÿ ãðàôàÑòîêñà.

Ëèíèè Ñòîêñà íà ïëîñêîñòè ûõîäÿò èç îäíîé òî÷êè ïîâîðîòàλimè äâóõ îñîáûõòî÷åê −1 , +1. Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñïåêòðà íà ñòàíäàðòíîé ñôåðå S2 îïèñûâàþòñÿñëåäóþùèìè ëåììîé è òåîðåìàìè:Ëåììà 1. Ïóñòü λ òàêîâî, ÷òî íåò êîíå÷íûõ ëèíèé Ñòîêñà. Òîãäà â O(²2 )îêðåñòíîñòè òî÷êè λ íåò òî÷åê ñïåêòðà.Êîíå÷íûå ëèíèè Ñòîêñà ìîãóò áûòü òðåõ òèïîâ:Ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò −1 è 1,Ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò −1 èËèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåòλimλ,imè 1.Òåîðåìà 1.

Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò −1 è 1. Ïóñòü λ òàêîâî, ÷òî1= π(2n − 2m − 1)²"Z1−1r#−1imt − λdt,1 − t2òîãäà ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà D òàêîå, ÷òî|λ − λ̃| = O(²2 ).Òåîðåìà 2. Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò −1 è z0 (λ) = λ/im. Ïóñòü λ òàêîâî, ÷òî#−1µ¶ "Z z0 (λ) rimt − λ11= π − + 2n − mdt,²41 − t2−1òîãäà ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà D òàêîå, ÷òî|λ − λ̃| = O(²2 ).Òåîðåìà 3. Ïóñòü ëèíèÿ Ñòîêñà ñîåäèíÿåò z0 (λ) è 1.

Ïóñòü λ òàêîâî, ÷òî#−1µ¶ "Z 1 r11imt − λ,= π − + 2n − mdt²41 − t2z0 (λ)òîãäà ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ̃ îïåðàòîðà D òàêîå, ÷òî|λ − λ̃| = O(²2 ).7 ðàçäåëå 2.3 ïðè ïîìîùè àíàëèçà ñîîòâåòñâóþùèõ ýëëèïòè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ èçó÷àåòñÿ ðàñïîëîæåíèå òî÷åê ñïåêòðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. À èìåííî, ïîêàçàíî,÷òî ïðè ² → 0 ñïåêòð êîíöåíòðèðóåòñÿ â ìàëîé îêðåñòíîñòè ãðàôà íåêîòîðîãî íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.

Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì m ýòîò ãðàô ñîñòîèò èç 3 òåõ ðåáåð,îäíî èç êîòîðûõ ëó÷ íà äåéñòâèòåëüíîé îñè. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî âûòåêàåò èçñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà 2. Ïðè λ ∈ C \ i(−m, m)ZπI(λ) = Re√im cos θ − λdθ = 00òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà λ äåéñòâèòåëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.Äâà äðóãèõ ðåáðà ñîåäèíÿþò òî÷êè ±im ñ òî÷êîé íà äåéñòâèòåëüíîé îñè; åäèíñòâåííîéòü ýòîé òî÷êè âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà 3. ÓðàâíåíèåZθ+J(λ) = Re√im cos θ − λdθ = 00íàïàðàìåòðλ∈(0, +∞)èìååòòîëüêîîäíîðåøåíèåλ,ïðè÷åìλ ∈ (0, m sinh π2 ). Çäåñü θ± ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ im cos θ − λ = 0sµ ¶2λπλ+ θ± = ±  + i ln  1 +2mm.Çàìå÷àíèå 1.

 çàâèñèìîñòè îò ðàñïîëîæåíèÿ òî÷êè ñïåêòðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè λ, ëèíèè Ñòîêñà ïî-ðàçíîìó ðàñïîëîæåíû íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.Ñëó÷àé(1): Åñëè òî÷êà ñïåêòðà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ãðàôà, ðàñïîëîæåíèå ëèíèéÑòîêñà òàêîå, êàê íà ðèñ.2.Ñëó÷àé(2): Åñëè òî÷êà ñïåêòðà íàõîäèòñÿ íà ëèíèè(3)(ðèñ.1), òî ëèíèè Ñòîêñàðàñïîëîæåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.Ñëó÷àé(3): Åñëè òî÷êà ñïåêòðà íàõîäèòñÿ íà ëèíèè (2), òî ëèíèè Ñòîêñà ðàñïîëîæåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.Ñëó÷àé(4): Åñëè òî÷êà ñïåêòðà íàõîäèòñÿ íà êðèâîé (1), òî ëèíèè Ñòîêñà ðàñïîëîæåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.

5.8Ðèñ. 1: Ðàñïîëîæåíèå ñïåêòðàÐèñ. 2: Ëèíèè Ñòîêñà 1Ðèñ. 3: Ëèíèè Ñòîêñà 29Ðèñ. 4: Ëèíèè Ñòîêñà 3Ðèñ. 5: Ëèíèè Ñòîêñà 4Ãëàâà 3.Òðåòüÿ ãëàâà äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû ïîñâÿùåíà îïèñàíèþ ñïåêòðà îïåðàòîðà D íàïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. ðàçäåëå 3.1 îïåðàòîð Ëàïëàñà-Áåëüòðàìè çàïèñàí äëÿ ñëó÷àÿ ïîâåðõíîñòè, ïîëó÷åííîé âðàùåíèåì ãðàôèêà ôóíêöèè x = f (z) âîêðóã îñè z :1 X ∂ ij √ ∂g gw=∆w = √g i,j ∂ui∂ujf∂ 11 √ ∂1∂ 22 √ ∂1gg ω+ pgg ω,22∂z∂ϕfz + 1 ∂zf fz + 1 ∂ϕpçäåñü g = f 2 (fz2 + 1).Óðàâíåíèå :²2 ∆ω + (υ, ∇)ω = λω10ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó:Ã!p−12 + 1 − f f f (f 2 + 1) 2ffzz zz zz²2 ψ 00 (z) +ψ 0 (z)12f (fz + 1) 2µ+¶²m2 (fz2 + 1)2+ (imz − λ)(fz + 1) ψ(z) = 0,f2ãäå ω = exp(imϕ)ψ(z), a(z) = z ,ϕóãîë âðàùåíèÿ. ðàçäåëå 3.2 àñèìïòîòèêà ñïåêòðà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ îïèñàíà ïîñðåäñòâîìñëåäóþùèõ òåîðåì:Òåîðåìà 4.