Отзыв оппонента Доброхотова С.Ю. (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией)

ОТЗЫВ официального оппонента о диссертации Ягремцева Алексея Викторовича «Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 — Математическая физика. Диссертационная работа Ягремцева Алексея Викторовича посвящена асимптотическому анализу краевых задач, содержащих внутренние переходные слои (или контрастные структуры) в одномерных скалярных уравнениях типа «реакция-адвекция-диффузия», Краевые задачи для уравнений такого типа используются для математического моделирования задач химической кинетики, гидро- и газо- динамики, биофизики и других областей физики и механики. Задачи с внутренними переходными слоями, на которых в данной работе сделан основной акцент, хорошо подходят для моделирования различных физических процессов в тех областях, где они испытывают резкие изменения и имеют болыпие градиенты.

Особенностью задачи является условие баланса адвекции. Отдельное исследование краевых задач, в которых требуется выполнение этого условия, обосновано, поскольку расширяет границы математического моделирования. Теоретическое исследование решений краевых задач с внутренними переходными слоями является весьма актуальным и должно предшествовать построению математической модели, при этом особенно значимыми являются результаты по существованию и устойчивости таких решений. Теоретические исследования в данной диссертации посвящены новому классу таких задач на основе развития методов бурно развивающейся в последнее время теории контрастных структур, базовые идеи которой заложены в работах В.Ф.

Бутузова, А.Б. Васильевой, Н.Н. Нефедова. Таким образом, рассмотренные в диссертационной работе вопросы относятся к числу актуальных направлений исследовании, имеющих несомненный теоретический и практический интерес. Структурно диссертационная работа разделена на введение, обзор литературы и три основные главы. Во введении приводятся постановки задач, рассмотренных в диссертации, и основные результаты аналитического исследования этих задач — асимптотическое представление, теоремы существования и теоремы об асимптотической устойчивости решения стационарной задачи и периодической задач. Обзор литературы выделен в отдельную, первую, главу и содержит подробный подбор публикаций, содержащих наиболее значимые результаты в выбранной области исследований. Объектом изучения второй главы работы является краевая задача для стационарного решения вида контрастной структуры в уравнениях реакцияадвекция-диффузия в случае сбалансированной адвекции.

Основной результат здесь - асимптотическое представление решения с внутренним переходным слоем. При этом установлено, что полученные формулы описывают асимптотику некоторого точного решения исходных уравнений. Именно, доказано существование такого точного решения, а также его асимптоти ческая устойчивость. Доказательство проводится с использованием метода Н.Н.Нефедова- асимптотического метода дифференциальных неравенств, В третьей главе автор рассматривает решение вида движущегося внутреннего переходного слоя (фронта) у начально-краевой задачи для уравнения реакция-адвекция-диффузия в случае сбалансированной адвекции.

Для этой задачи также получено асимптотическое представление решения, доказано его существование, кроме того, получено выражение для скорости движения фронта. Общее исследование дополнено примером, сконструированным таким образом, чтобы построение асимптотического разложения решения было возможно в явном виде. В последней, четвертой главе автор рассматривает краевую задачу для параболического уравнения реакция-адвекция-диффузия с периодическими условиями по времени, решение которой представляет собой периодически изменяющуюся контрастную структуру.

Здесь также получено асимптотическое представление решения, доказано его существование и получено уравнение движения точки локализации переходного слоя. Полученные асимптотические формулы для рассматриваемых задач являются новыми и описывают важный с точки зрения приложений класс решений.

Достоверность описанных результатов и выводов подтверждаются соответствующими строгими аналитическими обоснованиями. Огметим некоторые замечания, возникшие при анализе диссертации, 1. Во введении достаточно подробно описан круг физических явлений, для моделирования которых хорошо подходят задачи с решениями вида контрастных структур, однако, не отмечено, в каких именно случаях для моделирования наилучшим образом подходят краевые задачи с балансом адвекции. 2. В работе проведено полное и подробное исследование уравнения реакция- диффузия-адвекция на отрезке„однако для приложений важными являются также и многомерные задачи, которые не были затронуты в работе.

Указанные недостатки не являются критическими и не искажают общего благоприятного впечатления от работы; все приведенные замечания в большей степени являются пожеланиями для дальнейшего исследования в данном направлении. Полученные в ходе данного исследования результаты могут применяться для разработки математических моделей химической кинетики, биологии и физики.

Это свидетельствует о теоретической и практической значимости работы соискателя. И тут я бы добавил еще одно пожелание. По моему мнению, полученные асимптотические формулы могут служить основой для аналитико-численных алгоритмов, позволяющих с помощью программ Ма1Ьешабса и Ма11аЬ проводить быстрый графический анализ полученных решений с учетом наличия различных физических и химических параметров. Это может существенно расширить круг реальных пользователей развитых математических конструкций и позволит внедрить их в прикладные исследования.

Я думаю, что автору диссертации в будущем стоит посвятить время этому, на мой взгляд, очень важному вопросу. Представленная Ягремцевым А,В. диссертация является самостоятельным, законченным, актуальным научным исследованием. Изложенные в работе результаты опубликованы в достаточном количестве печатных научных работ, в том числе в 3 статьях в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ. Основные положения исследования были представлены на всероссийских и международных научных конференциях, докладывались на научных семинарах.

Автореферат достаточно полно отражает структуру, содержание и основные положения диссертации, дает представление о рассматриваемых задачах, используемых методах исследования и полученных результатах. По актуальности избранной темы, новизне полученных результатов, обоснованности выводов, практическому и теоретическому значению работа соответствует требованиям «Положения о присуждении ученых степеней», утвержденного постановлением Правительства Российской Федерации от 24 сентября 2013 г. №842, предъявляемым к кандидатским диссертациям, а ее автор заслуживает присуждение ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.03 — Математическая физика, Заведующий лабораторией Института проблем механики им.

А.Ю.Ишлинского РАН, доктор физико-математических наук, профессор С~~::.,1г "'-' С.Ю.Доброхотов Адрес 11952б, Москва,",.тфй~ац. Вернадского, дом 101-1, ИПМех РАН Телефоны 495 433 75 44, 91б 235 09 44 Электронная почта доЬг®1ртпег.ги Подпись С.Ю.Доброхотства удостовзерян~ ф Ученый секретарь ИПМех РАН,. ':,:: г' к.ф-м.н. .. й. ' й'; ' -' Е.Я.Сысоева .