Регуляризация и перенормировка давления Казимира, страница 3

В частности, использовавшийся в работе конкретный выбор альтернативной сингулярной части не является единственно возможным, и скоростьсходимости борновского ряда, в принципе, может быть увеличена. В-третьих,метод позволяет совершать оценку искомого решения при применении ужепервого порядка альтернативного ряда. В-четвертых, вычисление повторныхинтегралов в рамках данного подхода технически представляет более простуюзадачу, чем, например, составление и решение системы линейных уравненийдостаточно больших размеров при использовании других методов.Таким образом, предложенный подход к построению решения в виде ряда борновского типа позволяет значительно повысить точность ответапо сравнению с «разложением по числу рассеяний», ограничиваясь при этомлишь младшими порядками разложения.13В главе 4 предлагается метод приближенного вычисления функцииГрина и ее производных, основанный на методе граничных элементов и позволяющий сократить размеры получаемой системы линейных уравнений с сохранением требуемой точности решения.

Это приводит к уменьшению затратвычислительных ресурсов для решения задачи.Регулярная часть ищется в виде потенциала простого слояIS (r) (x, y) = G0 (x, z)ρ(z, y)dlz ,(9)Γгде Γ – граница рассматриваемой области, G0 (x, y) – свободная функция Грина уравнения Гельмгольца, а ρ(z, y) – ограниченная непрерывная функцияплотности, подлежащая определению. После явного выделения сингулярнойчасти, граничные значения регулярной известны и определяются условием (5),то есть для x ∈ Γ равенство (9) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода относительно неизвестной функции ρ. Согласно основной идее метода граничных элементов замкнутая кривая Γ разбивается на N достаточно малых элементов точками (узлами) z n , n = 0 .

. . N ,zN = z0 = y.Для задания функции плотности ρ(z, y) на элементе z n+i z n+i+1 вместотрадиционных сплайнов в настоящей работе предлагается использовать интерполяцию по значениям ρk = ρ(z k , y) этой функции в узловых точках z k ,k = n, . . . , n+2i+1, 0 ≤ n ≤ N −2i−1. Как показали расчеты, для требуемойточности решения разумный баланс между общим количеством узлов и затрачиваемом на задачу временем достигается при использовании полиномиальнойинтерполяции по четырем точкам. В результате регулярная часть представимав формеS (r) (x, y) =N−1∑n=0∫ρn ·G0 (x, z)Wn (z, y)dlz .(10)∆lnЗдесь для суммарного коэффициента при ρn , являющегося полиномом третьего порядка, введено обозначение Wn (z, y) , а ∆ln – соответствующий участоккривой Γ, состоящий из одного или нескольких примыкающих друг к другуэлементов.

При получении формулы (10) учитывалось, что полиномы Лагранжа линейно зависят от узловых значений интерполируемой функции.14Записывая равенство (10) для узловых точек xn = z n − αnz n , где nz n нормаль к границе Γ в точке z n , α → 0, можно получить систему N линейныхуравнений относительно ρn . Найденные в результате решения этой системызначения ρn позволяют вычислять регулярную часть (10) в любой точке x ∈ D̄.Кроме того, повышения вычислительной эффективности метода можнодобиться, если при составлении системы линейных уравнений записать граничные условия не только в узловых точках xn , но и в дополнительных точкахвнутри элементов.

Полученная таким образом система уравнений оказываетсяпереопределенной и ее решения могут быть найдены в результате минимизации соответствующей невязки. Такая модификация позволяет сократить времясчета в 1.5 − 2 раза.Для оценки точности метода поверхностных зарядов в главе 4 рассмотрена решаемая точно задача поиска распределения плотности ρ как функциивзаимного расположения точек z и y на границе круга радиуса r. Вычисления показывают, что, во-первых, найденное с помощью описываемого методараспределение зарядов является гладким даже без введения регуляризующихфункционалов, а, во-вторых, при сравнение точного ответа с приближеннымвидно, что метод дает 8-10 верных знаков в зависимости от степени удаленности точки z от y . С помощью предложенного метода также вычислено перенормированное давление для «овала» и «квадрата».

Результаты для «овала»совпадают с полученными в главе 2 результатами с точностью 6-8 знаков.Также обсуждаемый вычислительный алгоритм применялся к расчетусилы казимировского взаимодействия между двумя разделенными телами. Приэтом был использован подход, предложенный впервые в работе Дзялошинскго,Лифшица, Питаевского для вычисления ван-дер-ваальсовых сил между макроскопическими телами. В рамках этого подхода сила взаимодействия вычисляется как поток импульса квантовой системы через произвольную замкнутуюповерхность Σ, охватывающую одно из двух телIiF = ⟨0|T ij (ξ)nj |0⟩dσ.(11)ΣЗдесь dσ – элемент поверхности Σ, n – нормаль к этой поверхности в точкеξ, T ij – пространственные компоненты тензора энергии-импульса.

При этом15предполагается, что поверхность Σ не имеет общих точек с этими телами.Перенормировка в этом случае тривиальна и сводится к нормировке функцииГрина соответствующей краевой задачи на свободную функцию Грина.С помощью описанного выше подхода произведено исследование зависимости силы Казимира, действующей на цилиндрический стержень бесконечной длины, помещенный внутрь цилиндрической ямы, от расстояния h междудном ямы и нижним торцом стержня. Задача рассматривалась для скалярногополя, удовлетворяющего нулевым граничным условиям, в двумерном и трехмерном случаях. На Рис. 2 приведены результаты для следующих геометрических характеристик систем: радиус дна ямы rJ = 1, ее глубина dJ = 4rJ ,радиус основания цилиндра rc = 0.75rJ .3.51.253.01.002.50.75F · rJ2F · rJ20.502.01.51.00.250.500123456123456h/rJh/rJ(a)(b)Рис.

2: Зависимость от h/rJ силы Казимира, действующей на размещенный в яме стержень, в двумерном (a) и трехмерном случаях (b). Штриховая линия отвечает энергетическойоценке для предельного случая dJ − h → ∞, h → ∞.Согласно полученным данным сила носит характер притяжения. Крометого существует диапазон расстояний между взаимодействующими объектами,в пределах которого она сохраняет почти постоянное значение (Рис. 2).

Очевидно, эта картина соответствует предельному случаю бесконечно глубокойямы, в которую помещен стержень на бесконечном расстоянии от ее дна. Длясилы, соответствующей этому предельному случаю, была произведена энергетическая оценка в пренебрежении краевыми эффектами, которая хорошосогласуется с полученными данными при решении задачи без упрощающихпредположений. Это означает, что для таких расстояний между рассматриваемыми телами краевые эффекты незначительны.

С увеличением расстояниясила резко убывает практически до нуля, что соответствует извлеченному из16ямы стержню.Кроме того были вычислены нормальная и тангенциальная составляющие силы для двух идеально проводящих компонент реечной передачи в случае электромагнитного эффекта Казимира. Расчеты выполнялись для нескольких вариантов профиля реек. При этом изменения формы реек производилисьв достаточно малой окрестности ребер гребенки, так что «глобальные» геометрические свойства системы были сохранены. В настоящей работе рассматривались следующие геометрии – прямоугольная гребенка, ее сглаженный вариант(все прямые углы были заменены участками цилиндра соответствующего радиуса), и случай плоского среза (все углы π/2 исходной прямоугольной гребенкизаменялись парами углов 3π/4).

Для контроля точности используемого метода для рассматриваемой задачи, во-первых, проверялось согласие найденногорешения в предельном случае плоскопараллельных пластин с точным ответом, а во-вторых, отслеживалось изменение ответа при увеличении плотностиузловых точек.1.3 · 10−22.0 · 10−31.5 · 10−31.2 · 10−21.0 · 10−30.5 · 10−31.1 · 10−2f n · b4f τ · b41.0 · 1000.4−20.81.21.62−0.5 · 10−3−1.0 · 10−30.9 · 10−2−1.5 · 10−30.8 · 10−200.40.81.21.6−2.0 · 10−32s/bs/b(a)(b)Рис. 3: Зависимость плотности нормальной (a) и тангенциальной (b) компонент силы отсмещения s.

Прямоугольный случай – сплошная линия, плоский срез – штриховая линия,сглаженный случай – пунктирная линия.Представленные на Рис. 3 результаты отвечают следующим геометрическим характеристикам системы: ширина и расстояние между выступами каждой рейки b, высота выступа h = b/2, расстояние между вершинами выступовb = 1. Как показали расчеты, результирующая тангенциальная сила существенно зависит от формы реек. Даже небольшие изменения профиля взаимодействующих реек приводят к значительным изменениям тангенциальной компо-17ненты (Рис. 3(b)).

Например, при касательном смещении реек в четверть периода относительно их симметричного расположения для сглаженной геометриипроисходит ослабление тангенциальной силы почти на порядок по сравнениюс прямоугольным случаем, даже при малом значении радиуса кривизны ребра.При этом нормальная составляющая силы при таких незначительных модификациях формы реек остается почти неизменной (Рис. 3(a)).На примере рассмотренных в данной главе задач было установлено, чтопредлагаемый метод существенно снижает требуемое для расчетов машинноевремя.В заключении сформулированы основные результаты диссертации.Обсуждается практическая ценность рассмотренных в работе задач, приводятся возможные области применимости разработанных методов.ЗаключениеОсновные результаты, выносимые на защиту:1.

Предложен способ перенормировки граничного давления Казимира с помощью вспомогательных областей. Показано, что перенормированноетаким образом давление имеет разумную с физической точки зренияасимптотику при увеличении массы поля.2. Построено решение для функции Грина в виде ряда борновского типа.Исследована сходимость этого ряда и установлен параметр, характеризующий скорость сходимости. Такой подход дает возможность получитьрешение задачи с удовлетворительной точностью при задействованииминимального количества вычислительных ресурсов.3.

Разработана схема численного расчета функции Грина, представляющаясобой модификацию метода граничных элементов. Предложенные модификации позволяют снизить размеры получаемой в итоге системы линейных уравнений с сохранением желаемой точности решения.4. Исследована зависимость нормальной и тангенциальной силы Казимира от геометрии взаимодействующих поверхностей в задаче о реечной18передаче для различных значений касательного смещения реек.