Регуляризация и перенормировка давления Казимира, страница 2

В результате задача регуляризациии перенормировки сводится не только к выделению расходящейся части в соответствующем интеграле по κ, как в одномерном случае, но и к разделениюфункции Грина и ее производных на регулярные и сингулярные части. Такоеразбиение, разумеется, не является однозначным, и неопределенность снимается после выбора конкретного способа пренормировки.В главе 2 произведено обобщение одномерного способа перенормировки с помощью бесконечно протяженной системы на случай многомерных задач. В качестве точки нормировки для давления pD (ξ) в точке ξ на границеосновной области D предлагается выбрать давление pD′ (ξ) на границе вспомогательной области D′ , причем радиусы кривизны границ областей D и D′ вточке ξ должны совпадать. Последнее требование позволяет устранить поверхностную расходимость, в результате чего разность pD (ξ) − pD′ (ξ) оказывается8конечной.В общем случае такая перенормировочная схема определяет давление,совпадающее с физическим только с точностью до конечного выражения, зависящего от параметров вспомогательной системы.

Использование различныхвспомогательных областей приведет, вообще говоря, к отличающимся значениям конечного давления. Тем не менее такой способ перенормировки позволяетполучить зависимость физического давления от геометрических характеристикосновной области, причем в некоторых случаях конкретный выбор вспомогательной области отвечает определенной экспериментальной схеме.Вспомогательную систему предпочтительнее выбирать таким образом,чтобы область ее определения неограниченно увеличивалась по всем пространственным направлениям, поскольку в противном случае, остается ненулевая плотность энергии, связанная с конечным расстоянием между границамиэтой вспомогательной системы.Далее предложенная схема применяется при вычислении значений перенормированного давления для семейства областей, полученных из круга радиуса r = 1 и содержащих его в качестве предельного случая. Первое семейство представляет собой области DL1 , далее называемые «овалами», полученные при раздвижении двух полукругов на расстояние L.

Перенормировка при1этом производится при использовании «овала» D∞с бесконечной сторонойL → ∞. Второе семейство областей DL2 , называемых «квадратами», получается после раздвижения всех четвертей круга на расстояние L от центра, авспомогательная область для этого случая соответствует бесконечному «квад2рату» D∞. В силу наложенных граничные условия Дирихле, давление (3) выра-жается через поверхностную функцию Грина S(x, y) = (n, ∇y G(x, y))| y∈Γ .Решение для нее было построено в виде разложения по собственным функциям оператора Лапласа для соответствующих областей, образующих «овал».Такое разложение позволяет вычислять значения искомой функции с напередзадаваемой точностью. С помощью найденной поверхностной функции Гринабыло вычислено перенормированное давление для «овала».

С истинным физическим давлением полученный результат совпадает только с точностью доконечного выражения, зависящего от радиуса круга r, что является следстви-9ем конечности расстояния между параллельными стенками вспомогательного1«овала» D∞. Однако разность перенормированных давлений для различныхзначений L является наблюдаемой величиной.Предлагаемая процедура перенормировки может быть применена и кболее реалистичным трехмерным системам, в том числе и в случае полей сненулевыми спинами.

В частности такая схема может позволить решить проблему диэлектрического шара, и при этом в отличие от традиционных подходов без наложения специальных условий на электрические и магнитные проницаемости шара и внешней среды. Получаемые в результате такой процедуры данные представляют собой лишь зависимость давления от геометрическихпараметров основной системы, но именно подобная зависимость и исследуется в реальных экспериментах.В третьей главе предлагается способ построения функции Грина и еепроизводных с помощью ряда борновского типа.

Решение для функции u(x),заданной на границе Γ и удовлетворяющей однородному уравнению Гельмгольца внутри области определения, можно записать с помощью соответствующей поверхностной функции Грина S(x, z)Iu(x) = S(x, z)u(z)dlz .(4)ΓВ рамках предлагаемого метода поверхностная функция Грина представляетсяв виде суммы регулярной и сингулярной частей, которые во внутренних точкахобласти определения являются решениями однородного уравнения Гельмгольца, а на границе удовлетворяют условиюS (r) (x, z) = δΓ (x − z) − S (s) (x, z), x ∈ Γ,(5)где δΓ – δ -функция, сосредоточенная на поверхности Γ, т.е.HδΓ (x − z)f (z)dlz = f (x) для произвольной функции f (x).

ВыделениеΓсингулярной части содержит определенный произвол. При этом после конкретного выбора этой функции значения регулярной части на границе областиоказываются заданными соотношением (5).С помощью формулы Грина (4) для регулярной части S (r) можно записать интегральное уравнение, решение которого методом последовательных10приближений, позволяет получить представление этой функции в виде рядаборновского типа(r)S (x, z) =∞∑Cm ,(6)m=1гдеCm =II...S (s) (x, z 1 )S (r) (z 1 , z 2 ) . .

. S (r) (z m−1 , z m )S (r) (z m , z)dlz1 . . . dlzm .|Γ {z Γ }m(7)Оценка m-го слагаемого в (6) показывает, что параметром, определяющим скорость сходимости ряда, являетсяI (r)λ = max S (z, χ) dlz .χ∈ΓΓПричем ряд сходится при условии λ < 1.

Предлагаемый метод позволяет выделять различными способами сингулярную часть поверхностной функции Грина, влияя тем самым на величину λ, и, следовательно, на скорость сходимостиряда (6)-(7). Оптимальный выбор сингулярной части будет реализован в томслучае, если вблизи границы наибольший вклад в поверхностную функциюГрина дает именно сингулярная часть. Тогда в представлении (6)–(7) для регулярной части можно ограничиться несколькими первыми членами ряда.В качестве u(x) в (4) можно выбрать в том числе и различные регулярные части самой функции Грина и ее производных при фиксированномзначении z = ξ , необходимые для вычисления регуляризованного давленияКазимира в точке ξ ∈ Γ в общем случае.В настоящей работе были рассмотрены два различных способа выделения сингулярной части.

В первом варианте она была выбрана в виде(s)S (x, z) = 2∂nz G0 (x, z),z∈Γ(8)совпадающем с точной поверхностной функцией Грина для плоской границы.При таком выборе сингулярной части ряд (6)-(7) для функции Грина идентиченряду, построенному в рамках метода «разложения по числу рассеяний». Приальтернативном выделении сингулярная часть строилась таким образом, чтобы(r)(s)соответствующая регулярная часть Snew (x, z) = S(x, z) − Snew (x, z) в точке11x = z ∈ Γ обращалась в нуль. Тем самым в нулевом приближении была учтенакривизна границы в точке z , в отличие от тривиального варианта (8).Для обоих вариантов был произведен анализ эффективности предлагаемого метода на примере тестовых задач в круге и «овале», для которых ранееуже были получены ответы с наперед задаваемой точностью.

Расчеты производились в первых трех порядках борновского приближения для каждой из двухсингулярных частей. Выяснилось, что альтернативный ряд, полученный при(s)использовании Snew , в каждом порядке обеспечивает лучшее согласование сточными данными для различных L. Кроме того, оказалось, что величина параметра λ сильно зависит от геометрии рассматриваемой области. При этом сростом параметра L скорость сходимости ряда при «разложении по числу рассеяний» уменьшается настолько, что для получения удовлетворительной точности решения необходимо применять старшие порядки разложения, но приэтом существенно возрастает вычислительная сложность задачи. Для «квадрата» с большим значением L метод «разложения по числу рассеяний» такжеоказывается малоэффективным.

В свою очередь альтернативный борновскийряд оказывается достаточно результативным для всех рассмотренных значений L.Далее предлагаемый метод применялся для получения перенормированного давления на границе «овала» и «квадрата». Поскольку при выбранномспособе перенормировки необходимо вычисление регулярной части поверхностной функции Грина для вспомогательных областей с L → ∞, то найтиперенормированное давление с помощью метода «разложение по числу рассеяний» затруднительно. Искомые значения рассматриваемой физической величины были получены с помощью альтернативного борновского ряда в третьемпорядке разложения.Для общего предельного случая L → 0 для обоих семейств областей(круга) зависимость перенормированного давления от массы приведена на Рис.1.

Разумеется, использование различных вспомогательных областей приводитк отличающимся абсолютным значениям для круга, что обусловлено конечным расстоянием между вертикальными стенками «овала». Однако, предложенный метод перенормировки позволяет получить зависимость давления для120.0040.00080.0030.0006r3 prenr3 pren0.0020.00040.0010.000200.51mr1.502(a)0.51mr1.52(b)Рис. 1: Давление на границе круга, перенормированное с помощью бесконечных «овала»(a) и «квадрата» (b).этих семейств областей от величины L, причем эта зависимость наблюдаема.Отметим также, что результаты для перенормированного давления находятсяв полном соответствии с естественным физическим требованием экспоненциального убывания этой физической величины с ростом mr при фиксированномзначении L.Перечислим основные преимущества метода.

Во-первых, данный подход дает решение в явной аналитической форме, что упрощает анализ найденного ответа. Например, с помощью борновского ряда несложно показать, чтопри выбранном способе перенормировки давление и для овала и для квадрата экспоненциально убывает с ростом mr. Во-вторых, выделяя различнымиспособами сингулярную часть, можно добиться повышения эффективностиметода.