Математические модели динамики срочной структуры процентных ставок, учитывающие качественные свойства рынка, страница 2

Часть программы[A8], относящаяся к тематике настоящей работы, также написана автором.Структура и объём диссертацииДиссертация состоит из списка обозначений, введения, четырёх глав, за­ключения и списка литературы. Текст работы изложен на 183 страницах.Библиография включает 214 наименований.Содержание работыВо введенииобоснована актуальность диссертационной работы, сфор­мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту научные положения и описана структура диссертации.В первой главевводятся основные определения и обозначения, а такжеизлагается современное состояние дел в области.Функцией дисконтирования d(x) называют стоимость бескупонной об­лигации с погашением через срок x. Из экономических соображений функ­ция дисконтирования должна обладать следующими свойствами: d(0) = 1,d(·) — убывающая функция x, limx→+∞ d(x) = 0.

Процентная ставка r(x)связана с функцией дисконтирования посредством конвенции о начислениипроцентов: непрерывное начисление процентов подразумевает связь d(x) =exp(−r(x)x), а дискретное начисление процентов раз в δ лет подразуме­− xδвает d(x) = (1 + r(x)δ). Мгновенная форвардная процентная ставка насрок x — f (x) — связана с процентной ставкой r(·) следующим соотношениемr(x) =1xRx0f (τ ) dτ . График функции r(x) называют кривой доходностей, аговоря о «срочной структуре процентных ставок», имеют в виду любую из6зависемостей d(·), r(·), f (·). Цена P облигации с выплатами Fs через проме­жутки времени τs , s = 0, ..., ns , принимается равной сумме дисконтированныхпотоков платежей:P =nsXFs d(τs ).(1)s=0Далее в первой главе приводится обзор по моделированию цен облигацийи процентных ставок с критическим анализом сложившихся к настоящемувремени подходов.

Динамические модели, то есть модели, описывающие сто­хастическую динамику цен акций, появились достаточно давно, однако ис­пользование этих моделей для описания динамики цен облигаций породилоряд трудностей, связанных с различной природой инструментов. В связи сэтим начали появляться модели стохастической динамики процентных ста­вок. Эти модели, положившие начало целой плеяде так называемых моделейкраткосрочной ставки (short rate models), предполагали, что краткосрочная(мгновенная) процентная ставка rt = rt (0) имеет стохастическую динамику,описываемую диффузией drt = µ(rt , t) dt + σ(rt , t) dβt , причём функции µ иσ подбираются так, чтобы получившееся стохастическое дифференциальноеуравнение (СДУ) имело (полу-)аналитическое решение.К сожалению, подобные модели обычно давали нереалистичные (отрица­тельные или стремящиеся к бесконечности) кривые доходностей, а также —в силу того, что кривая доходностей определена с малым количеством степе­ней свободы, — не были способны отразить произвольную текущую срочнуюструктуру процентных ставок, наблюдаемую на рынке.Второе поколение моделей явно включало нестационарность в динами­ку с целью увеличения количества степеней свободы.

Например, функциюµ(rt , t) можно выбрать в виде µ(rt , t) = k(θ(t) − rt ), где θ(t) — неизвестнаяфункция, подлежащая определению путём калибровки к наблюдаемой сроч­ной структуре процентных ставок.Нестационарность и неустойчивость этих моделей вела к необходимостипостоянной перекалибровки, порой влекущей — в силу неустойчивости — весь­7ма значительные изменения параметров.Параллельно с этим прослеживалась тенденция к увеличению размерно­сти используемых моделей: использовались две, три, N фазовых переменных.Значительно возросшие сложность и требовательность к вычислительным ре­сурсам не позволили в должной мере улучшить качество моделей, от которыхтеперь требовалось отражение срочной структуры не только процентных ста­вок, но и их волатильностей, а также возможность раздельного движенияставок на разных сроках.Принципиальный шаг вперёд был сделан Heath, Jarrow и Morton в рабо­те [4].

В качестве фазовых переменных рассматриваются f (t, t0 ) — мгновенныефорвардные ставки, действующие в момент t на дату t0 , 0 6 t 6 t0 6 T (конти­нуум переменных). Предполагается, что динамика этих ставок определяетсяуравнениямиZtN ZXtf (t, t0 ) = f (0, t0 ) + α(u, t0 , ω) du +σ s (u, t0 , ω) dβus ,0 6 t 6 t0 6 T,s=1 00где f (0, t0 ) — неслучайная начальная кривая мгновенных форвардных про­центных ставок, а функции α, σ s удовлетворяют обычным условиям измери­мости и интегрируемости, необходимым для существования интегралов Ито.Там же было получено условие отсутствия арбитражных возможностей натаком рынке: должна существовать рыночная цена риска, случайная вектор­функция λ = {λs }s=1,...,N , такие, чтоα(t, t0 ) = −NXZ t0σ s (t, t0 ) λs −!σ s (t, u) du .ts=1Этот класс моделей получил название «модели целой кривой доходностей».Позже этот подход был развит в работе [5], где была предложена параметри­зация ft (x) = f (t, t + x), позволяющая перейти от бесконечного числа одно­мерных стохастических дифференциальных уравнений к одному бесконечно­8мерному.

Эта модель была уже гораздо лучше, однако вполне традиционноепредположение о логнормальной динамике форвардных процентных ставоквело к тому, что стоимость облигации уходила в 0 за конечное время с веро­ятностью 1. Кроме того, будучи более сложной, модель требовала бо́льшихвычислительных ресурсов. Предлагались различные способы решения этойпроблемы, однако перелом наступил лишь с появлением рыночных моделей.Сначала вместо мгновенных процентных ставок были использованы но­минальные годовые ставки, связанные с ними соотношением 1 + j(x) = er(x) ,а в работе [6] анализировалась удачная модель, основанная на эффективныхставкахZ t0 −t+δ1 + δfef f (t, t0 , δ) = exp!f (t, u) du .t0 −tПосле этого появился целый ряд работ, основанных на тех или иных рыноч­ных (отсюда и название класса моделей) ставках.

Так, Brace, Gatarek, Musiela[7] и Musiela, Rutkowski [8] моделируют ставку LIBOR, Jamshidian [9] — коти­ровки свопов, Musiela, Rutkowski [10] — форвардные цены облигаций. Моделипостроены таким образом, что распределение моделируемой рыночной став­ки логнормально, что позволяет легко оценивать производные финансовыеинструменты, причём в результате получаются формулы в стиле фундамен­тальной работы Black, Scholes [11], что оправдывает многолетнюю инженер­ную практику применения этих формул к оценке соответствующих инстру­ментов.К сожалению, эти модели исключают друг друга: если одна рыночнаяставка логнормальна, то остальные не могут обладать этим свойством, такчто для оценки разных инструментов нужно использовать разные модели.С другой стороны, в [12] показано, что отличие от логнормальности оченьмало, в любом случае, слишком мало, чтобы порождать арбитражные воз­можности.

Brace, Gatarek и Musiela показывают, что их модель эквивалентнаподходу Heath, Jarrow, Morton с некоторым специальным выбором функцийволатильности, в то время, как в остальных моделях мгновенные процентные9ставки могут даже не существовать.Большинство описанных выше методов предполагало, что текущая сроч­ная структура процентных ставок нам дана извне. В реальности это не так:даны лишь цены облигаций или производных финансовых инструментов напроцентную ставку, а зависимость r(x) необходимо вывести из этих данных.Параллельно развивались методы определения срочной структуры процент­ных ставок по наблюдаемым ценам облигаций, «моментальному снимку» рын­ка (большей частью, инженерные). Дополнительная сложность, делающая за­дачу нетривиальной, заключается в том, что среднесрочные и долгосрочныеоблигации, торгуемые на рынке, как правило имеют купонные платежи, чтозаставляет использовать косвенные методы оценки.Задача определения срочной структуры процентных ставок по ценам ку­понных облигаций обычно является недоопределённой, поэтому требуется ре­гуляризация и/или априорные предположения об этой структуре.

В зависи­мости от этих предположений можно выделить два подхода к решению этойзадачи: параметрические (априори предполагающие некоторый параметри­ческий вид кривой доходностей) и сплайновые (предполагающие, что истин­ная кривая доходностей удовлетворяет какому-нибудь экстремальному свой­ству, например, свойству максимальной гладкости, формализованному темили иным образом, — в таком случае решение обычно имеет вид сплайна, чтои дало название подходу).Среди параметрических моделей особое распространение получили ме­тоды Nelson, Siegel [13] и Svensson [14], в то время как разнообразие непара­метрических (сплайновых) методов гораздо больше.К сожалению, использование методов «моментального снимка» при опре­делении кривой процентных ставок для нужд динамических моделей целойкривой доходностей некорректно, если сделки по некоторым облигациям мо­гут периодически отсутствовать, что демонстрируется на простом примере:исчезновение одной котировки на коротком конце может значительно изме­10нить оценку кривой доходностей, даже если сама кривая не изменилась.