Диссертация (Моделирование магнитных полей галактик в планарном приближении), страница 6

Ïåðâûé îòíîñèòñÿ ê ñëàáî28ïîäîãðåòîé ñðåäå, â êîòîðîé îñíîâíóþ äîëþ ñîñòàâëÿåò àòîìàðíûé âîäîðîä HIñ íåáîëüøîé ïðèìåñüþ èîíèçîâàííîãî, âòîðîé ê ãîðÿ÷åìó ìåæçâåçäíîìó ãàçó, ñîñòîÿùåìó ïðåèìóùåñòâåííî èç èîíèçîâàííîé êîìïîíåíòû HII. Ïîñëåäíååîïèñûâàåò ñðåäó â ñëó÷àå íàëè÷èÿ â äàííîé îáëàñòè ðàçëè÷íûõ àêòèâíûõ ïðîöåññîâ, à âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïàðàìåòðû ïðèíèìàþò èìåííî òàêèå çíà÷åíèÿ,ìîæíî ñâÿçàòü ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ èëè òåìïîì çâåçäîîáðàçîâàíèÿ [53].Îñíîâíîé ðåçóëüòàò äëÿ îáîèõ ïîäõîäîâ îêàçûâàåòñÿ ïðèìåðíî òåì æå. Ïðèíåáîëüøîé ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè çâåçäîîáðàçîâàíèÿ, íå ñèëüíî ïðåâûøàþùåé äàííîå çíà÷åíèå â Ìëå÷íîì Ïóòè èëè M 31, ïîâåäåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿìåíÿåòñÿ î÷åíü ñëàáî.

Îäíàêî, ïðè äîñòèæåíèè îïðåäåëåííîãî ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ ïðîèñõîäèò ðàçðóøåíèå êðóïíîìàñøòàáíîé ñîñòàâëÿþùåé è ìàãíèòíîåïîëå ìîæåò âîññòàíîâèòüñÿ òîëüêî ïîñëå îêîí÷àíèÿ âñïûøêè çâåçäîîáðàçîâàíèÿ [8, 37]. Çíà÷åíèå äàííîãî ïîðîãà â ðàìêàõ ïðåäëîæåííûõ îöåíîê ïðåâûøàåòäàííóþ âåëè÷èíó äëÿ Ìëå÷íîãî Ïóòè ïðèìåðíî â 57 ðàç.Îòìåòèì, ÷òî çàäà÷à ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñíå òîëüêî ñ òî÷êè çðåíèÿ àñòðîôèçèêè, íî è äëÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ðàíååàâòîð ó÷àñòâîâàë â ðåøåíèè ìîäåëüíîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ßêîáè ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè [54].

Äëÿ íåå áûëè ÷èñëåííî îïðåäåëåíû ñêîðîñòèýêñïîíåíöèàëüíîãî ðîñòà ðàçëè÷íûõ ìîìåíòîâ ðåøåíèÿ è ïîêàçàíî, ÷òî èìååòìåñòî ïåðåìåæàåìîñòü: ñòàðøèå ìîìåíòû ðàñòóò áûñòðåå ìëàäøèõ, ÷òî ìîæåòáûòü îáúÿñíåíî íàëè÷èåì ðåäêèõ, íî êðàéíå áûñòðî ðàñòóùèõ ðåøåíèé [38].Ýâîëþöèÿ ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü îïèñàíà ïðè ïîìîùè òàê íàçûâàåìîé òðàíñôîðìàöèîííîé ìàòðèöû. Äëÿ äàííîé çàäà÷è â ðàáîòå [40] áûëè âû÷èñëåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñêîðîñòè ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðîñòà ïðè t → ∞. Àâòîðîì ñîâìåñòíîñ È.È. Ìîäÿåâûì è Ä.Ä.

Ñîêîëîâûì [55] áûëè ïðîâåäåíû àíàëîãè÷íûå îöåíêèäëÿ çàäà÷è î ðîñòå ãàëàêòè÷åñêîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ðàìêàõ ìîäåëè äèíàìî ñîñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïîäòâåðæäåíî íàëè÷èå ïåðåìåæàåìîñòè, òàêèìîáðàçîì ìîæíî ãîâîðèòü î òîì, ÷òî ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàñòåò áûñòðåå,÷åì ñàìî ïîëå.

Ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû íå òîëüêî äëÿ29äàííîé çàäà÷è î çâåçäîîáðàçîâàíèè, íî è â äðóãèõ, ãäå èññëåäóåòñÿ ãåíåðàöèÿìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñèëüíî íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ.30Ãëàâà 2. Ãàëàêòè÷åñêîå äèíàìîŸ1. Ïëàíàðíîå ïðèáëèæåíèå.Ýâîëþöèÿ êðóïíîìàñøòàáíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ îïèñûâàåòñÿóðàâíåíèåì Øòååíáåêà Êðàóçå Ðýäëåðà [56]:∂B= rot [V,B] + rot (αB) + η∆B,∂tãäå V ñêîðîñòü êðóïíîìàñøòàáíûõ äâèæåíèé ìåæçâåçäíîé ñðåäû, α =τ3<v, rot v > êîýôôèöèåíò, îïèñûâàþùèé àëüôà-ýôôåêò (τ êîððåëÿöèîííîåâðåìÿ äëÿ òóðáóëåíòíûõ äâèæåíèé).Óðàâíåíèå Øòååíáåêà Êðàóçå Ðýäëåðà â ÿâíîì âèäå îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûì äëÿ èññëåäîâàíèÿ.

Ïîýòîìó â ïðèêëàäíûõ àñòðîôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ ðàññìàòðèâàþòñÿ åãî ðàçëè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ. Íèæå ìû îïèøåì òàê íàçûâàåìîå ïëàíàðíîå ïðèáëèæåíèå, ðàçðàáîòàííîå Ìîññîì [12], Ìåñòåëåì, Ñóáðàìàíèàíîì [47], Ôèëëèïñîì [13] è äð. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå çàâèñÿò îò ïîëÿðíîãî óãëà φ, à çàâèñèìîñòü îò êîîðäèíàòû zîïèñûâàåòñÿ êîñèíóñîèäàëüíûì çàêîíîì [13]:B(r, z) = B(r, 0) cos( πz )2h,à àëüôà-ýôôåêò ñèíóñîèäàëüíûì:α(z) = α0 sin( πz )2h,ãäå h ïîëóòîëùèíà ãàëàêòè÷åñêîãî äèñêà, α0 àìïëèòóäà àëüôà-ýôôåêòà.Êðóïíîìàñøòàáíûå äâèæåíèÿ ìåæçâåçäíîé ñðåäû ýòî äèôôåðåíöèàëüíîåâðàùåíèå ãàëàêòèêè: V = rΩeφ , [V,B] = rΩBz er − rΩBr ez . Òîãäà â ïëîñêîñòè ãàëàêòè÷åñêîãî äèñêà:rotr [V,B] = 0,rotφ [V,B] = rΩ∂Ω∂(rBr )∂Bz+ r Br + Ω=∂z∂r∂r31∂Ω∂ΩBr + rΩ div B = r Br .∂r∂r1 ∂(rBφ )rotz [V,B] =.r ∂rÄëÿ êîìïîíåíò âòîðîãî ðîòîðà èìååì:rotφ [V,B] = rrotr (αB) = −α′ (0)Bφ = −πα0Bφ ,2h∂Bz,∂r1 ∂(rα0 Bφ )rotz (αB) =.r∂rrac Ïðîèçâîäíûå ìàãíèòíîãî ïîëÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî êrotφ (αB) = −α0ïëîñêîñòè ãàëàêòè÷åñêîãî äèñêà, ìîãóò áûòü çàïèñàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂ 2 Br,φπ 2 Br,φ=−.∂z 24h2Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ñîñòàâëÿþùàÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê äèñêó, äîñòàòî÷íî ìàëà, à õàðàêòåðíûé ìàñøòàá èçìåíåíèÿ âåëè÷èí â ïëîñêîñòèäèñêà íàìíîãî áîëüøå, ÷åì â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè, ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿñîñòàâëÿþùèõ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïëîñêîñòè äèñêà, ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:∂Brπα0π 2 Br∂ 1 ∂=−Bφ − η 2 + η{ ((rBr ))},∂t2h4h∂r r ∂r∂Ωπ 2 Bφ∂ 1 ∂∂Bφ= r Br − η+η{((rBφ ))},∂t∂r4h2∂r r ∂rÁóäåì èçìåðÿòü ðàññòîÿíèÿ â ãàëàêòè÷åñêèõ ðàäèóñàõ R (ò.å.

0 < r < 1), àâðåìÿ - â h2 /η. Òîãäà óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìå:∂Brπ 2 Br∂ 1 ∂= −Rα Bφ −+ λ2 { ((rBr ))},∂t4∂r r ∂r(8)∂Ωπ 2 Bφ∂ 1 ∂∂Bφ= Rω r Br −+ λ2 { ((rBφ ))},(9)∂t∂r4∂r r ∂r22ãäå ââåäåíû áåçðàçìåðíûå êîýôôèöèåíòû Rα = πh2ηα0 , Rω = hη , λ = h/R. Îáû÷íî ïîëàãàþò [12, 13], ÷òî Rα = O(1), Rω = O(10), λ = O(10−2 ). Ðîñò ìàãíèòíîãî ïîëÿ îáóñëîâëåí ïåðåõîäîì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè òóðáóëåíòíûõ äâèæåíèé32â ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Êîãäà ïëîòíîñòü ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé ïëîòíîñòè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, ðîñò ìàãíèòíîãî ïîëÿ îñòàíàâëèâàåòñÿ.

Ïîýòîìó ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ B ∗ îïðåäåëÿåòñÿñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:B ∗2ρv 2=,8π2èëèB∗ = v√4πρ. ïðîñòåéøåì ñëó÷àå íàñûùåíèå ðîñòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæåò áûòü ó÷òåíî âñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé [13]:∂BrRα Bφπ 2 Br2 ∂ 1 ∂=−−+λ{ ((rBr ))},∂t1 + (Br2 + Bφ2 )/B ∗24∂r r ∂r(10)∂Bφ∂Ωπ 2 Bφ∂ 1 ∂= −Rω r Br −+ λ2 { ((rBφ ))}.(11)∂t∂r4∂r r ∂rÈññëåäóåì âîçìîæíîñòü ðîñòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ðàìêàõ ìîäåëè (8)(9). Ïîëîæèì λ = 0 :dBrπ2= −Rα Bφ − Br ,dt4dBφπ2= −Rω Br − Bφ .dt4Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå:0Br,φ = Br,φexp(γt).Òîãäà:π2 0=− Br ,4π2γBφ0 = −Rω Br − Bφ .4Ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî Br0 è Bφ0 , åñëè:γBr0−Rα Bφ0π2 2∂Ω(γ + ) = −Rα Rω r .4∂r33Ðåøåíèÿ äëÿ γ âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:γ=−2π±4√−Rα Rω r∂Ω∂rÐàñòóùèå ðåøåíèÿ âîçìîæíû â òîì ñëó÷àå, åñëè√∂Ω π 2−Rα Rω r> .∂r4Îáû÷íî ãàëàêòèêè èìåþò ïëîñêóþ êðèâóþ âðàùåíèÿ, ïîýòîìó â áåçðàçìåðíûõïåðåìåííûõ r ∂Ω∂r ≈ −1, ïîýòîìóRα Rω &π4≈716Êàê ïðàâèëî, äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ýôôåêòèâíîñòè ðàáîòû äèíàìî ââîäèòñÿòàê íàçûâàåìîå äèíàìî-÷èñëî D = Rα Rω , à òàêæå åãî êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèåDcr = 7.

Òàêèì îáðàçîì, ðàñòóùèå ðåøåíèÿ â ãàëàêòè÷åñêîì äèíàìî âîçìîæíûëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè çíà÷åíèå äèíàìî-÷èñëà áîëüøå êðèòè÷åñêîãî: D > Dcr .Ñêîðîñòü ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðîñòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ â áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàòàõ ðàâíà:γ = −2.46 ±√D.Åñëè ìû âåðíåìñÿ ê ôèçè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, òî ïîëó÷èì ÷òî:γ = (−2.46 ±√D)η.h2Ÿ2.

Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàãíèòíîé ñïèðàëüíîñòè.Äëÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé â èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé ñðåäå äîëæåí âûïîëíÿòüñÿçàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàãíèòíîé ñïèðàëüíîñòè. Ìàãíèòíàÿ ñïèðàëüíîñòü ýòî èíòåãðàë ïî çàäàííîìó îáúåìó îò ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàåãî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë:∫X =(A, B)dV.VÏîêàæåì, ÷òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàãíèòíîé ñïèðàëüíîñòè äåéñòâèòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà ïðîâîäèìîñòü ñðåäû ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè (ýòî, â34÷àñòíîñòè, ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ àêòóàëüíî äëÿ ìåæçâåçäíîãî ãàçà).  òàêîìñëó÷àå [48]:∫∂dX=(A, B)dV.dt∂tVÏîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ñëàãàåìûõ:∂∂A∂B(A, B) =B+A .∂t∂t∂t(12)Ïðîèçâîäíàÿ âåêòîð-ïîòåíöèàëà ïî âðåìåíè ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç âûðàæåíèÿ [57]:E = − grad φ −1 ∂A.c ∂tÒîãäà [48]:∂A= c(− grad φ − E).∂tÏðîèçâîäíàÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî âðåìåíè ìîæåò áûòü âûðàæåíà èç âòîðîãîóðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, êîòîðîå ïðè áåñêîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:rot E = −1 ∂B,c ∂tò.å.∂B= −c rot E.∂t òàêîì ñëó÷àå ïðîèçâîäíàÿ (12) çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂(A, B) = c{−B grad φ − (B, E) − (A, rot E)}.∂tÏî ôîðìóëàì âåêòîðíîãî àíàëèçà [58] ïîëó÷èì:B div φ = div (φB) − φ div B = div (φB) .(A, rot E) = (E, rot A) − div [E,B] = (E, B) − div [A,E].Òîãäà:∂(A, B) = c{− div (φB) − 2(B, E) + div [A,E]}∂t35(13)Èíòåãðèðóÿ ïî âñåé îáëàñòè è ïîëàãàÿ, ÷òî íà åå ãðàíèöàõ ýëåêòðè÷åñêîå èìàãíèòíîå ïîëå îáðàùàþòñÿ â íóëü, ïîëó÷èì ÷òî [48]:dX= −2cdt∫(E, B)dV.VÒîê âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:)1j = σ E + [v,B] ,c(ãäå σ ïðîâîäèìîñòü.

 ñëó÷àå áåñêîíå÷íî ïðîâîäÿùåé ñðåäû [59] σ → ∞ èäëÿ êîíå÷íîñòè òîêà íàäî ïîòðåáîâàòü:1cE + [v,B] = 0,ò.å.1cE = − [v,B],è òîãäà ìû ïîëó÷èì ÷òîdX= 0.dtŸ3. Óðàâíåíèÿ äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ïîòîêàìè ñïèðàëüíîñòè.Óðàâíåíèÿ (8)(9) çàïèñàíû äëÿ êðóïíîìàñøòàáíîé ñîñòàâëÿþùåé ìàãíèòíîãî ïîëÿ, è, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ó÷èòûâàþò òîãî ÷òî ñóùåñòâóåò ìåëêîìàñøòàáíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïîëÿ. Ó÷åñòü ýòîò ôàêò ìîæíî, ââåäÿ â àëüôà-ýôôåêò ñëàãàåìîå, îòâå÷àþùåå çà ìåëêîìàñøòàáíîå ïîëå:α = α0 + α1 ,ãäå α0 èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è ⠟ 2, à α1 ìàãíèòíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ àëüôàýôôåêòà, ñâÿçàííàÿ ñ ìåëêîìàñøòàáíîé ñîñòàâëÿþùåé ìàãíèòíîãî ïîëÿ [16]:α1 =1< τ (j, b) >,3ρ(14)ãäå ρ ïëîòíîñòü ìåæçâåçäíîé ñðåäû, j ïëîòíîñòü ìåëêîìàñøòàáíûõ òîêîâ,b ìåëêîìàñøòàáíîå ïîëå.

Ïîñêîëüêó j = rot b, b = rot a, à õàðàêòåðíûé36010-110-210-3B10-410-510-610-71005101520tÐèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ îò âðåìåíè äëÿ ìîäåëè áåç ó÷åòà ïîòîêîâñïèðàëüíîñòè. Rα = 1, ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò Rω = 5, ïóíêòèðíàÿ Rω = 10, øòðèõîâàÿ Rω = 15.ìàñøòàá èçìåíåíèÿ ìåëêîìàñøòàáíîãî ïîëÿ òàêîé æå, êàê è ðàçìåð òóðáóëåíòíûõ ÿ÷ååê, ìîæíî ïîëàãàòü ÷òî j ≈ b/l2 .

Òîãäà ÷òî ìàãíèòíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿàëüôà-ýôôåêòà ïðîïîðöèîíàëüíà ñïèðàëüíîñòè:1τ χ.3 l2 ρÅñëè ìû ïåðåéäåì â óðàâíåíèè (13) ê ýéëåðîâûì êîîðäèíàòàì è ó÷òåì êîα1 ≈íå÷íóþ äèññèïàöèþ, òî îíî ïðèìåò âèä [60, 16, 17, 49, 37]:∂χ+ div(χV) = −2η(E, B) − 2ηm < (j, b) > +η∆χ.∂t(15)Ïîòîêè ñïèðàëüíîñòè, êàê ïðàâèëî, íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ãàëàêòè÷åñêîìó äèñêó, èV0χ.hÂòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (13) ëåãêî âûðàæàåòñÿ ñ ó÷åòîì (14):div(χV) ≈η−2ηm < (j, b) >= −2 2 χ.l37010-1B10-210-31005101520tÐèñ. 3. Çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ îò âðåìåíè äëÿ ìîäåëè ñ ó÷åòîì ïîòîêîâñïèðàëüíîñòè.

Cïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò RV = 0.0, ïóíêòèðíàÿ RV =0.3, øòðèõîâàÿ RV = 0.5.2B100.20.40.60.81.0rÐèñ. 4. Çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ îò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà ãàëàêòèêè. Cïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè áåç ó÷åòà ïîòîêîâ ñïèðàëüíîñòè, ïóíêòèðíàÿ ìîäåëè áåç ó÷åòà ïîòîêîâ ñïèðàëüíîñòè.38r0.20.40.60.81.00.0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.6-0.7Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü cïèðàëüíîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ îò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðàãàëàêòèêè.Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìîæíî çàïèñàòü [16]:E = α B − η J.Êðóïíîìàñøòàáíûå òîêè ñâÿçàíû ñ êðóïíîìàñøòàáíûì ìàãíèòíûì ïîëåì:J = rot B.Òîãäà ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ñâåäåòñÿ ê:−2(E, B) = αB 2 − η(B, rot B).Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ñâåäåòñÿ êΩl2∂Br= − 2 (1 + α′ )Bφ −∂th(U0 ηπ 2+ 2h4h)Br + η{∂ 1 ∂((rBr ))};∂r r ∂r(16)()∂Bφ∂ΩU0 ηπ 2∂ 1 ∂= r Br −+Bφ + η{ ((rBr ))};(17)∂t∂rh4∂r r ∂r√∂Ω2πr ∂r (1 + α′ )∂α′V0 ′3hBr Bφα′ ′ B= − α − η (1 + α ) ∗2 +−++∂thB8lB ∗2ΩRm 390.50.4B0.30.20.105101520tÐèñ.