Математические модели динамики срочной структуры процентных ставок, учитывающие качественные свойства рынка, страница 3

Мо­дификация же методов «моментального снимка» путём приписывания их па­раметрам стохастической динамики практически всегда влечёт появление ар­битражных возможностей, что показано в работе [3].Это показывает, что учёт природы и структуры реально наблюдаемыхданных должен быть гораздо более тесно интегрирован в модель: так, былобы разумно ожидать, что метод «запомнит» вчерашнее значение цены обли­гации или вчерашнее значение кривой доходностей и очередная оценка небудет сильно отличаться от предыдущей в случае отсутствия цены .Также существующие методы не учитывают качественных особенностейдоступной информации: предполагается, что наблюдаются всегда истинныезначения величин, притом без ошибок.

В действительности же наблюдаемыецены облигаций отражают не только суммарную приведённую стоимость пла­тежей, но также кредитное качество эмитента, премию за ликвидность и про­чие факторы, которые можно интерпретировать как ошибку при наблюде­ниях. Кроме того, некоторые сделки проводятся на договорной основе илисовершаются с целью манипулирования рынком; в этих случаях их цены опре­деляются отнюдь не рыночными механизмами.На основании проведённого обзора цель работы формулируется как по­строение модели стохастической динамики срочной структуры процентныхставок (модели целой кривой доходностей в приведённой выше классифика­ции), которая, во-первых, не допускала бы арбитражных возможностей, во­вторых, давала бы реалистичные мгновенные формы кривых доходностей ибыла бы совместима с некоторым разумным статическим методом, а в-тре­тьих, учитывала бы то, какая именно информация реально доступна (ценыкупонных облигаций), а также некоторые качественные особенности рынка:неполноту наблюдаемой информации и её возможную недостоверность.Решение первой проблемы будет получено путём использования методо­логии Heath-Jarrow-Morton (HJM), в рамках которой известно необходимое и11достаточное условие безарбитражности.Решение второй проблемы будет достигнуто путём построения непара­метрической (бесконечномерной) модели.

Такая модель будет обладать доста­точным количеством степеней свободы, чтобы одновременно удовлетворятькритерию отсутствия арбитражных возможностей и давать достаточно бога­тое семейство мгновенных кривых доходностей.И, наконец, решение третьей проблемы будет использовать байесов­ский подход к наблюдениям и понятие меры достоверности информации(credibility).В первом параграфе второй главыприводятся необходимые фактыиз теории стохастических процессов и функционального анализа: основныеопределения и теоремы теории стохастического интегрирования СДУ в гиль­бертовых пространствах из [15], формулируются теорема Гирсанова, стоха­стическая теорема Фубини и формула Ито. Затем кратко пересказываютсяосновные результаты работы [16], которые являются основой для дальней­шего изложения. Под бесконечномерным броуновским движением в работепонимается последовательность независимых одномерных броуновских дви­жений, заданных на одном и том же вероятностном пространстве с фильтра­цией (Ω, F, (F)t∈R+ , P ):W = {β s }s∈N .Это соответствует цилиндрическому винеровскому процессу в терминологии[15].Мягким решением (mild solution) уравнения в гильбертовом простран­стве H(dXt = (DXt + F (t, Xt ))dt + Σ(t, Xt ) dWt ,X 0 = h0 ,где D — линейный (возможно, неограниченный) оператор H → H, инфи­нитезимальный генератор полугруппы S(t), Σ(t, X) для каждого значения(t, X) — оператор Гильберта-Шмидта H → H, F (t, X) — некоторая функция,12называется такой H-значный предсказуемый процесс, чтоZt∞ ZXtXt = S(t)h0 + S(t − u)F (u, Xu ) du +S(t − u)σ s (u, Xu ) dβus ,P − п.н., ∀t ∈ R+ .s=1 00Далее описываются технические требования к пространству H, опера­торам D, Σ и функции F , чтобы указанное уравнение имело единственноемягкое решение.

К сожалению, мягкое решение СДУ в гильбертовом про­странстве не является полумартингалом, поэтому к нему неприменимо диф­ференциальное исчисление Ито, что затрудняет дальнейший анализ.Бесконечномерное расширение модели HJM в работе [16] с учётом усло­вия отсутствия арбитражных возможностей имеет вид(dft = (Dft + FHJM (t, ft )) dt +P∞Q,sss=1 σt (t, ft ) dβtf 0 = h0 ,где FHJM (t, ω, h) =P∞ss=1 Sσ (t, ω, h), (Sf )(x) = f (x)Rx0f (τ ) dτ и динамиказаписана в риск-нейтральной мере Q.Во втором и третьем параграфах второй главыописывается рас­сматриваемая модель.

Для спецификации стохастической динамики в рам­ках выбранного подхода достаточно указать пространство H, функцию Σи рыночную цену риска (связь риск-нейтральной меры, в которой записаноуравнение динамики в модели HJM, и объективной меры).При построении модели уделяется особое внимание обоснованности и ра­зумности делаемых предположений; при прочих равных выбирается макси­мально простой подход.В качестве пространства H в работе выбрано пространство СоболеваW21 , чтобы отразить экономическое соображение о гладкости кривой мгно­венных форвардных процентных ставок.

Известно [17, 18], что для экономи­чески осмысленных постановок задачи существует предел limx→∞ f (x). Так13как реальные данные заданы на конечном и вполне определённом отрезке[0, T ], мы, в отличие от подхода, предложенного в [16], предположим, чтоf (x) = f (T ) для x > T . Это означает, что де-факто мы будем работать сконечным горизонтом, так что эффективное пространство наших кривых —W21 [0, T ]. Полугруппа сдвигов S(t) будет действовать следующим образом:(S(t)h)(x) = h((x + t) ∧ T ), что весьма разумно с экономической точки зре­ния: есть все основания постулировать, что за горизонтом моделированияфорвардные ставки постоянны. Далее доказывается, что так выбранное про­странство отвечает требованиям теоремы существования и единственностимягкого решения СДУ.Функция волатильности Σ(t, X) = {σ̃ s (t, X)}s∈N берётся локально линей­ной: σ s (t, h)(x) = σ s (x)h(x), а рыночная цена риска по каждому из случайныхфакторов предполагается постоянной и равной {γ s }s∈N .Таким образом, динамика мгновенной форвардной процентной ставки вреальной мере P описывается следующим уравнением:(dft = (Dft +P∞ss=1 S(σ ft ) −P∞s ss=1 γ σ ft ) dt +P∞s=1 σsft dβtsf0 = f0 .Далее описывается формализация наблюдений, т.е.

того, как модель«усваивает» поток новой информации. Предполагается, что наблюдения(сделки) происходят в известные (неслучайные) моменты времени ti . Инфор­мация, заключённая в наблюдении, состоит из:• цен облигаций Pki , k = 1, ..., nik ;• котировок спроса и предложения на них bik , aik , k = 1, ..., nik ;• статической информации об облигациях, т.е.

о расписании τsi , s =i0, ..., nis и объёмах Fs,k, s = 0, ..., nis , k = 1, ..., nik платежей.В этих предположениях уравнение ценообразования облигаций будет выгля­14деть так:Pki =nX#" Z iτsifti (x) dx .Fs,kexp −s=00Предполагается, что достоверность информации, содержащейся в наблю­даемых рыночных данных, ставится под сомнение. Степень достоверности(credibility) этой информации может зависеть от различных факторов:• от разницы котировок спроса и предложения (т.н. bid-ask спрэду) — об­ратно пропорционально;• от объёма сделки/котировки — нелинейная зависимость: тем достовер­нее, чем ближе к среднему объёму, характерному для рынка;• от любых других параметров.Чтобы учесть это в модели, предполагается, что величины Pk наблюдаются снормально распределённым шумом k ∼ N (0, δk2 ).

Такой подход соответству­ет логической интерпретации вероятности: вероятность — степень достовер­ности утверждения.Ещё одно предположение относительно наблюдений заключается в том,что кривые доходностей, используемые участниками рынка для расчёта ценысделки, являются достаточно гладкими. Подобно статистической механике,предполагается, что правдоподобность того, что восприятие рынком сделкиприведёт к кривой h, будет пропорциональна e−αE(h) , где E(h) - некоторая ме­ра негладкости кривой h. Если предположить, что у участников рынка естьсреднее мнение относительно того, насколько гладкой должна быть форвард­ная кривая, то наше предположение соответствует распределению негладко­сти с максимальной энтропией при фиксированном среднем значении α−1 .Функционал E(h) может быть выбран произвольным образом, чтобы отра­зить наше представление о желаемой кривой доходностей. Удобно выбрать√в качестве меры негладкости величину E(h) = k( h)0 k2L2 , чтобы получитьключевое совпадение в дальнейшем, однако возможны любые другие форма­лизации негладкости.15Условное распределение наблюдаемой цены Pk при известной кривоймгновенных форвардных ставок f (·) будет равноPk ∼ N nXZτsFs,k exp − f (x) dx ,s=0ak − bk  ,0где ak , bk — соответственно котируемые цены продавца и покупателя k -ойоблигации.