Погружения графов в поверхности, страница 5

Ïóñòü X âåêòîðíîå ïîëåíà M áåç íóëåé â ñëó÷àå, êîãäà M òîð, áóòûëêà Êëåéíà èëè ïîâåðõíîñòü ñ êðàåì,è ñ åäèíñòâåííûì íóëåì x ∈ M â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, f1 , f2 : G → M äâà ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèÿ, îáðàçû êîòîðûõ íå ñîäåðæàò x. Ïóñòü çàäàíû ëîêàëüíûå îðèåíòàöèèO1 , O2 â òî÷êàõ f1 (v), f2 (v). Ïóñòü f˜1 : G → M ïðîèçâîëüíîå ðåãóëÿðíîå îòîáðàæåíèå, ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíîå f1 , äëÿ êîòîðîãî f˜1 |T ≡ f2 |T , ëîêàëüíàÿ îðèåíòàöèÿ â òî÷êåf˜1 (v) = f2 (v), ïåðåíåñåííàÿ ñ ãîìîòîïèåé èç O1 , ñîâïàäàåò ñ O2 , è f˜1 ãîìîòîïíî f2 îòíîñèòåëüíî òî÷êè v . Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïèÿ, ïðåîáðàçóþùàÿ f1 â f2è O1 â O2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.1. Ñóùåñòâóåò ãîìîòîïèÿ, ïðåîáðàçóþùàÿ îòîáðàæåíèå f1 â f2 è ëîêàëüíóþ îðèåíòàöèþ O1 â O2 .2.

 êàæäîé âåðøèíå öèêëè÷åñêèå ïîðÿäêè âûõîäÿùèõ èç íåå ðåáåð ïðè îòîáðàæåíèÿõf1 è f2 ñîâïàäàþò îòíîñèòåëüíî ëîêàëüíûõ îðèåíòàöèé, ïåðåíåñåííûõ èç O1 è O2âäîëü äåðåâà T .3. Äëÿ êàæäîãî ïðîñòîãî îïîðíîãî öèêëà Ci , ñîõðàíÿþùåãî îðèåíòàöèþ, âûïîëíÿåòñÿdωX (f1 |Ci , O1 , f2 |Ci , O2 ) = 0.4. ×èñëî dωX (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), f2 |0Ci (wi )) îäèíàêîâî è ÷åòíî äëÿ âñåõ ïðîñòûõîïîðíûõ öèêëîâ Ci , ìåíÿþùèõ îðèåíòàöèþ, ãäå wi áëèæàéøàÿ ê v ïî äåðåâóT òî÷êà öèêëà Ci , à ëîêàëüíàÿ îðèåíòàöèÿ O2,i â òî÷êå f2 (wi ) ïåðåíåñåíà èç O2âäîëü äåðåâà T .19 ñëó÷àå, êîãäà ãðàô ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ïåòëåé, ïîëó÷àåì àíàëîã òåîðåìû 3.1èç [20] íà ñëó÷àé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè èëè íå ñîõðàíÿþùåé îðèåíòàöèþ êðèâîé ïðèîòñóòñòâèè áàçèñíîé òî÷êè.2.3Ãîìîòîïíîñòü ãðàôîâÄîêàæåì ïðåäëîæåíèå 2.1. Ñíà÷àëà äîêàæåì îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.

Ïîêàæåì, ÷òî òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå idG ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ α : G → G, ïðè êîòîðîì äåðåâî Tîòîáðàæàåòñÿ â òî÷êó v , à êàæäîå ðåáðî ei ⊂ G \ T - íà áàçèñíûé îïîðíûé öèêë Ci áåçòî÷êè v . Ðàññìîòðèì ãîìîòîïèþ, íà÷àëüíûì îòîáðàæåíèåì ãîòîðîé ÿâëÿåòñÿ idG , êàæäàÿòî÷êà äåðåâà T ëèíåéíî äâèæåòñÿ ïî äåðåâó ê òî÷êå v . Íà êàæäîì ðåáðå ei ∼= (0, 1) â ìîìåíò âðåìåíè t ñåðåäèíà (t/4, 3t/4) ëèíåéíî îòîáðàæàåòñÿ âî âñå ðåáðî ei , à êðàÿ (0, t/4)è (3t/4, 1) â ïóòè îò ñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèíû ðåáðà ei äî îáðàçà ýòîé âåðøèíû ïðèóæå ïîñòðîåííîé ãîìîòîïèè íà T .Ðàññìîòðèì ãðàô G̃ ÿâëÿþùèéñÿ áóêåòîì îêðóæíîñòåé C̃i , íàõîäÿùèõñÿ âî âçàèìíîîäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ðåáðàìè ei ⊂ G \ T ãðàôà G.

Îòîáðàæåíèå α ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê êîìïîçèöèþ α = α2 ◦ α1 îòîáðàæåíèÿ α1 : G → G̃, ÿâëÿþùåãîñÿ ñòÿãèâàíèåìäåðåâà T â òî÷êó, è îòîáðàæåíèÿ α2 : G̃ → G, îòîáðàæàþùåãî êàæäóþ îêðóæíîñòü C̃i âáàçèñíûé îïîðíûé öèêë Či . Îòîáðàæåíèÿ f è f ◦ g ãîìîòîïíû f ◦ α2 ◦ α1 è f ◦ g ◦ α2 ◦ α1ñîîòâåòñòâåííî. Èç ãîìîòîïíîñòè f |Či ' f ◦ g|Či îòíîñèòåëüíî òî÷êè f (v) äëÿ êàæäîãîöèêëà Či ñëåäóåò ãîìîòîïíîñòü f ◦ α2 ' f ◦ g ◦ α2 ñ ôèêñèðîâàííîé òî÷êîé v . Îòñþäàñëåäóåò ãîìîòîïíîñòü f ◦ α ' f ◦ g ◦ α, à çíà÷èò è ãîìîòîïíîñòü f ' f ◦ g .Òåïåðü äîêàæåì ïðåäëîæåíèå 2.1 â ïðÿìóþ ñòîðîíó.

Ïóñòü ïðè ãîìîòîïèè îòîáðàæåíèé f è f ◦ g îáðàç òî÷êè v ïðîõîäèò çàìêíóòûé ïóòü δ . Òîãäà äëÿ äëÿ êàæäîãî öèêëàC ⊂ G, ñîäåðæàùåãî âåðøèíó v , âûïîëíåíî f ◦ g|C ' δ −1 f |C δ îòíîñèòåëüíî òî÷êè f (v).Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öèêëîâ g k (C), k ∈ N.  ãðàôå ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ÷èñëîïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðåáåð ôèêñèðîâàííîé äëèíû, ïîýòîìó ñðåäè ýòèõ öèêëîâ íàéäóòñÿäâà, g k (C) è g k+n (C), çàäàþùèõ îäèíàêîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåáåð è íàïðàâëåíèé èõïðîõîæäåíèÿ.

Òàêèå öèêëû ãîìîòîïíû â G îòíîñèòåëüíî v , à çíà÷èò è öèêëû C è g n (C)ãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî v . Òîãäà f |C ' f ◦ g n |C ' δ −n f |C δ n îòíîñèòåëíî f (v). Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà π1 (M, f (v)) ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé è åå ýëåìåíòû f |C è δ n êîììóòèðóþò. Ñîãëàñíî [26], ïðåäëîæåíèå 2.17, ýòè ýëåìåíòû ÿâëÿþòñÿ ñòåïåíÿìè îäíîãî ýëåìåíòàôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû. Ñëåäîâàòåëüíî, f |C è δ êîììóòèðóþò, à çíà÷èò f ◦ g|C ' f |C20îòíîñèòåëüíî f (v).2.4Íåîáõîäèìîñòü â Òåîðåìå 2.2Äîêàæåì ïðÿìîå óòâåðæäåíèå Òåîðåìû 2.2. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïèÿ, ïåðåâîäÿùàÿ f1 â f2 è O1 â O2 . Ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïèÿ, ïåðåâîäÿùàÿ f1 â f2 , áóäåò ãîìîòîïèåé, òðåáóåìîé â óñëîâèè 1.

Öèêëè÷åñêèå ïîðÿäêè ðåáåð â âåðøèíå îòíîñèòåëüíî îðèåíòàöèè ïåðåíåñåííîé èç âåðøèíû v âäîëü äåðåâà T íå ìåíÿþòñÿ ïðè ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè,÷òî äîêàçûâàåò óñëîâèå 2. Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 3 äîêàçàíî â Ëåììå 1.5.Äîêàæåì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 4. Íàéäåòñÿ ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïèÿ ht , 1 ≤ t ≤ 2, ìåæäóf˜1 è f2 . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé îïîðíûé öèêë Ci , ìåíÿþùèé îðèåíòàöèþ. Ñîãëàñíîîïðåäåëåíèþ dωX , âûïîëíåíîdωX (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), f2 |0Ci (wi ))= dωX (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , ht (wi ), f2 |0Ci (wi ))+KXiX (xk )N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , ht (wi ), xk )k=1−KXiX (xk )N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), xk ).k=1 ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå M = T 2 èëè Kl2 , ÷åòíîñòü ÷èñëàdωX (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), f2 |0Ci (wi ))ñëåäóåò èç îòñóòñòâèÿ íóëåé âåêòîðíîãî ïîëÿ X .

 ñëó÷àå M = S 2 ÷åòíîñòü ñëåäóåò èçixk = 2. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ÷åòíîñòè â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ÷åòíîñòü÷èñëàN (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , ht (wi ), xk ) − N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), xk )äëÿ êàæäîé òî÷êè xk .Êðèâûå f˜1 |Ci è f2 |Ci ãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî òî÷êè f2 (wi ). Ýòà ãîìîòîïèÿ â îáúåäèíåíèè ñ ãîìîòîïèåé ht äàåò îòîáðàæåíèå òîðà zi,1 : T 2 → M . Îáîçíà÷èì íà÷àëüíóþ òî÷êóxT íà òîðå, zi,1 (xT ) = f2 (wi ), è îðèåíòèðîâàííûå îáðàçóþùèå òîðà a, b, ãäå zi,1 |a = ht (wi ) èzi,1 |b = f2 |Ci .

Âûáåðåì îðèåíòàöèþ OT íà òîðå, â êîòîðîé ðåïåð (a, b) ïîëîæèòåëåí. Ñîãëàñíî ëåììå 1.2, îòîáðàæåíèå zi,1 ìîæíî ïðîãîìîòîïèðîâàòü îòíîñèòåëüíî f2 (wi ) òàê, ÷òîáûîáðàç ïîëó÷åííîãî îòîáðàæåíèÿ ñîâïàäàë ñ îáðàçîì îäíîé êðèâîé. Îáîçíà÷èì ãîìîòîïèþzi,u , u ∈ [1, 2].21Ðàññìîòðèì ïîäíÿòèÿ z̃i,1 , z̃i,2 è z̃i,u |ht (wi ) îòîáðàæåíèé zi,1 , zi,2 è zi,u |a íà îðèåíòèðóþùåå íàêðûòèå M̃ . Ïîñêîëüêó ó êàæäîãî èç îòîáðàæåíèé zi,1 è zi,2 îáðàçóþùàÿ a ñîõðàíÿåòîðèåíòàöèþ, à îáðàçóþùàÿ b ìåíÿåò, z̃i,1 è z̃i,2 ÿâëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿìè öèëèíäðà â M̃ .Âûáåðåì ïîäíÿòèÿ z̃i,1 , z̃i,2 èäóùèìè ìåæäó ïàðîé òî÷åê, íàêðûâàþùèõ f2 (wi ), â îäíîìíàïðàâëåíèè. Ïîñêîëüêó îñíîâàíèÿ öèëèíäðà zi,u |a ñîõðàíÿþò îðèåíòàöèþ, z̃i,u |a ÿâëÿåòñÿ îáîáðàæåíèåì äâóõ öèëèíäðîâ â M̃ .

Ìîæíî ïðåäñòàâèòü z̃i,u |a êàê îáúåäèíåíèå äâóõ(1)(2)îòîáðàæåíèé öèëèíäðîâ z̃i,u |a è z̃i,u |a , êàæäîå èç êîòîðûõ íàêðûâàåò z̃i,u |a .(1)(2)Îáúåäèíåíèå îòîáðàæåíèé z̃i,1 , z̃i,u |a , z̃2 è z̃i,u |a çàäàåò îòîáðàæåíèå òîðà â M̃ . Ñî(1)ãëàñíî ëåììå 1.3 ñòåïåíü ýòîãî îòîáðàæåíèÿ â êàæäîé èç òî÷åê x̃k(2)è x̃kðàâíà íóëþ.Çàìåòèì, ÷òî ðàçíèöà N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , ht (wi ), xk ) − N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), xk ) ðàâíà(1)ñóììå ñòåïåíåé îòîáðàæåíèÿ z̃i,1 â òî÷êàõ x̃k(2)è x̃k .

Çàìåòèì, ÷òî îáðàç z̃i,2 ëåæèò íà(1)íàêðûòèè îáðàçà îäíîé êðèâîé, à çíà÷èò íå ñîäåðæèò òî÷åê x̃k(2)è x̃k(1)è åãî ñòåïåíè â(1)(2)ýòèõ òî÷êàõ ðàâíû íóëþ. Íàêîíåö, ñóììà ñòåïåíåé îòîáðàæåíèÿ z̃i,u |a â òî÷êàõ x̃k , x̃k(2)ðàâíà ìèíóñ òàêîé æå ñóììå îòîáðàæåíèÿ z̃i,u |a ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 2.1. Íî â îáúåäèíÿ(2)þùåì îòîáðàæåíèè òîðà îðèåíòàöèÿ öèëèíäðà â ïðîîáðàçå z̃i,u |a äîëæíà áûòü çàìåíåíàíà ïðîòèâîïîëîæíóþ. Ïîýòîìó òðåáóåìàÿ ðàçíèöà ÷èñåë N ðàâíà ìèíóñ óäâîåííîé ñóììå(1)(1)(2)ñòåïåíåé îòîáðàæåíèÿ z̃i,u |a â òî÷êàõ x̃k è x̃k , à çíà÷èò ÷åòíà.Çàìå÷àíèå 2.1. Ïóñòü f : K → M íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõ-íîñòè K â ïîâåðõíîñòü M , è îãðàíè÷åíèå f íà ëþáóþ çàìêíóòóþ êðèâóþ ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ.

Ïóñòü f˜(1) , f˜(2) : K → M̃ äâà ïîäíÿòèÿ îòîáðàæåíèÿ f íà îðèåíòèðóþùååíàêðûòèé M̃ . Ðàññìîòðèì òî÷êó x ∈ M \ Im(f |∂K ) è íàêðûâàþùèå åå òî÷êè x̃(1) , x̃(2) . Òîãäà deg(f˜(1) , OK , deg x̃(1) , OM̃ ) = − deg(f˜(2) , OK , deg x̃(2) , OM̃ ) äëÿ ëþáûõ îðèåíòàöèé OK ,OM̃ íà K è M̃ .Çàìå÷àíèå 2.1 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êàæäîìó äèñêó â ïðîîáðàçå (f˜(1) )−1 (Ux̃(1) ) îêðåñòíîñòè Ux̃(1) òî÷êè x̃(1) ñîîòâåòñòâóåò àíàëîãè÷íûé äèñê â ïðîîáðàçå (f˜(2) )−1 (Ux̃(2) ), ïðè÷åìîòîáðàæåíèÿ äèñêîâ îðèåíòèðîâàííû ïðîòèâîïîëîæíî.Òåïåðü ðàññìîòðèì åùå îäèí îïîðíûé öèêë Cj , ìåíÿþùèé îðèåíòàöèþ è äîêàæåìdωX (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), f2 |0Ci (wi ))−dωX (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , f2 (wj ), f2 |0Cj (wj )) = 0.Ïóñòü òî÷êè wi è wj ñîåäèíÿþòñÿ â äåðåâå T ïðîñòûì ïóòåì V , îðèåíòèðîâàííûì îò wi êwj .

 ñèëó ðåãóëÿðíîñòè îòîáðàæåíèÿ ht ïðè êàæäîì t ∈ [1, 2], êðèâûå ht |0Ci (wi )/|ht |0Ci (wi )|22è ht |0V (wi )/|ht |0V (wi )| â T 1 M íå ïåðåñåêàþòñÿ. Çíà÷èò, ht |0Ci (wi ) è ht |0V (wi ) äåëàþò îäèíàêîâîå ÷èñëî îáîðîòîâ îòíîñèòåëüíî X èdωX (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , ht (wi ), f2 |0Ci (wi ))= 2ωX (ht |0Ci (wi ), O2,i )= 2ωX (ht |0V (wi ), O2,i ),ãäå ïåðâîå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç ëåììû 1.5. Àíàëîãè÷íîdωX (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , ht (wj ), f2 |0Cj (wj ))= 2ωX (ht |0Cj (wj ), O2,j )= 2ωX (ht |0V (wj ), O2,j ).Çàìåòèì, ÷òî êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûå îòîáðàæåíèÿ ht |0V (wi ) è ht |0V (wj ) ñîåäèíåíû ãîìîòîïèåéht |0V (wu ), ãäå òî÷êà wu ïðîáåãàåò ïóòü V .

Ñîãëàñíî Ëåììå 1.5ωX (ht |0V (wi ), O2,i )−ωX (ht |0V (wj ), O2,j )=−KXiX (xk )N (ht (wi ), O2,i , ht (wj ), O2,j , xk ).k=1Ïîëó÷àåìdωX (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), f2 |0Ci (wi ))−dωX (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , f2 (wj ), f2 |0Cj (wj ))= dωX (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , ht (wi ), f2 |0Ci (wi ))−dωX (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , ht (wj ), f2 |0Cj (wj ))+KXiX (xk )N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , ht (wi ), xk )k=1−KXiX (xk )N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), xk )k=1−KXiX (xk )N (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , ht (wj ), xk )k=1+KXiX (xk )N (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , f2 (wj ), xk )k=123= −2KXiX (xk )N (ht (wi ), O2,i , ht (wj ), O2 (f2 (wj )), xk )k=1+KXiX (xk )N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , ht (wi ), xk )k=1−KXiX (xk )N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), xk )k=1−KXiX (xk )N (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , ht (wj ), xk )k=1+KXiX (xk )N (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , f2 (wj ), xk ).k=1 ñëó÷àå M = T èëè Kl2 ýòî âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ âñëåäñòâèå îòñóòñòâèÿ íóëåé ó2âåêòîðíîãî ïîëÿ X .