Связь параметров очага цунами с характеристиками землетрясения, страница 3

получена система уравнений (8)‒(10), которая может быть использована для описаниягенерации цунами с учѐтом сжимаемости воды.В разделе 2.4 обосновывается возможность независимого рассмотрениягравитационных и гидроакустических волн.8Волновое уравнение (8) представляет собой линейное уравнение. Следовательно,можно воспользоваться принципом суперпозиции и представить потенциал скороститечения в виде следующей суммы: F=FAC+FTS, где потенциал FAC будет описывать«быстрые» упругие колебания водного слоя, а потенциал FTS – «медленные»гравитационные волны.Упругие и гравитационные волны четко различаются по периодам [Левин, Носов,max2005]. Максимально возможный период для акустических волн составляет TAC 4H / c . Аминимальный период гравитационных волн, возбуждаемых движениями дна, составляетmax.

ИнымиTTSmin  H / g . В условиях планеты Земля всегда выполняется условие TTSmin  TACсловами, частотные диапазоны акустических и гравитационных волн в условиях нашейпланеты никогда не пересекаются. Вместе с линейностью уравнений это дает основаниепредположить, что задача распадается на две независимые: отдельную задачу длягравитационных волн и отдельную − для гидроакустических.Из-за существования частоты отсечки, гидроакустические волны, вызываемыеземлетрясением, не способны распространяться на мелководье и, следовательно, они немогут обеспечить дополнительного вклада в величину заплеска на берегу. Поэтому дляпрактических целей, таких как расчет высот заплеска цунами на побережье, эволюцияволн может быть описана в рамках теории несжимаемой жидкости.Продолжительность деформации дна (  PG1 ~ 4 c ,  PG 2 ~ 1.5 c ) является конечнойтолько для гидроакустических волн. Для гравитационных волн такая скоротечнаядеформация дна, несомненно, может рассматриваться как мгновенная.В третьей главе на основе модели равномерного распределения подвижки вдольпрямоугольной площадки разрыва рассматриваются общие зависимости, связывающиеосновные параметры очага цунами (амплитуда деформации дна, потенциальная энергияначального возвышения, вытесненный объем) с характеристиками землетрясения(моментная магнитуда и глубина).

С использованием полученных зависимостейоценивается доля энергии землетрясения, переходящая в энергию цунами,горизонтальный размер очага цунами, а также определяются параметры остаточныхгидродинамических полей (горизонтальное смещений частиц в геострофическом вихре,характерная скорость вихревого течения, энергия остаточного геострофического вихря).В разделе 3.1 описывается постановка задачи. На Рис. 1 представленарассматриваемая модель очага землетрясения. Задача рассматривается в прямоугольнойсистеме координат, начало которой расположено на поверхности упругого безграничногополупространства.

Ось Oz направлена вертикально вверх. Упругая среда занимает областьz  0 . Оси Ox и Oy лежат в горизонтальной плоскости, причем ось Ox направлена вдольдлинной стороны площадки разрыва.Для описания источника землетрясения требуется целый набор параметров:ширина W и длина L площадки разрыва, глубина залегания площадки d, вектор БюргерсаD, угол падения (Dip) δ, угол простирания (Strike) φ, угол между направлениемпростирания и направлением подвижки (Rake) θ, угол между вектором Бюргерcа иплоскостью разрыва γ. Кроме того, для вычисления деформаций дна, необходимо знатькоэффициенты Ламе  и  .9С целью сократить набор входных данных, использовались дополнительныесоотношения: определение сейсмического момента ( M 0   D LW [ H  м] , [Kanamori,2004]), эмпирические соотношения Канамори и Андерсона для параметров площадкиразрыва ( L / W  2, D / L  5 105 , [Kanamori, Anderson, 1975]) и связь междусейсмическим моментом и моментной магнитудой ( M w  Lg M 0 1.5  6.07 , [Kanamori,1977]).Используя указанные соотношения все геометрические характеристики очагаможно выразить через магнитуду землетрясения следующим образом:(11)Lg L[км]  0.5 M w  ALLgW[км]  0.5 M w  AW(12)Lg D[ м]  0.5 M w  AD(13)В зависимости от величины модуля сдвига среды , которая обычно изменяется вдиапазоне 3  12  1010 Па до глубины 600 км (Preliminary Reference Earth Model (PREM)коэффициенты в формулах (11)-(13) варьируются в пределах: AL  2.0  1.0, AW  2.3  0.1,AD  3.3  0.1 .Рис.

1. Модель очага землетрясения.D=(U1,U2,0) ‒ вектор Бюргерса, углы δ иθ, L ‒ длина площадки разрыва,W ‒ширина площадки разрыва, h ‒ глубинаверхней кромки площадки разрыва.Рис. 2. Пример расчѐта деформации дна.Расчѐтвыполненпризначенияхпараметров: Mw=9, δ=30⁰, θ=30⁰,h=30 км.В наших расчѐтах мы полагали, что вектор Бюргерса лежит строго в плоскостиразрыва, а, следовательно, этот вектор имеет только две ненулевые компонентыD  (U1,U 2 ,0) : U1  D cos и U 2  D sin  . Т.о. в формулах Окада в качестве входныхданных фигурируют следующие параметры: магнитуда Mw, глубина h и углы δ и θ. Витоге, число параметров, характеризующих очаг землетрясения, уменьшается до четырех.Отметим, что под глубиной очага мы будем понимать глубину верхней кромки площадкиразрыва, как показано на Рис.

1.Из множества возможных характеристик источника цунами, которые могут бытьоднозначно рассчитаны по данным о вертикальной деформации дна  ( x, y) (Рис.2), мысочли целесообразным рассчитывать следующий набор величин:101. разность амплитуды поднятия и опускания дна (амплитуда деформации дна)  Max[ ( x, y)]  Min[ ( x, y)] ;2. потенциальная энергия начального возвышенияgETS  2 ( x, y) d x d y ;2 3. объем вытесненной воды (абсолютное значение)V  ( x, y) d x d y ,(14)(15)(16)где   1000 кг / м3 – плотность воды, g  9.8 м / с 2 – ускорение свободного падения.Интегрирование в формулах (15) и (16) выполнялось по всей области, где наблюдаласьзаметная деформация дна.Все три характеристики, которые мы выбрали для анализа, однозначноопределяются по деформации дна.

Кроме того, энергия начального возвышения ивытесненный в источнике объѐм воды для задачи распространения цунами являютсяинтегралами движения.В разделе 3.2 представлены результаты численных экспериментов. Использовалсяметод Монте-Карло. Магнитуда Mw и глубина h очага землетрясения, а также углы δ и θварьировались случайным образом статистически равномерно в следующих диапазонах:7  M w  9 , 0  h[km]  300 , 0    90,  90    90 .

В общей сложности быловыполнено 30000 численных экспериментов.По результатам численных экспериментов были получены максимальные значениядля амплитуды деформации дна, энергии начального возвышения и вытесненного объема:(17)Lgmax [ м]  0.5 M w  3.4;LgЕmax [ Дж]  2.0 M w  1.7;(18)LgVmax [ м3 ]  1.5 M w  1.8.(19)В разделе 3.3 изучается связь параметров очага цунами не только с магнитудой, нои с глубиной землетрясения. Для получения зависимостей параметров очага цунами нетолько от магнитуды, но и от глубины и построения двухпараметрических зависимостейбыли проведены ещѐ две серии численных экспериментов, в которых фиксировалисьглубины сейсмического источника (1, 10, 30, 50, 100, 150 и 200 км) и значения моментноймагнитуды (7, 7.5, 8, 8.5, 9).

Случайным образом (статистически равномерно) на этот развыбирались только значения углов из диапазонов: 0    90,  90    90 . Длякаждой пары значений было проведено 5000 численных экспериментов.В итоге были получены синтетические распределения параметров источникацунами, которые представлены на Рис. 3. На основе полученных распределенийвычислялись максимальные, минимальные и наиболее вероятные значения параметровочага цунами, по которым строились аппроксимации следующего вида:i max j maxLg Q    ij M W hi ,j(20)i 0 j 0где величина Q искомый параметр очага цунами (∆η, E или V).11АСВРис. 3. Распределение значений параметров очага цунами для различных глубин (Н=1 км,Н=10 км, Н=100 км) источника землетрясения: А ‒ амплитуда деформации дна,В ‒ потенциальная энергия начального возвышения, С ‒ вытесненный объѐм.Удовлетворительное согласие обеспечивает параметризация полиномами 2-йстепени (imax=jmax=2) и выше.

Однако, параметризации высокого порядка неудобны впрактической реализации, поэтому мы решили остановить свой выбор на полиномах 2-йстепени. В этом случае матрицы коэффициентов αij имеют следующий вид (i –вертикальный индекс, j– горизонтальный):Lg max [ м]Lg min [ м]6654 8.29 10 4.91 10 1.61 10 4 7.76 10 4  9.3 104.4 10 (21)0.039 0.2 0.0297 0.15   1.83 103  1.4 103  0.06  0.0561.48 7.41 1.47 7.44  3.59 10  0.001  0.066 7.7 10  1.8 103  0.05LgEmax [ Дж] 7.2 105 3.6 10 4 0.023 0.13 3.05 6.29 Lgmp [ м]1.56 10  0.034  0.0345LgEmin [ Дж] 3.36 103 1.22 103 0.062 0.3 2.58 4.25 (22)LgEmp [ Дж]1.56 107.76 10  2.75 10 4 1.21 103 (23) 0.2 0.063 0.3   0.0034  0.0341.23 6.35 2.58 4.25 В силу того, что вытесненный объем не зависит от глубины, соответствующаязависимость для объема не строилась.На Рис.

4 представлены результаты вычислений для выбранной фиксированнойглубины (10 км) и полученные зависимости для максимальных (max), минимальных (min)и наиболее вероятных (mp) значений. Углы δ и θ варьировались в диапазонах:0    90,  90    90 . Цвет точки выбирался случайным образом.В разделе 3.4. на основе полученных п.3.2 зависимостей параметров очага цунамиот моментной магнитуды получены оценки для доли энергии землетрясения, переходящейк волнам цунами, горизонтального размера очага цунами и параметров остаточныхгидродинамических полей.Для определения энергии землетрясения использовалась формула Канамори[Kanamori, 1972] LgEEQ  1.5M w  4.8 .