Математические модели динамики срочной структуры процентных ставок, учитывающие качественные свойства рынка, страница 4

Таким образом, наблюдение формализуется в терминах функцииправдоподобия следующим образом: τ2ZsZT h pNni2XXdPfti0∝wkFs,k exp − fti (x) dx − Pk+ + α ( fti (x)) dx,− lndPfti −0s=0k=100где wk = (ak − bk )−1 . Единственный параметр, подлежащий заданию, — α,мера желаемой гладкости кривой, некоторый аналог температуры в приве­дённой выше интерпретации в терминах статистической физики.

Мы будемсчитать его заданным извне, например, пользователем системы, но можнооценить его и на основании статистических данных.Это предположение, по сути, является регуляризацией по Тихоновунекорректно поставленной задачи оценки бесконечномерной сущности (кри­вой доходностей) по конечномерным наблюдениям, где регуляризатором яв­ляется слагаемое αRT p0 2f(x))dx, а α — параметр регуляризации.(ti0Для реализации практического метода оценки кривой доходностей и па­раметров её динамики проводится следующая часть регуляризации с исполь­зованием кратномасштабного анализа: в пространстве H вводится вейвлет­базис, а регуляризация состоит в откидывании детализации и рассмотрениитолько аппроксимации заранее выбранного порядка (этот порядок и есть па­раметр регуляризации). Таким образом, рассматриваются только достаточногладкие функции, где желаемая степень гладкости определяется конкретнымвыбором вейвлета и порядком аппроксимации, после чего все выражения длядинамики плотностей вероятности переписываются в выбранном базисе.Путём замены переменных уравнение динамики сводится к почти линей­16ному: с постоянным коэффициентом диффузии.

Различные численные ме­тоды позволяют либо работать с нелинейным коэффициентом сноса, либолинеаризовать его с контролируемой погрешностью.Оценка кривой доходностей по наблюдениям производится методом мак­симального правдоподобия — путём максимизации функции правдоподобия,однако для случаев, когда важно быстродействие, приводится приближённыйалгоритм, являющийся вариацией фильтра Калмана.Далее в этом же параграфеописывается аналогичная рыночная мо­дель, основанная на дискретно начисляемой раз в δ форвардной процентнойставке Lt (x): 1 + δLt (x) = expRx+δxft (τ ) dτ .

Её фундаментальное отличиеот известных рыночных моделей — в подходе к оценке облигаций со сроком допогашения, меньшим δ . Ранее динамика цен таких облигаций предполагаласьдетерминированной, несмотря на нереальность этого предположения. Пред­лагаемая модель учитывает сложившуюся практику оценки рынком такихкоротких облигаций, однако побочным эффектом является потеря свойствабезарбитражности. Показано, что арбитражные возможности возникают ис­ключительно из-за некорректности сложившейся практики оценки короткихоблигаций и предъявляется выражение для справедливой стоимости облига­ции, подразумеваемое этой некорректной практикой, то есть показано, чторынок, так оценивающий короткие облигации, на самом деле, подразумеваетцену облигации, равную Z 0 t −tP = exp −где θs (x) =Rx00 !1 X∞ sθ (min(x, δ))2 dx ,ft (x) +s=12σ s (τ ) dτ , то есть показывается, что при такой оценке короткихоблигаций именно эта величина, будучи дисконтированной, является мартин­галом.В четвёртом параграфе второй главыописывается численный ме­тод оценки параметров обеих моделей (между ними нет различий, существен­ных для этого этапа).

Оценка параметров столь сложных нелинейных и су­щественно многомерных моделей не описана в литературе, поэтому снача­17ла приводится краткий обзор различных общих методов, используемых дляоценки параметров стохастических дифференциальных уравнений, затем мо­тивируется выбор конкретного метода, после этого описывается применениевыбранного метода — метода Монте-Карло для марковских цепей (MarkovChain Monte-Carlo) — к построенным моделям, кратко описывается примене­ние предварительных и параллельных вычислений для ускорения расчётов.В пятом параграфе второй главыдоказывается, что при выпол­нении некоторых естественных условий и ряда технических ограниченийюпостроенная оценка является состоятельной.

Доказывается состоятельностьпри стремлении количества облигаций, наблюдаемых за один раз, к бесконеч­ности, а промежутка времени между наблюдениями — к нулю. Также показа­но, что при стремлении модели размерности к бесконечности оценка стремит­ся к истинным бесконечномерным значениям соответствующих параметров.В первом параграфе третьей главырассмотрены некоторые част­ные вопросы, самым важным из которых является модель «моментально­го снимка», к которой сводится рассматриваемая динамическая модель приусловии, что доступно лишь одно наблюдение: цены нескольких облигаций водин единственный момент времени («моментальный снимок» рынка). Еслипредположить некоторое специальное несобственное априорное распределе­ние (распределение с максимальной энтропией) для кривой форвардных ста­вок, то условная функция правдоподобия будет определяться выражением− ln L(f ) =nk1X2k=1wk nsXs=0Zτs2Fs,k exp − f (x) dx − Pk  + α0ZT pf (x)0 2dx → min .0Благодаря специальному выбору функционала негладкости, это выражениес точностью до постоянного множителя совпадает с полученным из другихсоображений функционалом, минимизацией которого был получен непара­метрический метод оценки кривой доходностей в [19] и [A3].Далее приводится решение вышеуказанной задачи путём сведения её кзадаче оптимального управления и применения принципа максимума Понт­18рягина.Во втором параграфе третьей главывведено понятие полосы раз­решимости (feasibility band), впервые введённое в [19].

Если для каждойбумаги из nk вместо цены указана котировка спроса bk и предложения ak ,k = 1, ..., nk , то систему уравнений ценообразования (уравнение (1) для каж­дой бумаги) можно будет переписать в виде системы двойных неравенств:bk 6nsXFs d(τs ) 6 ak .s=0Вкупе со свойствами функции дисконтирования, получаем следующую систе­му, описывающую множество допустимых значений d(x).bk ≤Pnss=0 Fs,k d(τs )≤ akd(0) = 1,d(t) > 0 d(t)не возрастает.В предыдущей системе положим ds = d(τs ), s = 1, ..., ns . Для определенияграниц множества, в котором будут лежать решения d1 , ..., dns этой системы,решим 2ns задач линейного программирования:ds → min, maxPnsbk ≤s=0 Fs,k ds≤ ak , k = 1, ..., nk ,,d0 = 1,s = 1, ..., ns .(2)ds > 0, i = 1, ..., nsds−1 ≥ dsЗдесь для значения d(τs ) в каждый момент τs мы находим теоретически мак­симальное значение.

Таким же образом можно найти и минимально возмож­ное значение. Разумеется, это не означает, что кривая d(t) может проходитьгде угодно внутри полученного коридора, который и называют полосой раз­19решимости для функции дисконтирования. Если же зафиксировать конвен­цию связи между значением функции дисконтирования к какому-либо срокуи соответствующей процентной ставкой, получим полосу разрешимости дляпроцентных ставок. Эта оценка, вообще говоря, довольно груба, однако и при­ведённые ограничения могут оказаться слишком сильными, в таком случаеговорят, что полоса разрешимости пуста.Далее описаны причины, которые могу вызвать пустоту полосы разре­шимости, т.е.

несовместность системы (2), и поставлена задача поиска ми­нимального количества бумаг, которые необходимо исключить из выборки,чтобы система стала совместной. Кратко описываются известные результатыпо схожей задаче поиска максимальной совместной подсистемы, после чегодоказывается NP-эквивалентность задачи в нашей постановке. Затем в этомже параграфе приводятся два приближённых жадных алгоритма для реше­ния этой задачи.В четвёртой главеприведены описания численных экспериментов,проведённых как на модельных, так и на реальных исторических данныхо ходе торгов на бирже ММВБ за 3 периода: 10 января — 14 апреля 2006года (200 измерений), спокойный рынок; 1 августа — 28 сентября 2007 года(132 измерения), самое начало кризиса; и 26 сентября — 30 декабря 2008 года(200 измерений), разгар кризиса.

На модельных данных наблюдается хоро­шая идентификация параметров модели (см. рис. 1), а на реальных данныхрезультаты разумны, экономически интерпретируемы и превосходят по ка­честву существующий аналог («G-кривую», собственную разработку ММВБдля решения этой же задачи). Кроме того, на спокойном рынке данные не поз­воляют отвергнуть гипотезу о том, что наблюдаемые цены были порожденырассматриваемой моделью.В заключенииподведён краткий итог изложению, очерчено место дис­сертационной работы в контексте текущего развития моделирования срочнойструктуры процентных ставок, перечислены направления, представляющие­200.60.60.50.50.40.40.30.30.20.20.10.1005101520250300510152025Рис. 1.

Модельные (слева) и оценённые (справа) параметры30σs.ся перспективными для дальнейших изысканий, приведены основные резуль­таты работы, выносимые на защиту.Цитированная литература[1] А. Балабушкин, Г. Гамбаров, И. Шевчук. Оценка срочной структурыпроцентных ставок // Рынок ценных бумаг. — 2004.

— № 11. — С. 44–52.[2] D. Filipović. Exponential-Polynomial Families and the Term Structure ofInterest Rates // Bernoulli. — 2000. — Vol. 6, no. 6. — Pp. 1081–1107.[3] T. Björk, L. Svensson. On the existence of finite-dimensional realizations fornonlinear forward rate models // Mathematical Finance. — 2001. — Vol. 11,no. 2. — Pp.

205–243.[4] D. Heath, R. Jarrow, A. Morton. Bond pricing and the term structure ofinterest rates: A new methodology for contingent claims valuation // Econo­metrica. — 1992. — Vol. 16, no. 1. — Pp. 77–105.[5] A. Brace, M. Musiela. A multifactor Gauss Markov implementation of Heath,Jarrow, and Morton // Mathematical Finance. — 1994. — Vol. 4, no. 3. —Pp. 259–283.[6] K.R. Miltersen, K.