Регуляризация и перенормировка давления Казимира

На правах рукописиВоронина Юлия СергеевнаРЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ПЕРЕНОРМИРОВКАДАВЛЕНИЯ КАЗИМИРАСпециальность01.04.02 Теоретическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2013Работа выполнена на кафедре квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Силаев Петр КонстантиновичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор кафедры математикифизического факультета МГУБоголюбов Александр Николаевичкандидат физико-математических наук,старший научный сотрудникЛаборатории теоретической физикиОбъединенного института ядерныхисследований (г.

Дубна)Пироженко Ирина ГеоргиевнаГосударственный научный центрРоссийской Федерации Институт физикивысоких энергий (г. Протвино)Ведущая организация:Защита диссертации состоится 5 декабря 2013 г. в 15 час. 30 мин. на заседаниидиссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинскиегоры, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, СФА.С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУимени М.В. Ломоносова.Автореферат разослан «»Ученый секретарьдиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наукпрофессор2013 г.Поляков П.А.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы.

Эффект притяжения двух бесконечных плоскопараллельных идеально проводящих пластин в вакууме был предсказан Х. Казимиром еще в 1948 году. Этот эффект получил объяснение в рамках концепцииквантового вакуума: определение квантовой системы в ограниченных областяхили в топологически нетривиальных пространствах приводит к искажениюспектра вакуумных колебаний.

Впоследствии явления подобного типа былирассмотрены для разнообразных геометрий и топологий в случае полей с различными спинами. Оказалось, что эффект Казимира находит приложения вомногих областях физики от гравитации и космологии до физики элементарных частиц.Главным образом силы Казимира проявляются на расстояниях порядка нескольких десятков нанометров между объектами и, следовательно, играют очень важную роль при изготовлении и эксплуатации различных микрои наносистем. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования казимировского взаимодействия между телами с различной геометриейи структурой показали, что в основном эти силы носят характер притяжения.Кроме того, дополнительное притяжение обеспечивают силы межмолекулярного взаимодействия.

В результате возможны различные нарушения в функционировании наносистем, вызванные «слипанием» подвижных компонентовили затруднением их движения вследствие статического трения. Однако, какоказалось, силы Казимира существенно зависят от геометрической формы взаимодействующих тел, а также структуры материала, из которого они изготовлены. Как показали расчеты, в некоторых случаях соответствующие модификации могут приводить не только к ослаблению силы Казимира, но и к изменению ее характера с притяжения на отталкивание.

Впоследствии этот теоретический факт получил экспериментальное подтверждение. Таким образом,можно надеяться изготовить системы со специальной конфигурацией, необходимой для достижения равновесия между притягивающими и отталкивающими вкладами в результирующую силу. Эти обстоятельства повышают интереск теоретическому изучению задач казимировского типа.3При исследовании эффекта Казимира возникает ряд проблем до сих порне получивших удовлетворительного решения. Первый тип проблем связан сперенормировкой физических величин для уединенных тел, имеющих границу с ненулевой кривизной.

Как известно, основным источником расходимостей после устраненения вклада пространства Минковского являются поверхностные особенности, которые в общем случае являются неинтегрируемыми.Существующие подходы к устранению этих расходимостей достаточно ограничены.Второй тип проблем связан с непосредственным вычислением конкретных данных, что представляет собой отдельную математическую проблему,разрешить которую точно удается только для весьма узкого класса систем. Востальных случаях приходится применять различные приближенные методы.К настоящему моменту разработано несколько схем. С одной стороны среди них можно выделить подходы, которые, как правило, довольно просты втехнической реализации, однако имеют низкую точность. С другой сторонысуществуют методы, позволяющие добиться значительной точности, но приэтом требующие существенных затрат вычислительных ресурсов.

Например, вслучае метода граничных элементов, широко применяемого в задачах казимировской тематики, для достижения высокой точности приходится использоватьдостаточно мелкие элементы, что приводит к необходимости составлять и решать систему линейных уравнений значительных размеров.Цели и задачи диссертационной работы.Цели диссертации:1. Разработка схемы перенормировки граничного давления Казимира, позволяющей установить зависимость давления от параметров областиопределения поля.2.

Развитие новых методов вычисления функции Грина и ее производных,необходимых для вычисления давления Казимира.В работе решались следующие задачи:41. Вычисление перенормированного давления Казимира для скалярного поля на отрезке, в том числе и при наличии внешнего потенциала, в случаеналоженных граничных условий общего типа. Обоснование выбранногоспособа перенормировки в отсутствие внешнего поля.2. Разработка метода построения поверхностной функции Грина в виде ряда Борновского типа. Исследование вопроса сходимости этого ряда.3.

Разработка схемы приближенного вычисления функции Грина и ее производных на основе метода граничных элементов, позволяющей повысить вычислительную эффективность этого подхода.4. Применение этих методов для поиска перенормированного давления Казимира в случае некоторых частных двумерных задач для скалярногополя.5. Рассмотрение электромагнитного эффекта Казимира на примере задачио реечной передаче.

Вычисление нормальной и тангенциальной составляющей силы казимировского взаимодействия в рамках задачи. Исследование зависимости этих сил от формы реек.Научная новизна работы. В настоящей работе предложена схема перенормировки давления с помощью модифицированных областей, позволяющая получить зависимость этой величины от параметров основной области, причем этазависимость в принципе может быть проверена экспериментально.

Для рядазадач при определенном выборе вспомогательной области перенормированноедавление можно отождествить с физическим. Показано, что асимптотика перенормированного таким образом давления находится в полном соответствиис естественным физическим требованием экспоненциального убывания принеограниченном увеличении массы поля. Также разработаны два новых метода вычисления функции Грина и ее производных.Практическая значимость работы. Предложенные схемы приближенноговычисления функции Грина и ее производных для задач казимировского типа5могут использоваться и для полей с различными спинами, в том числе и длясистем, определенных в областях сложной формы с различными граничнымиусловиями.

Рассмотренная в диссертации реечная передача может представлять интерес в связи с разработкой различных микромеханических устройств.Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях в реферируемых журналах, а также в 3 тезисах докладов на международных конференциях.Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались намеждународных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2009» (МГУ, Москва, 2009) и «Ломоносов 2010» (МГУ, Москва, 2010),на «Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц» (МГУ,Москва, 2009), а также на семинаре ОТФВЭ НИИЯФ МГУ в 2012 г.Личный вклад автора.

Все результаты, представленные в диссертационнойработе, получены автором самостоятельно. Также автор принимала непосредственное участие и в постановке задач.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (216 наименований), 3 таблиц и 27рисунков. Изложена на 177 страницах.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении производен краткий обзор научных статей по теме диссертации. Сформулирована цель работы и обсуждается актуальность рассматриваемых задач.В первой главе исследуется регуляризация и перенормировка граничного давления Казимира для скалярного поля на интервале [a, b]. Вычислениедавления в точке a производится с помощью функции Грина соответствующей6краевой задачи()G ′′ (x, y) − κ2 + V ext (x) G(x, y) = δ(x − y),(1)cos αg(a) + sin αg ′ (a) = 0,cos βg(b) + sin βg ′ (b) = 0,а регуляризация осуществляется раздвижением аргументов этой функции (далее всюду используется «естественная» система единиц h̄ = c = 1)1pϵ (a) = −2π∫∞m()κdκ√∂x ∂y − κ2 − V ext G(x, y).κ2 − m2x=y−ϵ=aПри отсутствии в задаче внешнего поля V ext в качестве точки нормировки можно принять давление на левой границе x = a при условии, чтовторая стенка удалена на бесконечность()′pren (a; b) = lim limp(a;b)−p(a;b).ϵϵ′ϵ→0 b →∞(2)Выбор условия нормировки в виде (2) можно обосновать тем, что уединеннаястенка не должна испытывать давления со стороны квантового поля, посколькутакая система инвариантна относительно сдвига этой стенки.

Для граничныхусловий общего типа перенормированное с помощью (2) давление в случаеV ext = 0 будет определяться выражением][∫∞2−κ(b−a)1κ dκ2h(β)e√,pren (a; b) = −κ(b−a)2π− h(β)e−κ(b−a)κ2 − m2 h(α)emгдеcos θ − κ sin θ.cos θ + κ sin θПри наличии внешнего поля для уединенной стенки упомянутой вышеh(θ) =трансляционной инвариантности, вообще говоря, уже нет, так что вопрос обокончательной перенормировке остается открытым. Тем не менее способ (2)позволяет получить зависимость давления на левой границе от расположенияправой. Но такой результат также представляет интерес, поскольку в реальных экспериментах измеряется именно зависимость той или иной физическойвеличины от параметров области определения поля.7Также внешний потенциал усложняет задачу для функции Грина (1).Если поиск точного ее решения оказывается затруднительным, можно применять различные приближенные методы. В главе 1 исследовалась возможностьпостроения функции Грина для одномерного случая с помощью Борновскогоряда.Вторая глава посвящена исследованию перенормировки давления Казимира на границе области при использовании вспомогательных областей.

Перенормировка рассматривается на примере скалярного поля, определенного вдвумерной области D с гладкой границей Γ, на которой наложены однородныеграничные условия Дирихле. Давление в граничной точке ξ в многомерномслучае выражается через соответствующую функцию Грина следующим образом1p(ξ) =2π∫∞m][κdκ√,−2 (n · ∇x )(n · ∇y ) + (∇x · ∇y ) + κ2 G(x, y)κ2 − m2x=y=ξ(3)где n – внешняя нормаль к поверхности Γ в точке ξ . При решении многомерных задач возникают дополнительные трудности. Во-первых, в отличие от одномерных систем, функция Грина и ее производные сингулярны. А во-вторых,для многомерных систем возникает проблема поверхностных расходимостей,связанных с ненулевой кривизной границ.