Диссертация (Спиновые и поляризационные эффекты в квантовых системах многих взаимодействующих частиц), страница 4

Òàêàÿ ñèñòåìà ðàçâèâàåòñÿ, ïîðîæäàÿ áûñòðûå ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû è ïðî÷íóþ õîëîäíóþ êâàçè-íåéòðàëüíóþ ïëàçìó ýëåêòðîíîâe− è èîíîâ îêñèäà àçîòà N O+ . Ïëàçìà, ñîñòîÿùàÿ èç ìîëåêóë, îòëè÷àåòñÿîò àòîìíîé ïðåæäå âñåãî â ñèëó ñâîåé ïëîòíîñòè è òåì, ÷òî å¼ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííàÿ êîìïîíåíòà ñîñòîèò èç ìîëåêóëÿðíûõ êàòèîíîâ. Ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî íàëè÷èå äèïîëüíîãî ìîìåíòà ó êàòèîíà îêñèäà àçîòà äîëæíîïðèâîäèòü íå òîëüêî ê êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèÿì ìåæäó çàðÿæåííûìèêîìïîíåíòàìè ïëàçìû, íî è ê äèïîëü-äèïîëüíûì âçàèìîäåéñòâèÿì ìåæäó ñàìèìè êàòèîíàìè, äèïîëüíûå ìîìåíòû êîòîðûõ äîëæíû èñïûòûâàòüôëóêòóàöèè ïðè ïîïàäåíèè òàêîé ñðåäû âî âíåøíåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.Äèïîëü-äèïîëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, òåì ñàìûì, ìîãóò îêàçûâàòü âëèÿíèåíà ïðîöåññû ðåêîìáèíàöèè ýòèõ êàòèîíîâ ñ ýëåêòðîíàìè, îáðàçóþùåé íåéòðàëüíûå ìîëåêóëû, à òàê æå èãðàòü ðîëü â ïåðåðàñïðåäåëåíèè ïëîòíîñòèýíåðãèè è ïëîòíîñòè ÷àñòèö, âëèÿÿ íà ôîðìèðîâàíèå ïëàçìû Ðèäáåðãà èýâîëþöèþ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî âîçìóùåíèÿ.

Òåîðåòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ðàçâèòàÿ â äàííîé ðàáîòå è ïðåäîñòàâëÿþùàÿ âîçìîæíîñòü îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñ ó÷àñòèåì ïîëÿðèçàöèè, ïîçâîëÿåòèçó÷àòü âîëíîâûå ñâîéñòâà Ðèäáåðãîâñêîé ïëàçìû, èññëåäóåìîé, â îñíîâíîì, ýêñïåðèìåíòàëüíî.22Ãëàâà 2Êâàíòîâàÿ ãèäðîäèíàìèêà ñèñòåììíîãèõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ñýëåêòðè÷åñêîé äèïîëüíîéïîëÿðèçàöèåé2.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÏðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ ïëîòíîñòè çàðÿäà, ïëîòíîñòèòîêà, ïëîòíîñòè ýíåðãèè, ïîëÿðèçàöèè è ïîòîêà ïîëÿðèçàöèè ÷àñòèö ñ ñîáñòâåííûìè ýëåêòðè÷åñêèìè äèïîëüíûìè ìîìåíòàìè òðåáóåò äëÿ ñâîåãî îïèñàíèÿ óðàâíåíèå áàëàíñà èìïóëüñà, áàëàíñà ýíåðãèè, äèíàìèêè ïîëÿðèçàöèè è ïîòîêà ïîëÿðèçàöèè, ó÷èòûâàþùèå ìíîãî÷àñòè÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ,à èìåííî êóëîíîâñêèå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó çàðÿäàìè, äèïîëü-äèïîëüíûåâçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äèïîëÿìè è äåéñòâèå ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî çàðÿäàìèíà äèïîëü, à òàê æå ïîëÿ äèïîëÿ íà çàðÿä.

Êâàíòîâàÿ ãèäðîäèíàìèêà áàçèðóåòñÿ íà óðàâíåíèÿõ ïëîòíîñòè ìàññû, èìïóëüñà è ýíåðãèè, íå ó÷èòûâàþùèõ âëèÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè [92], [93], [94].  êâàíòîâîé ãèäðîäèíàìèêå÷àñòèö ñ ýëåêòðè÷åñêèìè äèïîëüíûìè ìîìåíòàìè äàííûå óðàâíåíèÿ äîëæíû áûòü ìîäèôèöèðîâàíû è ê íèì, äëÿ çàìûêàíèÿ ñèñòåìû, íåîáõîäèìîäîáàâèòü óðàâíåíèå áàëàíñà ïîëÿðèçàöèè (óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîä23íûõ) è óðàâíåíèå ïîòîêà ïîëÿðèçàöèè, à òàê æå óðàâíåíèÿ ïîëÿ, ó÷èòûâàþùèå êîëëåêòèâíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ñâÿçàííîå ñ íàëè÷èåì ó ÷àñòèö äèïîëåé. Èñïîëüçóÿ ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò êâàíòîâîé ãèäðîäèíàìèêè, ìûñòàâèì ñâîåé öåëüþ ïîëó÷åíèå çàìêíóòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, ïîçâîëÿþùåé îïèñàòü ñâîéñòâà ïîâåäåíèÿ ñèñòåì ñ êóëîíîâñêèì, äèïîëü-äèïîëüíûìè çàðÿä-äèïîëüíûì âçàèìîäåéñòâèÿìè, à òàê æå ðàññìîòðåòü, íà îñíîâå ïîëó÷åííîé ìîäåëè, ñèñòåìû çàðÿæåííûõ è íåéòðàëüíûõ ÷àñòèö, äâóìåðíûå èîäíîìåðíûå ñòðóêòóðû, â êîòîðûõ ïðèñóòñòâóþò ïîëÿðíûå èëè íåïîëÿðíûå÷àñòèöû.2.2Êîíòèíóàëüíàÿ ìîäåëüÐàññìîòðèì ñèñòåìû N âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, îáëàäàþùèõ ìàññàìè mj , çàðÿäàìè ej , ñîáñòâåííûìè äèïîëüíûìè ìîìåíòàìè dj è íàõîäÿùóþñÿ âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå.

Âûâîä óðàâíåíèé êâàíòîâîéãèäðîäèíàìèêè äëÿ ñèñòåìû çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñ ñîáñòâåííûì ýëåêòðè÷åñêèì äèïîëüíûì ìîìåíòîì dj , êîòîðûå â ïîñëåäñòâèè ìîãóò áûòü îáîáùåíûè äëÿ ãàçà íåéòðàëüíûõ ÷àñòèö, íà÷èíàåòñÿ ñ ââåäåíèÿ ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöNXD̂j2αĤ =(+ ej φj,ext − dαj Ej,ext)2mjj=1(2.1)NNX1 α β αβ X 1αdj dk Gjk +( ej ek Tjk + ej dαk Cjk),−22j6=k,kj6=k,kãäå ó÷òåíî, ÷òî Djα = −i~∂jα − ej Aαj,ext /c - åñòü êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿäëÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå, à φj,ext , Aαj,ext- ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîîòâåòñòâåííî. Òðåòüå ñëàãàåìîå â ãàìèëüòîíèàíå âçàèìîäåéñòâèé (2.1) îïèñûâàåò âêëàä ýíåðãèè äèïîëÿ âî âíåøíåì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ÷åòâ¼ðòîåñëàãàåìîå îïèñûâàåò äåéñòâèå âíóòðåííèõ äèïîëüíûõ ïîëåé íà äèïîëè, ïÿ24òîå ñëàãàåìîå îòðàæàåò âêëàä ýíåðãèè êóëîíîâñêèõ âçàèìîäåéñòâèé, à øåñòîå ñëàãàåìîå õàðàêòåðèçóåò äåéñòâèå ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî çàðÿäàìè íà äèïîëü è ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî äèïîëÿìè íà çàðÿä.

Òàê æå â ãàìèëüòîíèàíå âçàèìîäåéñòâèé (2.1) ââåäåíû ôóíêöèè Ãðèíà êóëîíîâñêîãî, äèïîëü-äèïîëüíîãîè çàðÿä-äèïîëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, çàâèñÿùèå îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè ñðåäû rjkTjk =1,rjkα βGαβjk = ∂j ∂k1,rjkαCjk= −∂jα1.rjk(2.2)Ïîñòðîåíèå ìåòîäà êâàíòîâîé ãèäðîäèíàìèêè ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíîé ñðåäû íà÷èíàåòñÿ ñ ââåäåíèÿ ïîëÿ êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö â îêðåñòíîñòèòî÷êè ~r ôèçè÷åñêîãî òð¼õìåðíîãî ïðîñòðàíñòâàZNXρ(r, t) =δ(r − rj )ψ + (R, t)ψ(R, t),dR(2.3)j=1ãäå dR =j=1 drj .QNÄèôôåðåíöèðóÿ ïî âðåìåíè âûðàæåíèå äëÿ êîíöåí-òðàöèè (2.3), è ïðèìåíÿÿ ìíîãî÷àñòè÷íîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà íà îñíîâåââåä¼ííîãî ãàìèëüòîíèàíà (2.1)i~∂ψ= Ĥψ,∂t(2.4)ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè∂ρ(r, t) + div j(r, t) = 0.∂t(2.5)Âîçíèêøèé â óðàâíåíèè íåïðåðûâíîñòè âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà èìååòâèäj (r, t) =αZdRNXδ(r − rj )j=11D̂j+α ψ + (R, t)ψ(R, t)2mj(2.6)!+ψ + (R, t)D̂jα ψ(R, t) .Äâèæåíèå ýëåìåíòîâ ñðåäû ïðîèñõîäèò ïîä äåéñòâèåì êàê êëàññè÷åñêîãî, òàê è êâàíòîâîãî ïîòåíöèàëà.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûäåëèòü êâàíòîâóþ25ñèëó è ïîòîêîâûå ñêîðîñòè â óðàâíåíèè áàëàíñà èìïóëüñà, íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ â ýêñïîíåíöèàëüíîì âèäå â îïðåäåëåíèå îñíîâíûõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí.Ñêîðîñòü j -îé ÷àñòèöû ñðåäû ~υj ìàññû mj , áåç ó÷¼òà ñïèíà, ìîæåòáûòü îïðåäåëåíà âûðàæåíèåì âèäàυjα =1 αej α∂j S −A ,mjmj c j(2.7)â îáùåì ñëó÷àå ñêîðîñòü (2.7) çàâèñèò îò êîîðäèíàò âñåõ ÷àñòèö ñèñòåìû R,ãäå R îáúåäèíÿåò 3N êîîðäèíàò N ÷àñòèö ñðåäû, à ôóíêöèÿ S , â âûðàæåíèèäëÿ ñêîðîñòè (2.7), ïðåäñòàâëÿåò ôàçó âîëíîâîé ôóíêöèèiψ(R, t) = a(R, t)e ~ S(R,t) .(2.8)Ïîëå ñêîðîñòåé ~υ - åñòü ñêîðîñòü ëîêàëüíîãî öåíòðà ìàññ è îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì âèäà~j(~r, t) = ρ(r, t)~υ (r, t),(2.9)çäåñü ó÷òåíà ñâÿçü ñêîðîñòè ïîòîêà æèäêîñòè ~υ è êâàíòîâîãî àíàëîãà òåïëîâîé ñêîðîñòè êàæäîé ÷àñòèöû ñðåäû uj~υ (r, t) = ~υj (r, t) − ~uj (r, t).2.3(2.10)Óðàâíåíèå áàëàíñà èìïóëüñàÎñíîâíûì óðàâíåíèåì êâàíòîâîé ãèäðîäèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåáàëàíñà èìïóëüñà, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé îáîáù¼ííîå óðàâíåíèå Ýéëåðà, âñëó÷àå áîëåå òîíêîãî ó÷¼òà âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó ÷àñòèöàìè.

Åãî ìîæíîïîëó÷èòü ïóò¼ì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè ïëîòíîñòè òîêà (2.6), àòàêæå èñïîëüçóÿ ìíîãî÷àñòè÷íîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà (2.4)∂t j α (r, t) +1ee αβγ βγα∂β Παβ (r, t) = ρ(r, t)Eext(r, t) + j (r, t)Bextmmmc26(2.11)1 βe2α β+ P (r, t)∂ Eext (r, t) −mme−m1+mZZdr ∂ Cβ (r, ~r )00αZdr ∂ T (r, r )00αNXδ(r − rj )δ(r − rk )ψ + ψ(R, t)0j6=kNXδ(r − rj )δ(r − rk )dβj ψ + (R, t)ψ(R, t)0j6=kdr ∂ G (r, r )0αγδ0NXδ(r − rj )δ(r − rk )dγj dδk ψ + (R, t)ψ(R, t),0j6=kãäåΠ (r, t) =αβZdRNXj=1δ(r − rj )1{ψ + (R, t)D̂jα D̂jβ ψ(R, t)4mj(2.12)+(D̂jα ψ)+ (R, t)D̂jβ ψ(R, t) + (D̂jα ψ)+ (R, t)D̂jβ ψ(R, t)+(D̂jβ ψ)+ (R, t)D̂jα ψ(R, t)}ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òåíçîð ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà.Âûäåëèì â òåíçîðå ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà ïîòîêîâóþ ñêîðîñòüäâèæåíèÿ ñðåäû, ðàçäåëèâ äâèæåíèå ñ òåïëîâûìè ñêîðîñòÿìè uj è äâèæåíèå ñ êîëëåêòèâíîé ñêîðîñòüþ v.

Òàêèì îáðàçîì, ïîäñòàâëÿÿ âîëíîâóþôóíêöèþ â ÿâíîì âèäå (2.8) â âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñàΠαβ (2.12), è, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàçëîæåíèå äëÿ ñêîðîñòè j -îé ÷àñòèöûñðåäû (2.10), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþΠαβ (r, t) = mρ(~r, t)υ α (r, t)υ β (r, t) + pαβ (r, t) + Λαβ (r, t),(2.13) ñîîòíîøåíèå (2.13) âõîäÿò ñëàãàåìûå â âèäå ãðàäèåíòà òåíçîðà êèíåòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ pαβ è êâàíòîâîãî ïîòåíöèàëà Áîìà Λαβ [92]. Òåíçîð êèíåòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ ñâÿçàí èñêëþ÷èòåëüíî ñ òåïëîâûì äâèæåíèåì, ñòðåìÿñü ê íóëþ ïðè uj → 0.

Åãî ìèêðîñêîïè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç òåïëîâûå ñêîðîñòè ÷àñòèö èìååò âèä [92]27p (r, t) =αβZdRNXδ(r − rj )a2 (R, t)mj uαj uβj ,(2.14)j=1Òåíçîð Λαβ , ïðîïîðöèîíàëüíûé êâàäðàòó ïîñòîÿííîé Ïëàíêà ~2 , êàêáûëî îòìå÷åíî âûøå, íîñèò èñêëþ÷èòåëüíî êâàíòîâûé õàðàêòåð, è ÿâëÿåòñÿêâàíòîâûì ïîòåíöèàëîì Áîìà [92]αβΛ (~r, t) = −ZdRNXδ(~r − ~rj )a2 (R, t)j=1~2 ∂ 2 ln a,2mj ∂xαj ∂xβj(2.15)âû÷èñëåííûì â ïðèáëèæåíèè íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèöΛαβ (r, t) = −!2~1∂ α ∂ β ρ(r, t) −(∂ α ρ(r, t))(∂ β ρ(r, t)) .4mρ(r, t)Äèâåðãåíöèÿ òåíçîðà Λαβ (r, t) ïðåäñòàâèìà â âèäåp22~∇ρ(r, t)∂β Λαβ (r, t) = −ρ(r, t)∂ α p.2mρ(r, t)(2.16)(2.17)Êîëëåêòèâíûå ïðîöåññû â ñðåäå ìîãóò áûòü èçó÷åíû â ïðèáëèæåíèè ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ, ïîñêîëüêó âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìèïðîèñõîäèò ÷åðåç äëèííî-äåéñòâóþùèå ñèëû.

 ýòîì ïðèáëèæåíèè, äâóõ÷àñòè÷íûå ôóíêöèè, âîçíèêøèå â óðàâíåíèè áàëàíñà èìïóëüñà (2.11), ìîãóòáûòü ïðåäñòàâëåíû ÷åðåç îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè, è ñèñòåìà êîíòèíóàëüíûõ óðàâíåíèé ïðèìåò âèä∂t ρ(r, t) + ∂β (ρ(r, t)υ β (r, t)) = 0,mρ(r, t)(∂t + υ β (r, t)∂β )υ α (r, t) + ∂β pαβ (r, t) + ∂β Λαβ (r, t)(2.18)(2.19)eβγα= eρ(r, t)Eext(r, t) + P β (r, t)∂ α Eext(r, t) + ρ(r, t)αβγ υ β (r, t)Bext(r, t)c28+P (r, t)∂βα−eρ(r, t)∂ α ∂βZdr G (r, r )Pγ (r , t) − e ρ(r, t)∂Zdr T (r, r )P β (r , t) + eP β (r, t)∂ α ∂β000βγ002α0Zdr T (r, r )ρ(r , t)0Z00dr T (r, r )ρ(r , t)000Àíàëèçèðóÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå áàëàíñà èìïóëüñà (2.19), ñëåäóåòîòìåòèòü, ÷òî ïåðâûå òðè ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âçàèìîäåéñòâèå çàðÿæåííîé ïîëÿðèçîâàííîé ÷àñòèöû ñ âíåøíèìýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì.

Ïåðâîå ñëàãàåìîå îòðàæàåò âëèÿíèå âíåøíåãîýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ïëîòíîñòü çàðÿäà, òðåòüå ñëàãàåìîå õàðàêòåðèçóåò íàëè÷èå ñèëû Ëîðåíöà èëè âëèÿíèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà äâèæóùèéñÿ çàðÿä. Âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.19) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåéñòâèå íåîäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ïëîòíîñòüäèïîëüíîãî ìîìåíòà. Îñòàëüíûå ñëàãàåìûå îïèñûâàþò ïîëå ñèë, äåéñòâóþùèõ â ñðåäå êàê ðåçóëüòàò âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó å¼ ÷àñòèöàìè, à èìåííî, âðåçóëüòàòå êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó çàðÿäàìè (ïÿòîå ñëàãàåìîåâ ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ), äåéñòâèÿ ïîëÿ çàðÿäîâ íà äèïîëü (ñåäüìîå ñëàãàåìîå) è ïîëÿ äèïîëåé íà çàðÿä (øåñòîå ñëàãàåìîå). ×åòâ¼ðòîå ñëàãàåìîåâ ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.19) îòðàæàåò âêëàä êîëëåêòèâíîãî ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ äèïîëåé, äåéñòâóþùåãî íà äèïîëü.2.4Óðàâíåíèå ýâîëþöèè ïîëÿðèçàöèè è ïîòîêà ïîëÿðèçàöèèÏîëó÷åííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ íåçàìêíóòîé, ïîñêîëüêó âíåé ïðèñóòñòâóåò ïîëå ïîëÿðèçàöèè P β ñðåäû, äëÿ êîòîðîãî òàê æå äîëæíîáûòü ïîëó÷åíî óðàâíåíèå ýâîëþöèè.