Диссертация (Световые пули и спектр фемтосекундного лазерного излучения при филаментации в плавленом кварце), страница 7

При выводе этого уравнения принято, что v g  c , то естьили 1 .k 0 0 00ОператорiTˆ  1 0Tˆ определяется следующим образом:.(2.2)Этот оператор появляется при удержании первой производной по времени при переходек бегущей с групповой скоростью системе координат и позволяет воспроизвести волновуюнестационарность при самомодуляции импульса, которая проявляется в увеличении крутизнызаднего фронта импульса и формировании ударной волны огибающей [7,152]. В результатетакого приближения существенно расширяется частотный диапазон, воспроизводимый в методемедленно меняющейся амплитуды, что необходимо для адекватного описания уширенияспектра импульса при филаментации.

Таким образом, уравнение (2.1) применимо длямоделирования распространения в среде с кубической нелинейностью импульсного излучения,ширина спектра которого сравнима с несущей частотой, а длительность – с периодомоптических осцилляций [151,152].Приращение показателя преломления nk , описывающее керровскую нелинейность,представляется в виде свертки:(2.3)nk (r , , z )  n2 (1  g ) I (r , , z )  g  h(  ' ) I (r , ' , z )d' .cn2где I  0 A – интенсивность светового поля, n 0 – показатель преломления среды (для8плавленогокварцаn0  1.45 ),n2 – нелинейныйпоказательпреломленияприкавзистационарном излучении, g – парциальный вклад рамановского отклика. Для плавленого27кварца n2  3.54 10 16 см 2 Вт [149,172–174] g  0.18 . Функция запаздывающего нелинейногоотклика имеет вид:12   22(2.4)exp   1 sin(  2 ) , где 1  32 fs ,  2  12.5 fs .12  2Так как характерные времена 1 и  2 близки к длительности рассматриваемыхh(t ) импульсов, необходимо учитывать запаздывающую часть керровской нелинейности.

Врасчетах, проведенных в [102], показано, что при сокращении длительности импульса довеличин, меньших, чем характерные времена рамановского отклика, влияние запаздывающейчасти керровской нелинейности на пространственно-временную трансформацию импульса приего распространении в нелинейной среде значительно уменьшается, так как парциальный вкладg - невелик.Дефокусировка и поглощение светового поля в плазме описываются плазменнойнелинейностью Δnp и сечением тормозного поглощения  [175,176]:n p (r , t )  4e 2 N e (r , t ),2n0 02 mek 0 4e 2  c,n02 02 me 0(2.5)(2.6)где  c – частота столкновений "электрон-нейтрал", me , e – масса и заряд электрона. Дляплавленого кварца  c ~ 1014 s 1 [4].

Концентрация свободных электронов N e подчиняетсякинетическому уравнению:N e2 W ( I )N 0  N e    i N e  N e ,tгде N 0 — концентрация нейтральных атомов,(2.7) i — частота лавинной ионизации, — частота электронной рекомбинации.Протекание процесса полевой ионизации, скорость которого W (I ) , зависит отсоотношения потенциала ионизации атома и кинетической энергии, приобретаемой связаннымэлектроном в процессе взаимодействия с электромагнитной волной. В [177] введенадиабатический параметр Келдыша, характеризующий данное соотношение:0 2meU ieA,(2.8)28где U i – ширина запрещенной зоны, равная для плавленого кварца 9 эВ. При относительнослабых полях   1 имеет место приближение многофотонного поглощения, вероятностькоторого экспоненциально убывает с ростом числа фотонов на частоте  0 , необходимого длявысвобождения электрона из атома с потенциалом ионизации U i ., то есть с увеличениемпорядка многофотонности процесса ионизации K  U i 0  1 , где  — взятие целой части.При сильных полях   1 процесс полевой ионизации переходит в туннельный режим, искорость ионизации W ( I ) перестает зависеть от частоты падающего поля.

Для типичныхусловий филаментации лазерных импульсов на длине волны оптического диапазона вконденсированных средах интенсивность излучения I ~ 1013 Вт/см2 и параметр Келдыша  ~ 1 ,что соответствует переходу от многофотонного к туннельному механизму ионизации. Длярасчета скорости ионизации WE ( A ) в поле амплитуды A использована формула Келдыша[177]:322    WE ( A )  0  0  Q( , 0 ) exp    x  1 ,9    где  2,1 2Q (  , 0 ) x1 ,1 2  exp( n) ( (n  2) ) ,2 K ( ) n  0K (  )  E ( )2,, E ( )2 K ( ) E ( )2 U i E ( ),   x  1  1. 0 z( z )   e y2z2dy .(2.9)(2.10)(2.11)(2.12)(2.13)(2.14)0Здесь K и E — полные эллиптические интегралы первого и второго рода.

По формулам2.9 – 2.14 в настоящей работе рассчитываются скорости полевой ионизации в плавленом кварце.Для конденсированных сред необходимо учитывать вклад лавинной ионизации, частотакоторой рассчитывается по следующей формуле :292e2 A1i cU i 2m(0 2   c 2 )(2.15)Для развития электронной лавины необходимо, чтобы длительность  0 лазерного импульсазначительно превышала время развития каждого электронного поколения 0  1  i . Привоздействиилазерногоизлучения на длинах волн800 – 2300 нмс интенсивностьюI  51013 Вт / см 2 на плавленый кварц с потенциалом ионизации U i  9 эВ время  i  1  iсоставляет от 14 до 3 фс, соответственно, что приводит к существенному росту концентрациисвободных электронов на временном масштабе нескольких десятков фемтосекунд.

Поэтому придлительности импульсов 35 – 90 фс учет лавинной ионизации необходим. Время электроннойрекомбинации 1  составляет несколько сотен фемтосекунд в рассматриваемой среде, поэтомув численных расчетах последний член уравнения (2.7) не учитывается.Коэффициент ослабления, вызванный полевой ионизацией среды, равен:(r , ) KW ( I )N 0  N e (r , ) I(2.16)2.2 ДИСПЕРСИЯ ПЛАВЛЕНОГО КВАРЦАУравнение (2.1) относительно медленно меняющейся комплексной амплитуды наряду сдифракцией и нелинейно-оптическим взаимодействием фемтосекундного излучения со средой вполной мере учитывает материальную дисперсию в кварце, которая вдали от линий поглощенияописывается формулой Селмейера [178]:3n()  1   Bmm12m,2m  2 где(2.17)16 1B1  0.6962, 1  2.75  10 cB2  0.4079, 2  1.62  1016 c 1B3  0.8975, 3  1.90  1014 c 1Дисперсионная зависимостьn() , соответствующая формуле (2.17), приведена нарис.

2.1. Для учета материальной дисперсии согласно (2.17) удобно перейти в спектральное1~A(r , , z )e it dt ,     0 . Во втором слагаемомпредставление огибающей A(r , , z ) 2  правой части (2.1) дисперсионное соотношение (2.17) представлено зависимостью k () .30На рис. 2.2 представлена в зависимости от длины волны величина k 2  2k2,0характеризующая дисперсию групповой скорости. В зависимости k 2 () можно выделить триобласти длин волн:200 нм    1000 нм — область нормальной дисперсии групповой скорости (k2  0) ;1000 нм    1500 нм — область нулевой дисперсии групповой скорости (k2 ~ 0) ;  1500 нм — область аномальной дисперсии групповой скорости (k2  0) .Рис. 2.1 Показатель преломления n(λ) плавленогокварца в широкой полосе длин волн, рассчитанныйв соответствии с формулой Селмейера [178].Рис. 2.2 Параметрхарактеризующийk2 ,дисперсию групповой скорости в плавленомкварце [178].2.3 МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯПри исследовании конической эмиссии и генерации суперконтинуума в режиме одногофиламента возможно рассматривать аксиально-симметричные световые поля.

Переход откоординат ( x, y, z, ) и соответственно задачи размерности 3D+1 к аксиально-симметричнымцилиндрическим координатам (r , z, ) и следовательно, задачи 2D+1 позволяет повыситьпространственное и временное разрешения, что необходимо для адекватного описаниятрансформации импульса. При этом значительно сокращается объем вычислительных затрат.Численное исследование явления филаментации фемтосекундного лазерного излучениявызываетзначительныетрудности,которыеобусловленыбольшимдиапазономпространственных и временных масштабов изменения комплексной амплитуды светового поля.В процессе самовоздействия лазерного импульса в нелинейной среде характеристическиймасштаб изменения светового поля по радиальной (r ) и временной () координатам можетуменьшиться на несколько порядков, что требует использования расчетных сеток высокого31разрешения.