Математические модели динамики срочной структуры процентных ставок, учитывающие качественные свойства рынка

МосковскийименигосударственныйуниверситетМ.В. ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиНа правах рукописиЛапшин Виктор АлександровичМатематические модели динамики срочнойструктуры процентных ставок, учитывающиекачественные свойства рынка05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексыпрограммАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2010Работа выполнена в Московском государственном университете имениМ.В. Ломоносова на кафедре системного анализа факультетавычислительной математики и кибернетики.Научный руководитель:кандидат физико-математических наук,доцент,Смирнов Сергей НиколаевичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор,Хаметов Владимир Минировичдоктор физико-математических наук,Кулешов Андрей АлександровичВедущая организация:Учреждение Российской академии на­ук Центральный экономико-математи­ческий институт РАНЗащита состоится 21 апреля в 15 часов 30 минут на заседании диссертаци­онного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университетеимени М.В.

Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, ГСП-1, Москва,Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ им.М.В. Ломоносова.Автореферат разослан «»2010 г.Ученый секретарьдиссертационного совета,доктор физико-математических наук,профессорЗахаров Евгений ВладимировичОбщая характеристика работыАктуальность работыСрочная структура процентных ставок, задаваемая, например, при по­мощи бескупонной кривой доходностей, в развитых странах рассматриваетсякак главный и наиболее информативный индикатор состояния финансовогорынка, один из важнейших макроэкономических параметров и эталон дляоценки ценных бумаг в других секторах рынка инструментов фиксирован­ной доходности.

В связи с этим особую важность имеет задача моделированиякривой доходностей и проблема её соответствия рыночным данным. Общепри­знанной модели построения кривой бескупонной доходностей не существует[1], таким образом, разработка моделей срочной структуры процентных ста­вок является актуальной задачей.Обычно используемые модели определяют либо всю кривую в один мо­мент времени, работая с «моментальным снимком» рынка, либо временну́юстохастическую динамику одной – двух точек кривой (обычно — её левогоконца, который имеет особый экономический смысл). Тем не менее, в рядеработ [2, 3] показано, что ни одна из используемых на практике параметри­ческих моделей кривой доходностей не может быть снабжена никакой стоха­стической динамикой при условии отсутствия арбитражных возможностей.

Влитературе был полностью описан класс параметрических «моделей момен­тального снимка», допускающих нетривиальную безарбитражную динамикусвоих параметров, причём этот класс оказался слишком бедным для исполь­зования на практике.С другой стороны, модели, задающие стохастическую динамику левогоконца кривой доходностей, называемого также краткосрочной (мгновенной)процентной ставкой, обычно неявно подразумевают нереалистичные формыкривой доходностей (например, с отрицательными или стремящимися к бес­конечности процентными ставками).Для преодоления этих ограничений актуальным и перспективным явля­1ется использование непараметрических моделей, дающих достаточное коли­чество степеней свободы как для удовлетворения условию отсутствия арбит­ражных возможностей, так и для обеспечения гибкого отражения сложныхформ кривой доходностей, наблюдаемых на реальных финансовых данных.Кроме того, непараметрический подход снимает проблему, связанную с вы­бором конкретной параметризации, большинство решений которой основыва­ются исключительно на соображениях удобства получения явных аналитиче­ских решений, а не на феноменологии предметной области.Также актуальным является построение моделей, учитывающих такиесвойства рынка, как низкая ликвидность и связанные с этим неполнота инедостоверность исходных данных.

На развитых рынках в нормальных усло­виях подобные трудности либо не возникают вообще, либо имеют пренебре­жимо малые эффекты. В свете последствий финансового кризиса, а такжеспецифики рынка облигаций России, построение моделей, учитывающих осо­бенности последнего, является актуальной задачей.Цель диссертационной работыВ связи с вышеизложенным целью диссертационной работы является по­строение и исследование модели, сочетающей в себе достоинства и общностьмоделей стохастической динамики с разнообразием форм кривой доходностейв «моментальном снимке», а также учитывающей качественные свойства рын­ка, связанные с особенностями доступной на нём информации. В соответствиис целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:• построение непараметрической модели стохастической динамики сроч­ной структуры процентных ставок, учитывающей ликвидность рынка,т.е.

работающей в условиях неполной и недостоверной информации, ипригодной для оценки кривой доходностей по «моментальному снимку»рынка.• Разработка численных методов статистической оценки параметров мо­дели по доступным рыночным данным.2• Демонстрация работоспособности метода и модели в целом путём разра­ботки программного комплекса и проведения расчётов на реальных дан­ных о торгах на Московской межбанковской валютной бирже (ММВБ).Научная новизнаВ работе получены следующие результаты, характеризующиеся научнойновизной:1.

Предложен новый подход к построению непараметрических моделейстохастической динамики срочной структуры процентных ставок, со­четающих в себе достоинства динамических и статических подходов, атакже обладающих другими свойствами, желательными для подобныхмоделей. В рамках этого подхода построены две конкретных модели,исследованы свойства указанных моделей при работе с «моментальнымснимком» рынка.2. Для построенных моделей разработан численный метод оценки парамет­ров по информации о дневных результатах торгов или о внутридневномих ходе. Наблюдения не обязаны быть полными (информация о частибумаг может отсутствовать) и могут быть разделены временны́ми ин­тервалами произвольной, не обязательно равной, длины.

Разработан­ный метод позволяет оценить как собственно компоненты волатильно­сти, так и их количество.3. Впервые проведены расчёты на данных о ходе торгов на ММВБ как вотносительно спокойный период, так и по мере развития кризиса. Полу­чены новые результаты об эффективной размерности шума (многомер­ного броуновского движения), отвечающей статистике цен облигацийна рынке ММВБ за период в 2006–2008гг.4. Получена модель, отражающая существующую практику оценки «ко­ротких» денежных потоков (со сроком, меньшим периода начисления3процентов). Показано, что с точки зрения безарбитражной динамикиследует оценивать эти потоки несколько другим образом.Практическая значимостьВ настоящей работе построена модель срочной структуры процентныхставок, которая может применяться в условиях низкой ликвидности рынка:при недостоверной и неполной информации о сделках и котировках, что даётаналитикам для исследования и описания рынка удобный инструмент, ра­нее доступный лишь для высоколиквидных рынков с большим количествомоблигаций.

С теоретической точки зрения построенная модель является пер­вой моделью стохастической динамики, подразумевающей разумные и гиб­кие мгновенные формы кривой доходностей и пригодной для оценки кривойдоходностей по «моментальному снимку» рынка, а также удовлетворяющейпринципу отсутствия арбитражных возможностей, что позволяет использо­вать модель для решения задачи ценообразования и хеджирования обуслов­ленных обязательств по производным финансовым инструментам на процент­ную ставку.На защиту выносятся следующие основные результаты и поло­жения:1. Новый подход к построению непараметрических моделей стохастиче­ской динамики срочной структуры процентных ставок, сочетающих всебе достоинства динамических и статических подходов, а также обла­дающие другими свойствами, желательными для подобных моделей.2.

Две конкретных реализации вышеупомянутого метода – модели, частич­но допускающие аналитическое решение. Для этих моделей разработанчисленный метод оценки параметров по информации о дневных резуль­татах торгов или о внутридневном их ходе. Наблюдения не обязаныбыть полными (информация о части бумаг может отсутствовать) и мо­4гут быть разделены временны́ми интервалами произвольной, не обя­зательно равной, длины. Разработанный метод позволяет оценить каксобственно компоненты волатильности, так и их количество.3. Разработан трёхуровневый программный комплекс, включающий сред­ства для:• оценки параметров используемых моделей;• оперативной калибровки параметров по поступающей информа­ции;• расчётов по модели;• оперативных приближённых расчётов.Самая вычислительно ёмкая часть — оценка параметров — реализованас использованием технологий параллельного программирования для по­вышения быстродействия.Апробация работыРезультаты работы (в том числе — применительно к предметной области)докладывались и обсуждались на следующих конференциях:1.

На международной конференции Ломоносов-2006 (Москва, 2006г.)2. На научной конференции Тихоновские чтения-2007 (Москва, 2007г.)3. На международной конференции Международный опыт риск-менедж­мента и особенности развивающихся рынков (Москва, 2008г.)4. На международной конференции Ломоносов-2009 (Москва, 2009г.)5. На заседании Европейской комиссии по облигациям (Париж, 2009г.)6. На 52-й научной конференции МФТИ (Долгопрудный, 2009г.)7.

На научном семинаре «Вероятностные проблемы управления и стоха­стические модели в экономике, финансах и страховании» в ЦЭМИ РАН(Москва, 2009г.)ПубликацииМатериалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них: 25статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [A1, A2], 2 статьив сборниках статей [A3, A4], 3 тезиса докладов [A5, A6, A7] и 1 свидетельствоо государственной регистрации программы для ЭВМ[A8].Личный вклад автораВсе описанные результаты получены автором лично.