Применение Принципа Лагранжа для построения оптимальных алгоритмов решения линейных обратных задач математической физики

Московский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваФизический факультет––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––На правах рукописиБаев Андрей ВалерьевичПрименение Принципа Лагранжа для построенияоптимальных алгоритмов решения линейныхобратных задач математической физикиСпециальность 01.01.03 — математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква – 2008Работа выполнена на кафедре математики физического факультетаМосковского государственного университета имени М. В.

Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Ягола А. Г.Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор Леонов А. С.доктор физико-математических наук,профессор Магарил-Ильяев Г. Г.Ведущая организация:МАТИ — Российский государственныйтехнологический университетим. К. Э. Циолковского.Защита диссертации состоится 20 ноября 2008 г. в 15:30 на заседаниидиссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственномуниверситете им. М.

В. Ломоносова по адресу: Россия, 119992, г. Москва,Ленинские горы, МГУ, физический факультет, Северная физическаяаудитория.С диссертациейфакультета МГУ.можноознакомитьсявбиблиотекефизическогоАвтореферат разослан « 16 » октября 2008 г.Учёный секретарьдиссертационного совета профессорГрац Ю. В.ÎÁÙÀß ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÀ ÐÀÁÎÒÛÀêòóàëüíîñòü òåìû äèññåðòàöèè. Íàñòîÿùàÿ äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùå-íà ñïåöèàëüíûì âîïðîñàì ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè îáðàòíûõ çàäà÷ è çàäà÷îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ. Ñóùåñòâåííàÿ ÷àñòü ïðèêëàäíûõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ëèíåéíûõ îáðàòíûõ çàäà÷.

Ðàçâèòèå òåîðèèîáðàòíûõ çàäà÷ íà÷àëîñü áîëåå âåêà íàçàä. Íà äàííûé ìîìåíò ðàçðàáîòàíû ìíîãî÷èñëåííûå ìåòîäû èõ èññëåäîâàíèÿ, è ïîñòðîåíî ìíîãî ìåòîäîâðåøåíèÿ.Âñå ïðèêëàäíûå çàäà÷è èìåþò íåòî÷íûå âõîäíûå äàííûå.  ñâÿçè ñýòèì íåîáõîäèìî êëàññèôèöèðîâàòü îáðàòíûå çàäà÷è ïî òîìó, êàê âëèÿåò ïîãðåøíîñòü âõîäíûõ äàííûõ íà îòâåò çàäà÷è è íà åãî ïîãðåøíîñòü. Êïðèìåðó, Æ. Àäàìàð ââ¼ë êëàññèôèêàöèþ îáðàòíûõ çàäà÷ ïî òàê íàçûâàåìîìó ñâîéñòâó êîððåêòíîñòè [3]. Êîððåêòíîé (êîððåêòíî ïîñòàâëåííîé )çàäà÷åé îí íàçûâàë ëþáóþ çàäà÷ó, ó êîòîðîé ðåøåíèå1) ñóùåñòâóåò,2) åäèíñòâåííî è3) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò âõîäíûõ äàííûõ.Âñå îñòàëüíûå çàäà÷è Æ.

Àäàìàð íàçûâàë íåêîððåêòíûìè (íåêîððåêòíîïîñòàâëåííûìè ). Ò.å. íåêîððåêòíîé çàäà÷åé ñ÷èòàëàñü çàäà÷à, ó êîòîðîéíàðóøàåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç òð¼õ ñâîéñòâ êîððåêòíîé çàäà÷è.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî àáñîëþòíîå áîëüøèíñòâî îáðàòíûõ çàäà÷, ê êîòîðûìñâîäÿòñÿ ïðèêëàäíûå çàäà÷è, ÿâëÿþòñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûìè.  ñâÿçè ñ ýòèì â ñåðåäèíå XX âåêà íà÷àëà ðàçâèâàòüñÿ òåîðèÿ íåêîððåêòíûõçàäà÷, è íà÷àëè ðàçðàáàòûâàòüñÿ ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ. Ïðèáëèæåíèå äëÿòî÷íîãî ðåøåíèÿ ìîæíî íàõîäèòü ðàçíûìè ìåòîäàìè.

Íî â áîëüøèíñòâåñëó÷àåâ ñàìè íåêîððåêòíûå çàäà÷è ðåøàòü íå èìååò ñìûñëà. Èìåííî íàýòî îáðàòèë âíèìàíèå Æ. Àäàìàð. Îäíàêî, íåîáõîäèìîñòü ðåøàòü ýòè çàäà÷è îñòàëàñü. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ[17, 12, 13, 2, 9, 19, 20, 1, 14] è â áèáëèîãðàôèè ê íèì.Ëèíåéíóþ îáðàòíóþ çàäà÷ó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñëåäóþùåé çàäà÷è ïîèñêà ýëåìåíòà z :Az = u, z ∈ M.(1)Çäåñü z íåèçâåñòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, u èçâåñòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà, A : Z → U èçâåñòíûé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð èç íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà Z â íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî U , M ⊂ Z èçâåñòíîå ìíîæåñòâî àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé.Äëÿ îáðàòíîé çàäà÷è î÷åíü ÷àñòî íåâîçìîæíî îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èíôîðìàöèè î ðåøåíèè ñëèøêîì ìàëî.

Íî1â ðÿäå ñëó÷àåâ âîçìîæíî ââåäåíèå òàêîãî ìíîæåñòâà àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé, ÷òî ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ. Îñíîâíûåðåçóëüòàòû îá èññëåäîâàíèè àïðèîðíîé èíôîðìàöèè â îáðàòíûõ çàäà÷àõìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [13, 18, 9, 10].Åñëè ìíîæåñòâî àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé ïîçâîëÿåò âîññòàíàâëèâàòü ðåøåíèå ñ êîíå÷íîé ïîãðåøíîñòüþ, òî â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî èñêàòü ìåòîäðåøåíèÿ çàäà÷è, êîòîðûé èìååò íàèìåíüøóþ ïîãðåøíîñòü ñðåäè âñåõ âîçìîæíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ. Äëÿ ýòîãî îáðàòíîé çàäà÷å ñîïîñòàâëÿåòñÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ.

Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèéçàäà÷ îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [6, 5, 21, 8, 4] èâ áèáëèîãðàôèè ê íèì. Ïðèìåíåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿäà¼ò íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå ê ðåøåíèþ, ò.å. ïðèáëèæåíèå ñ ìèíèìàëüíîâîçìîæíîé àïðèîðíîé ïîãðåøíîñòüþ.Ïóñòü â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å (1) òðåáóåòñÿ íàéòè ïðèáëèæåíèå äëÿòî÷íîãî ðåøåíèÿ è ïîãðåøíîñòü ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ. À òî÷íåå, òðåáóåòñÿíàéòè ïðèáëèæåíèå äëÿ èíôîðìàöèè î òî÷íîì ðåøåíèè è ïîãðåøíîñòüýòîãî ïðèáëèæåíèÿ ïî èíôîðìàöèè î äàííûõ u, A, M . Ñìûñë çäåñü ñëåäóþùèé.  áîëüøèíñòâå çàäà÷ ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà Z è U ÿâëÿþòñÿáåñêîíå÷íîìåðíûìè.  ñâÿçè ñ ýòèì ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî ïîëó÷èòüâ êà÷åñòâå âõîäíîé èíôîðìàöèè ñàìè îáúåêòû u, A, M .

Âîçìîæíî ëèøüçàäàíèå íåêîòîðîé êîíå÷íîé èíôîðìàöèè î íèõ. Òàêèì æå îáðàçîì îáñòîèò äåëî ñ áåñêîíå÷íîìåðíûì âåêòîðîì z , êîòîðûé ìû ðàññìàòðèâàåì êàêðåøåíèå çàäà÷è. áîëüøèíñòâå ïðèêëàäíûõ ðàáîò ïî çàäà÷àì îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì ïîäìíîæåñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Z .  ñâÿçè ñ ýòèì óäàâàëîñü íàõîäèòü ìåòîä è ïîãðåøíîñòü îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ ëèøüäëÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷.

Áîëåå òîãî, âî ìíîãèõ ïóáëèêàöèÿõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà îáëàñòü çíà÷åíèé îïåðàòîðà A òàêæå áåñêîíå÷íîìåðíà,ò.å. ïðîñòðàíñòâî span Im A áåñêîíå÷íîìåðíî, à ýëåìåíò u ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì âåêòîðîì. Çàìåòèì, ÷òî â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ îáëàñòü çíà÷åíèé îïåðàòîðà A âñåãäà êîíå÷íîìåðíà.Ðàçâèòèå òåîðèè çàäà÷ îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ äëèòñÿ îêîëî ïîëóâåêà, îäíàêî, ëèøü íåäàâíî áûëè ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû, ïîçâîëÿþùèåýôôåêòèâíî ðåøàòü ëèíåéíûå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ ïî èíôîðìàöèè îïðåäåë¼ííîãî òèïà.

 òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ äàâíî áûëèçâåñòåí Ïðèíöèï Ëàãðàíæà. Íî ëèøü íåäàâíî áûëà äîêàçàíà ñâÿçü ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà, ôèãóðèðóþùèõ â Ïðèíöèïå Ëàãðàíæà, ñ àëãîðèòìîìðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ [16].2Âî ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ íåò âîçìîæíîñòè íàéòè ïðèáëèæåíèåäëÿ ðåøåíèÿ ñ êîíå÷íîé ïîãðåøíîñòüþ.

Ýòà ñèòóàöèÿ õàðàêòåðíà, åñëèèçâåñòíîå ìíîæåñòâî àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé ñëèøêîì øèðîêî, à èíôîðìàöèÿ îá ýëåìåíòå u äîñòàòî÷íî ñêóäíà.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðèìåíÿòü,íàïðèìåð, ðåãóëÿðèçàöèþ À. Í. Òèõîíîâà, ò.å. ñòðîèòü òàê íàçûâàåìûéðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòì. Íà äàííûé ìîìåíò ïîñòðîåíî áîëüøîå ìíîæåñòâî ðåãóëÿðèçèðóþùèõ àëãîðèòìîâ, ââåäåíî ìíîãî èõ êëàññèôèêàöèé,äîêàçàíû ìíîãî÷èñëåííûå òåîðåìû îá èõ ñâîéñòâàõ.Îñíîâíîé öåëüþ òåîðèè ðåãóëÿðèçàöèè íåêîððåêòíûõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿïîñòðîåíèå è èññëåäîâàíèå ðåãóëÿðèçèðóþùèõ àëãîðèòìîâ.

 ýòîé òåîðèèèçâåñòíî, ÷òî â ëþáîé îáðàòíîé çàäà÷å ðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòì íååäèíñòâåííûé (åñëè îí ñóùåñòâóåò).  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò ïðîáëåìàâûáîðà òîãî èëè èíîãî àëãîðèòìà è ïðîáëåìà ñðàâíåíèÿ àëãîðèòìîâ. Óæåïîñòðîåíî ìíîãî òàê íàçûâàåìûõ îïòèìàëüíûõ ïî ïîðÿäêó ðåãóëÿðèçèðóþùèõ àëãîðèòìîâ. Íî íàèáîëåå èíòåðåñíà çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåãóëÿðèçèðóþùåãî àëãîðèòìà è åãî ýôôåêòèâíàÿ ðåàëèçàöèÿ â êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììå.Ïîíÿòèéíûé àïïàðàò è ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.

Ðàáîòà îïèðàåòñÿíà òåðìèíîëîãèþ è ðåçóëüòàòû èç ðàáîò ïî òåîðèè ìíîæåñòâ, ïî òîïîëîãèè,ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó, òåîðèè ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, ïî òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ïî òåîðèè îáðàòíûõ è íåêîððåêòíûõ çàäà÷, ïî âûïóêëîìó àíàëèçó è òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷, ïîòåîðèè îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ, ïî ëèíåéíîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ,ïî ÷èñëåííûì àëãîðèòìàì ðåøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ è èõ ðåàëèçàöèè â êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàììàõ, ïî ÿçûêàì ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ïî êëàññè÷åñêîé òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. êà÷åñòâå îñíîâíîãî èíñòðóìåíòà èññëåäîâàíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷ àâòîðîì äèññåðòàöèè áûëè âûáðàíû ìåòîäû òåîðèè îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ è òåîðèÿ ðåãóëÿðèçàöèè äëÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷.

Ïðèíöèï Ëàãðàíæàäëÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ àâòîðîì íàñòîÿùåéäèññåðòàöèè â êà÷åñòâå ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðåìû, íà îñíîâå êîòîðîé äîêàçûâàþòñÿ ìíîãèå òåîðåìû è ñòðîÿòñÿ àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷.Öåëè äèññåðòàöèè. Äëÿ íàñòîÿùåé ðàáîòû ñòàâèëàñü çàäà÷à äîñòèæåíèÿ ñëåäóþùèõ öåëåé.1. Ïîñòðîåíèå è îáîñíîâàíèå àëãîðèòìà ðåøåíèÿ ëèíåéíîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ ñ ìíîæåñòâîì àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé, ÿâëÿþùèìñÿ ìíîæåñòâîì íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå, ñ èçâåñòíîéêîíñòàíòîé Ëèïøèöà è îãðàíè÷åííûõ ïî ìîäóëþ èçâåñòíûì ÷èñëîì.2. Ïîñòðîåíèå è ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå îïòèìàëüíîãî ðåãóëÿðèçè3ðóþùåãî àëãîðèòìà äëÿ ëèíåéíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ ñ èñòîêîïðåäñòàâèìûì ðåøåíèåì.

Òàêæå ñòàâèëàñü öåëü íàõîæäåíèÿ àïîñòåðèîðíîéîöåíêè ïîãðåøíîñòè äëÿ èñêîìîãî àëãîðèòìà.3. Ïðèìåíåíèå ðàçðàáîòàííîé òåîðèè è ïîñòðîåííûõ àëãîðèòìîâ ê ðåøåíèþ çàäà÷ ñ ëèíåéíûìè èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà.  äàííîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî òå çàäà÷è, â ïîñòàíîâêå êîòîðûõ ïðèñóòñòâóåò âûïóêëîå óðàâíîâåøåííîå ìíîæåñòâîàïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé.4. Ïðèìåíåíèå ðàçðàáîòàííîé òåîðèè è ïîñòðîåííûõ àëãîðèòìîâ ê ðåøåíèþ ïðèêëàäíîé ôèçè÷åñêîé çàäà÷è.Ñðåäè öåëåé èìåþòñÿ êàê ÷èñòî òåîðåòè÷åñêèå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèÿ,òàê è ïðèêëàäíûå çàäà÷è.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäñòàâëåíî íåñêîëüêî ðåçóëüòàòîâ, êîòîðûå âïåðâûå áûëè ïîëó÷åíû àâòîðîì.

Èõ êðàòêàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïðèâåäåíà â ñëåäóþùèõ äâóõ ñïèñêàõ. Ïåðâûé ñïèñîê ïîñâÿù¼íòåîðåòè÷åñêèì ðåçóëüòàòàì, âòîðîé ïîñâÿù¼í ðåçóëüòàòàì, îòíîñÿùèìñÿ êíåïîñðåäñòâåííîìó ïðèìåíåíèþ òåîðèè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷.Òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåì ñïèñêå.1. Èçâåñòíî ìíîãî ôîðì ïîñòàíîâêè îáðàòíîé çàäà÷è, òàêèõ ÷òî â çàäà÷å ó÷èòûâàåòñÿ è èñïîëüçóåòñÿ òî, ÷òî èíôîðìàöèÿ îá îïåðàòîðå Aè î ïðàâîé ÷àñòè u óðàâíåíèÿ â çàäà÷å (1) çàäàíà ñ ïîãðåøíîñòüþ.Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïîãðåøíîñòè çàäàíèÿ ïðàâîé ÷àñòè è îïåðàòîðà èçâåñòíû. Ðàíåå áûëî èçâåñòíî, êàê ñâîäèòü îáðàòíóþ çàäà÷ó ñ òî÷íî èçâåñòíûì îïåðàòîðîì A ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ.Äëÿ ñëó÷àÿ íåòî÷íîãî çàäàíèÿ îïåðàòîðà òàêèõ ðåçóëüòàòîâ íå áûëî.