Применение Принципа Лагранжа для построения оптимальных алгоритмов решения линейных обратных задач математической физики, страница 2

Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ àâòîðîì âïåðâûå íàéäåíà òàêàÿ ôîðìà ïîñòàíîâêè îáðàòíîé çàäà÷è, ÷òî å¼ ìîæíî ñâåñòè ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãîâîññòàíîâëåíèÿ. Ýòà ôîðìà ïîñòàíîâêè îáðàòíîé çàäà÷è áûëà íàçâàíà ñýò-ïîñòàíîâêîé. Àâòîðó óäàëîñü îáúåäèíèòü âñþ èíôîðìàöèþî ïîãðåøíîñòÿõ çàäà÷è â îäèí îáúåêò, êîòîðûé áûë íàçâàí îêðåñòíîñòüþ ïîãðåøíîñòè, è ñâåñòè îáðàòíóþ çàäà÷ó â ñýò-ïîñòàíîâêå êçàäà÷å îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ. Ñôîðìóëèðîâàíà ñâÿçü çàäà÷èîïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ è îáðàòíîé çàäà÷è â ñýò-ïîñòàíîâêå.2. Ñôîðìóëèðîâàíû è äîêàçàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ òàê íàçûâàåìîé àññîöèèðîâàííîé çàäà÷è. Àññîöèèðîâàííàÿ çàäà÷à âàæíàÿ ñ èññëåäîâàòåëüñêîé òî÷êè çðåíèÿ çàäà÷à; îíà ïðèìåíÿåòñÿ â Ïðèíöèïå Ëàãðàíæà, î êîòîðîì áûëî óïîìÿíóòî âûøå.43. Âïåðâûå ïîñòðîåí, îïèñàí, îáîñíîâàí è ðåàëèçîâàí â êîìïüþòåðíîéïðîãðàììå ìíîãîýòàïíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ ëèíåéíîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ ñ îãðàíè÷åííûì, âûïóêëûì, óðàâíîâåøåííûì ìíîæåñòâîì àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé.

Àâòîðó óäàëîñü ïîñòðîèòüòàêîé àëãîðèòì, êîòîðûé ïðèìåíèì ê øèðîêîìó êëàññó çàäà÷. Ñóòüàëãîðèòìà ñîñòîèò âa) ïðèìåíåíèè êîíå÷íîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè,b) èññëåäîâàíèè ñâÿçè èñõîäíîé çàäà÷è è å¼ êîíå÷íîìåðíîãî àíàëîãà èc) ðåøåíèè çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (â ðàáîòå ïîëíîñòüþ èññëåäîâàíû ñëó÷àè, êîãäà â çàäà÷åïðèñóòñòâóþò îãðàíè÷åíèÿ ëèíåéíîãî èëè êâàäðàòè÷íîãî âèäà).Íà âñåõ òð¼õ ýòàïàõ ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü èãðàåò Ïðèíöèï Ëàãðàíæà. Íà í¼ì îñíîâûâàþòñÿ âñå òåîðåìû, íà êîòîðûå îïèðàåòñÿ àëãîðèòì.Ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ òåîðèè ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåì ñïèñêå.1. Ðàçðàáîòàííàÿ òåîðèÿ è ïîñòðîåííûå àëãîðèòìû ïðèìåíåíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåãóëÿðèçèðóþùåãî àëãîðèòìà äëÿ ëèíåéíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ ñ èñòîêîïðåäñòàâèìûì ðåøåíèåì.

Àâòîðîì íåòîëüêî ïîñòðîåí îïòèìàëüíûé ðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòì, íî è äîêàçàíû åãî îïòèìàëüíîñòü è ðåãóëÿðèçèðóþùåå ñâîéñòâî, à òàêæå íàéäåíà àïîñòåðèîðíàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè. Ïîñòðîåííûé àëãîðèòì áàçèðóåòñÿ íà ðåçóëüòàòàõ ðàáîò ïî îïòèìàëüíîìó âîññòàíîâëåíèþ è ïîïîñòðîåíèþ ðåãóëÿðèçèðóþùèõ àëãîðèòìîâ [16, 7].2. Ðàçðàáîòàííàÿ òåîðèÿ ïðèìåíåíà ê ðåøåíèþ çàäà÷ ñ ëèíåéíûìè èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, â ïîñòàíîâêå êîòîðûõ ïðèñóòñòâóåò âûïóêëîå óðàâíîâåøåííîå ìíîæåñòâî àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé. Àâòîðîìîïèñàíû îïòèìàëüíûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿa) èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ñ íåïðåðûâíûì ÿäðîì,b) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Àáåëÿ.Ðàáîòà àëãîðèòìîâ ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ îáðàòíîéçàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.3.

Ïîñòðîåííûå àëãîðèòìû ïðèìåíåíû ê ðåøåíèþ ïðèêëàäíîé çàäà÷èíàõîæäåíèÿ âåêòîðà íàìàãíè÷åííîñòè (ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà) òåëà ïî èíôîðìàöèè î ìàãíèòíîì ïîëå âíå òåëà.Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ äèññåðòàöèè, âûíîñèìûå íà çàùèòó. Íàçàùèòó âûíîñÿòñÿ ïîëîæåíèÿ òåîðåòè÷åñêîãî è ïðèêëàäíîãî õàðàêòåðà.Òåîðåòè÷åñêèå ïîëîæåíèÿ ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåì ñïèñêå.51. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îïåðàòîð A è ïðàâàÿ ÷àñòü u çàäà÷è (1) çàäàíû ñ ïîãðåøíîñòüþ, ëèíåéíàÿ îáðàòíàÿ çàäà÷à (1) ñ âûïóêëûì óðàâíîâåøåííûì ìíîæåñòâîì M ñâåäåíà ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ.Äëÿ ýòîãî ïîíàäîáèëîñü ââåñòè ñýò-ïîñòàíîâêó îáðàòíîé çàäà÷è.2.

Ïîêàçàíà ñâÿçü îáðàòíîé çàäà÷è â ñýò-ïîñòàíîâêå è çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ.3. Íàéäåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ àññîöèèðîâàííîé çàäà÷è, êîòîðûå øèðîêî ïðèìåíèìû â ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷.4. Ïîñòðîåí, îáîñíîâàí è ðåàëèçîâàí â âèäå êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììûàëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ, ïðèìåíèìûéâ áîëüøèíñòâå ïðèêëàäíûõ çàäà÷.5. Ïîêàçàíà óíèâåðñàëüíîñòü Ïðèíöèïà Ëàãðàíæà äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõçàäà÷: îí èñïîëüçóåòñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå áîëüøîãî ÷èñëà òåîðåì.Ïîëîæåíèÿ ïðèêëàäíîãî çíà÷åíèÿ ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåì ñïèñêå.1. Ðàçðàáîòàí îïòèìàëüíûé ðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòì äëÿ çàäà÷è (1)ñ ìíîæåñòâîì àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé âèäà M = Im V , ãäå V ëèíåéíûé èíúåêòèâíûé êîìïàêòíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé èç íåêîòîðîãîãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà â ïðîñòðàíñòâî Z .

Àëãîðèòì ïîçâîëÿåò ðåøàòü çàäà÷è èç ðàññìîòðåííîãî ñåìåéñòâà, íå èñïîëüçóÿ êîíå÷íîìåðíóþ àïïðîêñèìàöèþ.2. Ìíîãîýòàïíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ ïðèìåí¼í äëÿ çàäà÷ ñ èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè è äëÿ ïðèêëàäíîé îáðàòíîé çàäà÷è ïîèñêà íàìàãíè÷åííîñòè òåëà ïî èíôîðìàöèè îìàãíèòíîì ïîëå âíå òåëà.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü. Ïîëó÷åííûå â ðàáîòåðåçóëüòàòû àêòóàëüíû äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé, çàäà÷ ôèçèêè èçàäà÷ îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ ôèçè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà.Ñðåäè íàïðàâëåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ âûäåëÿþòñÿ òåîðèÿîáðàòíûõ çàäà÷, òåîðèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷, òåîðèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ, òåîðèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Äîêàçàííûå âðàáîòå òåîðåìû è ïîñòðîåííûå àëãîðèòìû âíîñÿò ñóùåñòâåííûé âêëàä âðàçâèòèå ïåðå÷èñëåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé.Ñðåäè ôèçè÷åñêèõ çàäà÷ îòìåòèì îáðàòíûå çàäà÷è ìåõàíèêè, çàäà÷è òîìîãðàôèè, îáðàòíûå çàäà÷è àñòðîôèçèêè, îáðàòíûå çàäà÷è ãåîôèçèêè, çàäà÷è ñïåêòðîñêîïèè, îáðàòíûå çàäà÷è ëèíåéíîé îïòèêè, îáðàòíûå çàäà÷è6ëèíåéíîé àêóñòèêè, îáðàòíûå çàäà÷è ðàäèîôèçèêè, çàäà÷è èññëåäîâàíèÿìàòåðèàëîâ è äåôåêòîâ â íèõ, çàäà÷è ïî îáðàáîòêå èçîáðàæåíèé.

Îïèñàííûå â ðàáîòå ìåòîäû ðåøåíèÿ ïðèìåíèìû ê ëèíåéíûì îáðàòíûì çàäà÷àì,âñòðå÷àþùèìñÿ â ïåðå÷èñëåííûõ îáëàñòÿõ.Àïðîáàöèÿ ðàáîòû. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü íà íàó÷íîìñåìèíàðå Îáðàòíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ïîä ðóêîâîäñòâîìÀ. Á. Áàêóøèíñêîãî, À. Â. Òèõîíðàâîâà è À.

Ã. ßãîëû, ïðîâîäÿùåìñÿ âÍàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîì âû÷èñëèòåëüíîì öåíòðå ÌÃÓ (28 ôåâðàëÿ 2007ã., 3 îêòÿáðÿ 2007 ã.); íà íàó÷íîì ñåìèíàðå êàôåäðû îáùèõ ïðîáëåì óïðàâëåíèÿ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà(23 ìàðòà 2007 ã.).

Ðåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõ êîíôåðåíöèÿõ.ˆ XIV-àÿ Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõ ó÷¼íûõ ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì Ëîìîíîñîâ2007, ñåêöèÿÔèçèêà (Ðîññèÿ, Ìîñêâà, ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, ôèçè÷åñêèéôàêóëüòåò, 12 àïðåëÿ 2007 ã.).ˆ Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ Îáðàòíûå è íåêîððåêòíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ïîñâÿù¼ííàÿ 75-ëåòèþ àêàäåìèêà Ì.

Ì. Ëàâðåíòüåâà (Ðîññèÿ, Íîâîñèáèðñê, Äîì Ó÷¼íûõ ÑÎ ÐÀÍ, 22 àâãóñòà 2007ã.).Ïóáëèêàöèè. Ïî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíî 7 ðàáîò (2 ñòàòüè âýëåêòðîííîì íàó÷íîì æóðíàëå, 3 ñòàòüè â ïå÷àòíûõ íàó÷íûõ æóðíàëàõè 2 òåçèñà êîíôåðåíöèé).  æóðíàëàõ èç ïåðå÷íÿ ÂÀÊ îïóáëèêîâàíî 2ñòàòüè. Åù¼ 1 ñòàòüÿ ïðèíÿòà ê ïóáëèêàöèè â ïå÷àòíîì íàó÷íîì æóðíàëåèç ïåðå÷íÿ ÂÀÊ.Ñòðóêòóðà è îáú¼ì äèññåðòàöèè. Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç òèòóëüíîãî ëèñòà, îãëàâëåíèÿ, ââåäåíèÿ, øåñòè ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû. Îáú¼ì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 140 ñòðàíèö.

 íåé èìååòñÿ 15ðèñóíêîâ.  ñïèñêå ëèòåðàòóðû 133 íàèìåíîâàíèÿ.Êëþ÷åâûå ñëîâà. Îáðàòíûå çàäà÷è, íåêîððåêòíûå çàäà÷è, îïòèìàëüíîå âîññòàíîâëåíèå, àïðèîðíàÿ èíôîðìàöèÿ î ðåøåíèè çàäà÷è, ÏðèíöèïËàãðàíæà, êîíå÷íîìåðíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ, ëèíåéíûå èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà, èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Àáåëÿ,èñòîêîïðåäñòàâèìîå ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è, îïòèìàëüíûé ðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòì, àïîñòåðèîðíàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè, çàäà÷à ðàçìàãíè÷èâàíèÿ êîðàáëåé.7ÊÐÀÒÊÎÅ ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈÂî ââåäåíèè êðàòêî îïèñàíû îñíîâíûå ìîìåíòû èñòîðèè ðàçâèòèÿ òåîðèè îáðàòíûõ çàäà÷ è òåîðèè çàäà÷ îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ. Àêöåíòâ èçëîæåíèè äåëàåòñÿ íà íåðåø¼ííûå âîïðîñû, ïðè÷¼ì òå, êîòîðûå èññëåäîâàëèñü àâòîðîì.

Îòìå÷åíû îñíîâíûå ïóòè ðàçâèòèÿ òåîðèé, à òàêæå ïîñëåäíèå ðåçóëüòàòû. Äàþòñÿ ìíîãî÷èñëåííûå ññûëêè íà ëèòåðàòóðó, ãäåìîæíî íàéòè îïèñàíèå òåîðèé, èõ ïðèìåíåíèå è òåîðåìû. Îïèñûâàþòñÿ öåëè äèññåðòàöèè, å¼ îñíîâíûå íàó÷íûå ðåçóëüòàòû è îáëàñòè èõ ïðèìåíåíèÿ.Ðàññêàçûâàåòñÿ î äîêëàäàõ è ïóáëèêàöèÿõ àâòîðà, ïîñâÿù¼ííûõ âîïðîñàì,èññëåäóåìûì â äèññåðòàöèè. Ïðèâîäèòñÿ êðàòêîå ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèèïî ãëàâàì. ïåðâîé ãëàâå ïðèâîäÿòñÿ ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ïîñòàíîâîê îáðàòíûõçàäà÷ è çàäà÷ îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿîáðàòíàÿ çàäà÷à, è åé ñîïîñòàâëÿþòñÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà, êîòîðûå â ðàçíîé ñòåïåíè ó÷èòûâàþò ïîãðåøíîñòü äàííûõ â îáðàòíîé çàäà÷å. Ïðîäåëàíû ïðåäâàðèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ,ïðèâåäåíû ïðèìåðû è óêàçàíû ñîîáðàæåíèÿ, ïðèâîäÿùèå ê ïîñòàíîâêå çàäà÷ â íàèáîëåå îáùåé ôîðìå.

Îêîí÷àòåëüíàÿ ÷¼òêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è èõ èññëåäîâàíèå îòëîæåíû äî ñëåäóþùåé ãëàâû.Âî âòîðîé ãëàâå ïðèâåäåíû ñýò-ïîñòàíîâêà îáðàòíîé çàäà÷è, ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ è ôîðìóëèðîâêà àññîöèèðîâàííîé çàäà÷è. Ïðèâåä¼ì ýòè ôîðìóëèðîâêè [29].Ïóñòü Z è U äåéñòâèòåëüíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà, A : Z → U ëèíåéíûé îïåðàòîð. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M ⊂ Z è ýëåìåíò z̄ ∈ M .Îáîçíà÷èì ū := Az̄ è ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïîèñêà ýëåìåíòà z̄ èç óðàâíåíèÿ:Az = ū,z ∈ M.(2)Ìíîãèå ôèçè÷åñêèå çàäà÷è ìîãóò ïðèâîäèòü ê îáðàòíûì çàäà÷àì òàêîãîâèäà.

Íî íà ïðàêòèêå íå âñåãäà òî÷íî èçâåñòíû ýëåìåíò ū è îïåðàòîð A.Äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ íåîáõîäèìî ìîäèôèöèðîâàòü ïîñòàíîâêó çàäà÷è (2). Îäíîé èç îñîáåííîñòåé ïðàêòè÷åñêîãî ðåøåíèÿýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âíå çàâèñèìîñòè îò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà U îá ýëåìåíòå ū èçâåñòíà ëèøü êîíå÷íàÿ èíôîðìàöèÿ, è îíà ÿâëÿåòñÿíåòî÷íîé, ò.å. çàäàíà ñ ïîãðåøíîñòüþ.

Ïóñòü èíôîðìàöèÿ îá ýëåìåíòå ūçàäà¼òñÿ íàáîðîì èç m äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äàëåå âñþäó áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì Y := Rm . Ââåä¼ì ëèíåéíûé îïåðàòîð Qm : U → Y .Ïóñòü â çàäà÷å ïðèáëèæ¼ííî èçâåñòåí m-ìåðíûé âåêòîð Qm ū, à èìåííî,òî÷íî çàäàí ýëåìåíò v ∈ Y è èçâåñòíî âûïóêëîå óðàâíîâåøåííîå ìíîæåñòâî Ω ⊂ Y , òàêèå ÷òî v − Qm ū ∈ Ω. Ýòî âêëþ÷åíèå ýêâèâàëåíòíî8íåðàâåíñòâó kv − Qm ūk 6 ε , åñëè Ω ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì øàðîì ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì â íóëå.