Погружения графов в поверхности, страница 2

A.Ò. Ôî-ìåíêî, ä.ô.-ì.í. À.Â. Áîëñèíîâ, ä.ô.-ì.í. À.Ñ. Ìèùåíêî, ä.ô.-ì.í. À.À. Îøåìêîâ, ê.ô.ì.í. Å.À. Êóäðÿâöåâà, ê.ô.-ì.í. È.Ì. Íèêîíîâ, ê.ô.-ì.í. À.Þ. Êîíÿåâ), Ìîñêâà, ÌÃÓ,2006, 2011, 2012, 2015 ãã.,(2) íà ñåìèíàðå Óçëû è òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé (ðóêîâîäèòåëè ä.ô.-ì.í. Â.Î. Ìàíòó-ðîâ, ê.ô.-ì.í. Ä.Ï. Èëüþòêî, ê.ô.-ì.í. È.Ì. Íèêîíîâ), Ìîñêâà, ÌÃÓ, 2015 ã.,(3) íà ñåìèíàðå Àëãåáðàè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ è åå ïðèëîæåíèÿ èì. Ì.Ì. Ïîñòíèêîâà(ðóêîâîäèòåëè ÷ë.-êîðð. ÐÀÍ Â.Ì. Áóõøòàáåð, ä.ô.-ì.í. À.Â. ×åðíàâñêèé, ä.ô.-ì.í.

È.À.Äûííèêîâ, ä.ô.-ì.í. Ò.Å. Ïàíîâ, ê.ô.-ì.í. Ë.À. Àëàíèÿ, ä.ô.-ì.í. À.À. Ãàéôóëëèí, ê.ô.ì.í. Ä.Â. Ìèëëèîíùèêîâ), Ìîñêâà, ÌÃÓ, 2015 ã.,(4) íà ñåìèíàðå Ñåìèíàð ïî ãåîìåòðè÷åñêîé òîïîëîãèè (ðóêîâîäèòåëü ÷ë.-êîðð. ÐÀÍÅ.Â. Ùåïèí), Ìîñâà, Ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò èìåíè Â.À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ, 2015, 2016 ãã.,(5) íà ñåìèíàðå Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå (ðóêîâîäèòåëüä.ô.-ì.í. Ñ.Þ.

Äîáðîõîòîâ), Ìîñêâà, Èíñòèòóò ïðîáëåì ìåõàíèêè èìåíè À.Þ. Èøëèíñêîãî ÐÀÍ, 2016 ã.,(6) íà íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîì ñåìèíàðå ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðîôåññîðà (Dr. Habil.)M. Boileau, Institut de Mathematiques de Toulouse, ã. Òóëóçà, Ôðàíöèÿ, 2007 ã.,(7) íà ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè Probability, analysis and geometry (Ìîñêâà, 26ñåíòÿáðÿ 1 îêòÿáðÿ 2016 ã.).ÏóáëèêàöèèÂñå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ïîëó÷åíû àâòîðîì ñàìîñòîÿòåëüíî è îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [13], [12], [14], â æóðíàëàõ èç ïåðå÷íÿ ÂÀÊ.61×èñëî âðàùåíèÿ: îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû1.1ÎïðåäåëåíèÿÌû áóäåì èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå ÷èñëà âðàùåíèÿ, ïðåäëîæåííîå â ðàáîòå [20] (è ååïðîäîëæåíèè [21]), ïîñêîëüêó ñ÷èòàåì åãî íàèáîëåå åñòåñòâåííûì è àíàëîãè÷íûì êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ äëÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè.

Õîòÿ â [20] äàíî îïðåäåëåíèå äëÿ ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ, ïî çàìå÷àíèþ ñàìîãî àâòîðà ýòî îïðåäåëåíèå è âñå ðåçóëüòàòû ëåãêîîáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ. Îïðåäåëåíèå â íàøåé ñòàòüå íåñêîëüêî îáîáùåíî. äàííîé ðàáîòå M ïðîèçâîëüíàÿ ãëàäêàÿ êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü. Áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî íà M çàäàíà ñòðóêòóðà ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ, àâòîìàòè÷åñêè çàäàþùóþíîðìó íà êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå â êàæäîé òî÷êå. Îáîçíà÷èì• pM : T M → M ïðîåêöèþ êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ T M íà M ,• pM,1 : T 1 M → M ïðîåêöèþ åäèíè÷íîãî êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ T 1 M íà ïîâåðõíîñòü M ,• p1 : T 0 M → T 1 M íîðìèðóþùóþ ïðîåêöèþ ïðîêîëîòîãî êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿT 0 M , ñîñòîÿùåãî èç íåíóëåâûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ, íà T 1 M .Ïóñòü G íåêîòîðûé êîíå÷íûé ñâÿçíûé ãðàô, âîçìîæíî, ñ ïåòëÿìè è êðàòíûìè ðåáðàìè, L îðèåíòèðîâàííûé ãðàô, ãîìåîìîðôíûé îòðåçêó, ñ ðåáðàìè â îäíîì íàïðàâëåíèè.Îïðåäåëåíèå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîé êðèâîé è ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè.

Îòîáðà-æåíèå ξ : L → T M íàçîâåì êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûì, åñëè• ξ íåïðåðûâíî íà ðåáðàõ, è â êàæäîé âåðøèíå èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ îäíîñòîðîííèåïðåäåëû â îäíîì ñëîå,• ξ(u) ∈ T 0 M , u ∈ L,• íèêàêèå äâà îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëà â îäíîé âåðøèíå íå èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûåíàïðàâëåíèÿ.Ñåìåéñòâî ξt , t ∈ [0, 1] êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ îòîáðàæåíèé ξ0 , ξ1 : L → T M íàçîâåìðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèåé, åñëè7• îòîáðàæåíèå ξt êóñî÷íî-ðåãóëÿðíî äëÿ êàæäîãî t ∈ [0, 1],• äëÿ êàæäîãî çàìêíóòîãî ðåáðà e ïðè äîîïðåäåëåíèè ξt |e â âåðøèíàõ ïî íåïðåðûâíîñòè ñåìåéñòâî ξt |e , t ∈ [0, 1], ÿâëÿåòñÿ ãîìîòîïèåé.Êðèâóþ γ : L → M íàçîâåì êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîé, åñëè âåêòîð ñêîðîñòè γ 0 îïðåäåëåí âêàæäîé âíóòðåííåé òî÷êå ðåáåð, è ìîæåò áûòü äîîïðåäåëåí â âåðøèíàõ ïî íåïðåðûâíîñòèñïðàâà, è îòîáðàæåíèå γ 0 : L → T M êóñî÷íî-ðåãóëÿðíî.Ãîìîòîïèþ γt , t ∈ [0, 1] êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ γ0 , γ1 : L → M íàçîâåì ðåãóëÿð-íîé, åñëè• îòîáðàæåíèå γt êóñî÷íî-ðåãóëÿðíî äëÿ êàæäîãî t ∈ [0, 1],• γt0 ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèåé îòîáðàæåíèé γ00 è γ10 .Ïîãðóæåíèå f : G → M íàçîâåì êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûì, åñëè îíî êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîíà êàæäîì ïðîñòîì ïóòè.

Åñëè ãðàô G ïðîñòîé öèêë, òî ïîãðóæåíèå f áóäåì íàçûâàòü çàìêíóòîé îðèåíòèðîâàííîé êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîé êðèâîé. Ãîìîòîïèþ ft , t ∈ [0, 1]êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé f0 , f1 : G → M íàçîâåì ðåãóëÿðíîé, åñëè îíà ðåãóëÿðíàíà êàæäîì ïðîñòîì ïóòè.Îïðåäåëåíèå ωX (f , Ox0 , x0 , f (0), θx0 ) ∈ Z. Ïóñòü S ãðàô, ÿâëÿþùèéñÿ îðèåíòè-ðîâàííûì ïðîñòûì öèêëîì ñ âûäåëåííîé òî÷êîé 0. Ïóñòü íà êîìïàêòíîé ïîâåðõíîñòèM äàíî âåêòîðíîå ïîëå X è êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîå îòîáðàæåíèå f : S → T M òàêèå, ÷òîpM (f (0)) = x0 è f (0) = X(x0 ) äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè x0 ∈ M , è îáðàç pM ◦ f íå ñîäåðæèòíóëè âåêòîðíîãî ïîëÿ X .

Ïóñòü Ox0 íåêîòîðàÿ ëîêàëüíàÿ îðèåíòàöèÿ â òî÷êå x0 . Ïóñòüθx0 : [0, 1] → T 1 M íåêîòîðûé ïóòü â ñëîå p−1M,1 (x0 ), ñîåäèíÿþùèé íåïðåðûâíî òî÷êèθx0 (0) = p1 (X(x0 )) è θx0 (1) = p1 (f (0)). Ââåäåì ïîíÿòèå ÷èñëà âðàùåíèÿ â ÷åòûðå øàãà.Øàã 1. Ïîñòðîèì íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f ∗ , ÿâëÿþùååñÿ ðåãóëÿðèçàöèåé îòîáðàæåíèÿ p1 ◦ f . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì îðèåíòèðîâàííûé ïðîñòîé öèêë S ∗ ∼= S 1 , ïîëó÷åííûé èç öèêëà S ðàçðåçàíèåì â êàæäîé âåðøèíå è ñîåäèíåíèåì äâóõ ïîëó÷åííûõ âåðøèííîâûì ðåáðîì äëèíû 1. Íà èñõîäíûõ îòêðûòûõ ðåáðàõ ïîëîæèì f ∗ ðàâíûì p1 ◦ f , ââåðøèíûõ äîîïðåäåëèì ïî íåïðåðûâíîñòè è ïðîäîëæèì íà íîâûõ ðåáðàõ f ∗ ïî êðàò÷àéøåìó ïóòè ìåæäó îáðàçàìè âåðøèí â ñëîå. Èç êóñî÷íîé ðåãóëÿðíîñòè îòîáðàæåíèÿ fñëåäóåò, ÷òî f ∗ : S 1 → T 1 M îïðåäåëåíî êîððåêòíî è îäíîçíà÷íî.

Äàëåå äîïîëíèì f ∗ äîfθ∗ = θx0 · f ∗ · θx−1: S 1 → T 0 M . ×åðåç θx−1îáîçíà÷åíî ïðîõîæäåíèå ïóòè θx0 â îáðàòíîì00íàïðàâëåíèè.8Øàã 2. Íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå pM,1 ◦ fθ∗ : S 1 → M çàäàåò èíäóöèðîâàííîå ðàññëîåíèå pf : E f → S 1 ñî ñëîåì S 1 òàêîå, ÷òî äèàãðàììà íà ðèñóíêå 1 êîììóòàòèâíà, ãäå FFEfpf/T 1MpM,1 ◦fθ∗S1/pM,1MÐèñ. 1: Êîììóòàòèâíàÿ äèàãðàììàÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì íà êàæäîì ñëîå. Òîòàëüíîå ïðîñòðàíñòâî E f ÿâëÿåòñÿ òîðîì èëèáóòûëêîé Êëåéíà â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñîõðàíÿåò pM,1 ◦ fθ∗ îðèåíòàöèþ èëè ìåíÿåò.Øàã 3. Êîìïîçèöèÿ (p1 ◦ X) ◦ (pM,1 ◦ fθ∗ ) : S 1 → T 1 M èíäóöèðóåò åäèíñòâåííîå ñå÷åíèåX f : S 1 → E f , äëÿ êîòîðîãî F ◦ X f = (p1 ◦ X) ◦ (pM,1 ◦ fθ∗ ).

Îòîáðàæåíèå fθ∗ èíäóöèðóåò åäèíñòâåííîå ñå÷åíèå Z f : S 1 → E f , äëÿ êîòîðîãî F ◦ Z f = fθ∗ . Èç fθ∗ (0) = θx0 (0) =p1 (X(x0 )) = p1 (X(pM,1 (fθ∗ (0)))) ïîëó÷àåì Z f (0) = X f (0), ñëåäîâàòåëüíî Z f è X f çàäàþò ýëåìåíòû [Z f ], [X f ] ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû π1 (E f , X f (0)).

Ïîäðîáíàÿ äèàãðàììàîòîáðàæåíèé ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 2.pfX f ,Z fS1/FE fOfθ∗pM,1 ◦fθ∗T= 1 MOpM,1p1 ◦X/MÐèñ. 2: Ïîäðîáíàÿ äèàãðàììàØàã 4. Åñëè çàìêíóòûé ïóòü pM,1 ◦ fθ∗ ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, òî E f òîð, èπ1 (E f , X f (0)) ∼= ha, b | aba−1 b−1 = 1i.Åñëè pM,1 ◦ fθ∗ ìåíÿåò îðèåíòàöèþ, òî E f áóòûëêà Êëåéíà, è π1 (E f , X f (0)) ∼= ha, b |aba−1 b = 1i. Ìîæíî âûáðàòü a = [X f ], è b ïðåäñòàâëåííûì îðèåíòèðîâàííûì ñëîåì(pf )−1 (0) ñ ïîëîæèòåëüíîé îòíîñèòåëüíî Ox0 îðèåíòàöèåé. Òîãäà pf] (a) ïîðîæäàåò π1 (S 1 ) ∼=Z è pf] (b) = 0. Èç pf] ([Z f ]) = pf] (a) ñëåäóåò ÷òî [Z f ] = bm a äëÿ íåêîòîðîãî åäèíñòâåííîãîm ∈ Z.

Îïðåäåëèì ÷èñëî âðàùåíèÿ ωX (f, Ox0 , x0 , f (0), θx0 ) = m.Íåôîðìàëüíî ÷èñëî âðàùåíèÿ ðàâíî ÷èñëó îáîðîòîâ, êîòîðîå äåëàåò âåêòîð f îòíîñèòåëüíî X . ×òîáû íàïðàâëåíèÿ ñîâïàäàëè â íà÷àëüíîé òî÷êå, f äîïîëíÿåòñÿ âðàùåíèåìâäîëü θx0 âíà÷àëå è θx−1â êîíöå.09 äâóõ ñëó÷àÿõ îáîçíà÷åíèå ÷èñëà âðàùåíèÿ ìîæíî ñîêðàòèòü. Åñëè f (0) = X(x0 ), òîïóòü θx0 ìîæíî âûáðàòü òîæäåñòâåííûì θx0 = constX(x0 ) .  ýòîì ñëó÷àå ÷èñëî îáîçíà÷èìâðàùåíèÿ ωX (f, Ox0 , x0 , X(x0 )) := ωX (f, Ox0 , x0 , f (0), constX(x0 ) ).Åñëè ïóòü pM ◦ f ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, òî åñòü E f ÿâëÿåòñÿ òîðîì, òî ÷èñëî âðàùåíèÿ íå çàâèñèò îò âûáîðà ïóòè θx0 : ïðè äîáàâëåíèè ê θx0 îäíîãî îáîðîòà â ñëîå êïóòè Z f äîáàâëÿåòñÿ îáðàçóþùàÿ b âíà÷àëå è b−1 â êîíöå.

Ñëåäîâàòåëüíî îáîçíà÷åíèå÷èñëà âðàùåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ñîêðàòèòü äî ωX (f, Of (0) ).  ñëó÷àå êîãäà ïóòüpM ◦ f ìåíÿåò îðèåíòàöèþ, ïðè äîáàâëåíèè ê θx0 îäíîãî îáîðîòà â ñëîå ÷èñëî âðàùåíèÿωX (f, Ox0 , x0 , f (0), θx0 ) óâåëè÷èâàåòñÿ íà 2. Ñëåäîâàòåëüíî äëÿ äâóõ îòîáðàæåíèé f1 , f2 ,pM (f1 (0)) = pM (f2 (0)) = x0 , f1 (0) = f2 (0), ðàçíîñòüωX (f1 , Ox0 , x0 , f1 (0), θx0 ) − ωX (f2 , Ox0 , x0 , f2 (0), θx0 )íå çàâèñèò îò âûáîðà θx0 . ñòàòüå ÷àùå âñåãî ÷èñëî âðàùåíèÿ áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ äëÿ âåêòîðà ñêîðîñòè γ 0êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîãî ïóòè γ : S → M .  ýòîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü î ÷èñëå âðàùåíèÿêóñî÷íî-ðåãóëÿðíîãî ïóòè è îáîçíà÷àòüωX (γ, Ox0 , x0 , γ 0 (x0 ), θx0 ) := ωX (γ 0 , Ox0 , x0 , γ 0 (x0 ), θx0 ).Îïðåäåëåíèå öåëûõ ÷èñåë N(γ1 , O1 , γ2 , O2 , x) è N(γ1 , O1 , γ2 , γt (0), x).

Ïóñòü M êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü, äëÿ êîòîðîé π2 (M ) = 0. Ïóñòü γ1 è γ2 äâå ãîìîòîïíûå çàìêíóòûå îðèåíòèðîâàííûå, êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûå êðèâûå íà M è çàäàíû ëîêàëüíûåîðèåíòàöèè O1 è O2 â òî÷êàõ γ1 (0) è γ2 (0). Ïóñòü òî÷êà x ïðèíàäëåæèò M \ (Imγ1 ∪ Imγ2 )è ñóùåñòâóåò ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïèÿ γt , t ∈ [1, 2], ïåðåâîäÿùàÿ γ1 â γ2 , ëîêàëüíóþ îðèåíòàöèþ O1 â O2 è ïåðåñåêàþùàÿ òî÷êó x òðàíñâåðñàëüíî êîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Åñëè êðèâûåγ1 , γ2 ìåíÿþò îðèåíòàöèþ, òî äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî γ1 (0) = γ2 (0) è êðèâàÿγt (0) ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ. Íàçîâåì ïåðåñå÷åíèå γt (s) = x ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ðåïåð∂γt (s) ∂γt (s), ∂sïîëîæèòåëüíûé â îðèåíòàöèè, ïåðåíåñåííîé èç O1 âäîëü ãîìîòîïèè, èíà÷å∂tíàçîâåì ïåðåñå÷åíèå îòðèöàòåëüíûì.