Нелинейная модель Больцмана - Энскога и автокорреляционные функции

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиМасленников Илья ИгоревичНЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ БОЛЬЦМАНА – ЭНСКОГА ИАВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИСпециальность: 01.04.02 – теоретическая физика.Авторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква 2013 г.Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физическогофакультета Московского государственного университета имени М.В.

Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профессоркафедры математики и информатикиМеждународного университета природы, обществаи человека “Дубна” Иноземцева Н.Г.Официальные оппоненты:доктор физико – математических наук, профессоркафедры теоретической физики Башкирскогогосударственного университета М.Х.Харрасовдоктор физико-математических наук, профессоркафедры общей физики и магнитоупорядоченныхсред С.С. КротовВедущая организация:Лаборатория теоретической физики имениН.

Н. Боголюбова Объединенный ИнститутЯдерных Исследований, г. ДубнаЗащита состоится “5” декабря 2013г. в 16 ч.30 мин. на заседании Диссертационного советаД 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова поадресу:119991, Москва, ГСП-1, Воробьёвы горы, МГУ, д. 1, строение 2, физический факультет,аудитория “СФА”С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имениМ.В Ломоносова.Автореферат разослан “” октября 2013г.Учёный секретарьДиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико - математических наук,профессорП.А.

Поляков.2Общая характеристика работы.В диссертации исследованы свойства кинетического уравнения дляклассических систем частиц с бинарным взаимодействием, содержащимтвердый “кор” и дальнодействующую компоненту, и рассмотреныобобщенные линеаризованные гидродинамические уравнения в моделитвердых сфер.Актуальность темы.Изучение процессов установления равновесия в классическойстатистической механике имеет важное значение для обоснованиякинетических теорий, так как для этих процессов существуют способысокращения описания микроскопических систем, в той или иной степенииспользующих идеи Максвелла и Гильберта: кинетические уравнения дляприведенных функций распределения, получаемые при том или иномспособе расцепления бесконечной цепочки интегро-дифференциальныхуравнений Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда, Ивона (ББГКИ).Нелинейные системы с бесконечным числом степеней свободы не могутбыть проанализированы с помощью достаточно надежных математическихметодов, вследствие чего возникает необходимость построения различныхмоделей.

В свою очередь подобные модели, значительно упрощающиекартину неравновесных макроскопических процессов, оказываютсянедоступными для точного математического рассмотрения и требуютразработки приближенных методов. Постановка и решение проблем,касающихся определения области применимости подобных моделей, вплотьдо настоящего времени, относятся к классу наиболее трудных задачстатистическоймеханики.Другоенаправлениеисследованийпредравновесныхсостоянийсвязаносметодомвременныхавтокорреляционных функций (ВКФ).Интерес к их использованиюобусловлен несколькими обстоятельствами.

Во-первых, усреднение ВКФ повремени позволяет найти замкнутые представления для коэффициентовпереноса. Во-вторых, зависимость ВКФ от времени содержит информацию остепени важности различных механизмов релаксации на том или ином этапеприближения к равновесному состоянию. В-третьих, результатыэкспериментальных исследований динамики многочастичных процессов3путем моделирования на ЭВМ допускают удобную формулировкупосредством ВКФ токов сдвиговой вязкости и теплопроводности.Особую актуальность приобрело исследование моделей, обладающихточными решениями и применимых к системам умеренной плотности.

Впредлагаемой диссертационной работе впервые проведено исследованиесвойств кинетического уравнения для систем частиц с бинарнымвзаимодействием, содержащим твердый “кор” и дальнодействующуюкомпоненту - обобщенного уравнения Больцмана-Энскога. На основеприближенного подхода к анализу коллективных взаимодействийрассмотрены обобщенные линеаризованные гидродинамические уравнения вмодели твердых сфер, и впервые показано, что обобщенная матрицакоэффициентов переноса не является самосопряженной при учете конечныхразмеров области двухчастичного взаимодействия.Цель диссертационной работы.Целью настоящей диссертационной работы является построениерешений нелинейного уравнения Больцмана-Энскога в акустическом игидродинамическомприближениях и их применение к вычислениюасимптотики кинетических частей временных автокорреляционных функцийтоков сдвиговой вязкости и теплопроводности.

Изучается также решениеобобщённых гидродинамических уравнений, возникающих при анализесвойств решений приближенного кинетического уравнения в модели твердыхсфер, учитывающего коллективные взаимодействия.Научная новизна работы.Научная новизна диссертации состоит в следующем:­ Получены решения обобщенного нелинейного уравненияБольцмана-Энскога, соответствующие малым периодическимвозмущениям функции распределения;­ Впервые найдено замкнутое аналитическое выражение дляасимптотики временных автокорреляционных функций токовсдвиговой вязкости и теплопроводности, полученное с учетомдальнодействующий компоненты бинарного взаимодействия;4­ Впервые доказана неэрмитовость матрицы коэффициентовпереноса для обобщенного кинетического уравнения дляодночастнойфункциираспределения,учитывающегоколлективные взаимодействия.Научная и практическая значимость.Полученные в диссертации теоретические результаты вносят весомыйвклад в решение проблемы описания процессов релаксации вмакроскопических системах с реалистическим бинарным взаимодействием.Полученные решения могут быть использованы для расчета поправок квеличинам коэффициентов переноса, рассчитанных на основе классическогоуравнения Больцмана.Апробация работы.Результаты диссертации докладывались на семинарах теоретическогоотдела Института Ядерной Физики в Ржеже (Чешская Республика), вЛаборатории теоретической физики имени Н.Н.

Боголюбова Объединённогоинститутаядерныхисследований,нафизическомфакультетеГосударственного Санкт-Петербургского университета, на Международномконгрессе по математической физике (Прага, Чешская Республика, 2009 год),Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рожденияН.Н. Боголюбова (Дубна, 2009 год).Публикации.По теме диссертации опубликованы 4 печатных работы, из низ 3 вжурналах из списка ВАК и одна монография, ссылки на которые указаны вконце автореферата.5Структура диссертации.Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения исписка литературы.

Полный объем диссертации составляет 104 страницы.Список литературы включает 68 ссылок.Содержание диссертации.Во введении содержится обзор современного состояния исследованияпроблем кинетической теории, рассматриваемых в диссертации.Сформулированы цели проведенных исследований.

Кратко освещаетсясодержание работы.В первой главе исследованы решения уравнения Больцмана-Энскога сдальнодействиемf  t , r1, v1   v1f  t , r1, v1  tr1 na 2**  v2,1σ  f  t , r1, v1  f t , r1  aσ , v2   f t , r1, v1  f t , r1  aσ , v2  dσdv2 (1) v2,1 σ 0n  0  r1  r2   t2 , r2  dr2f  t , r1, v1  ,mr1v1где n –равновесная плотность, a - диаметр твердого «кора», f  t , r , v  одночастичнаяфункцияраспределения,σ  1, v1*, v2*  v1  σ   v2  v1  σ  ,  t , r2    f  t , r2 , v2  dv2 , дальнодействующая компонента потенциала 0  r1  r2 , позволяющая применить уравнение (1) для описания процессов в реальныхсистемах.В §1 рассмотрены свойства оператора Больцмана-Энскога,возникающего при определении структуры решений уравнения (1),соответствующих малым отклонениям функции распределения f  t , r , v  отравновесных. С этойраспределения в видецельюиспользуетсяпредставлениефункцииf  0 1    ,3 mv 2  m 20  , exp  2  2 6(2)где   t , r , v    eikr  kz  v   e zt dzdk ,  - равновесная температура, m - массачастицы.

Построение явного вида решений (2) эквивалентно рассмотрениюспектральной задачиikv  nˆ k  v  kz  v   mn 10 v0 ik  kz  v '0  v ' dv '    k   zkz  v  ,(3)где   k    0  q  eikq dq , ̂ k  v  - оператор Больцмана-Энскогаˆ  v    v   a2k v ' v  σ  0    v ' v  σ    v*   v* ' eiakσ    v     v ' eiakσ  dσ ,(4)где σ  1 , v*, v* '  v  σ   v ' v  σ  .̂ k  v  ,Спектр оператора Больцмана-Энскогане коммутирующего ссопряженным ему ˆ k  v  , вырожден при k  0 .В §2 определены решения спектральной задачи в первом порядке попараметру однородности  :  r0,где r0 - масштаб убывания 0  r1  r2  , r0a.Собственные функции оператора, стоящего в правой части (3), не являютсяортогональными при введении скалярного произведения ,     *0  v  dv.Построенестественныйбазисдлявычисления kz  v  ,соответствующих гидродинамическим возмущениям z  k   0 при  k   0 , иопределены нормированные решения спектральной задачи (3) в первомпорядке по параметру однородности.Гидродинамическая часть спектра проанализирована в §3, гдепоказано, что форма поправок к гидродинамической части спектраопределяется тензором   , ev     , ev    jG jls0ssS7l0(5)где s - собственные функции оператора Больцмана, отвечающие ненулевымсобственным значениям s , а 0 j  - решения спектральной задачи (3) впервом порядке по параметру однородности, e k.kГлава 2 посвящена изучению свойств нелокального кинетическогоуравнения в модели твёрдых сфер, получающегося при обрыве цепочкиуравнений ББГКИ посредством предположения G3  0 в представлении дляфункции распределения видаF2  t;1, 2   F1  t;2  F1  t;2   G2  t;1, 2  ,F3  t;1, 2,3  F1  t;1 F1  t;2  F1  t;3  F1 t; i  G2 t; j, k   G3 t;1, 2,3...(6)i j kЗдесь введено обозначение F1  t;1  f  t , r1, v1  , F1  t;2   f  t , r2 , v2  , F2  t;1, 2  двухчастичная функция распределения.

В §1 рассмотрен выводлинеаризованного кинетического уравнения, описывающего состояниесистемы твердых сфер, близкое к равновесному. Оно получается послеисключения 2  t;1, 2  из линейной системы уравнений t  t 0 (1)  10 t;1  n  dx20  v2  Tˆ12  1  t;1  1  t; 2   2  t;1, 2  1, 2   Tˆ12  12  Tˆ12 1  t;1  1  t; 2  (7) n  dx30  v3  Tˆ13  2  t ;1, 2   2  t ; 2,3   Tˆ23  2  t ;1, 2   2  t;1,3    ,где 1 , 2 - отклонения функций F1  t;1 и G2  t;1, 2 от их равновесныхзначений,F1  t;1  0  v1  1  1  t;1 (8)G2  t;1, 2   0  v1  0  v2  2  t;1, 2 0  v1  - равновесная максвелловская функцияx  r, v  ;0 i, j  Tˆij  a 20i   v j vi σ 0распределения,0 (1) v1;r10 ( j ),dσ  v j  vi σ   ri  r j  aσ bˆσ   ri  r j  aσ  ,8(9)a-диаметр сферы, σ - единичный вектор, b̂σ - оператор замены скоростей v j ,vi на vi  σ vi  v j σ  , v j  σ vi  v j σ  соответственно.