Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса

Московский государственный университетимени М. В. ЛомоносоваМеханико–математический факультетНа правах рукописиУДК 517.984.55, 514.84Гальцев Сергей ВалерьевичКомплексные лагранжевы многообразия и аналоги линийСтокса01.01.04 — геометрия и топологияДиссертацияна соискание ученой степеникандидата физико–математических наукНаучный руководитель:доктор физико–математических наук, профессорШафаревич Андрей ИгоревичМосква, 2008Содержание.Введение1.1 Несамосопряженные операторы1.2 Актуальность темы1.3 Уравнение на торе1.4 Постановка задачи и формулировка результата1.5 Апробация диссертации1.6 Краткое содержание работы1.7 БлагодарностьПсевдоспектр2.1 Определение и основные свойства2.2 Псевдоспектр плотен в числовом образе22.3 Псевдоспектр −h2 ddx2 + iV (x)Асимптотика спектра3.1 План нахождения спектра в частном случае iV (z) = i cos(z)3.2 Точки поворота3.3 Вспомогательные утверждения3.4 Линии Стокса3.5 Реализуемость топологических случаев3.6 Матрица монодромии и условие на спектр3.7 Матрицы перехода3.8 Асимптотика спектра3.9 Спектральный графЛитература233457111117191921262727283238455156677273Введение.1.1.

Несамосопряженные операторыРяд вопросов, естественно возникающих в спектральной теории дифференциальных операторов, приводит к исследованию спектра оператора2dD = −h2dx2+ iV (x) ,(1)где V (x) — периодичная целая аналитическая функция, действительная надействительной оси, с вещественным периодом T , а h > 0 — малый параметр.В частности, (1) возникает как “эталонный” оператор в теории гидродинамической устойчивости: его спектр при определенных условиях похож на спектроператора Орра–Зоммерфельда. Другой пример — спектральная задача дляоператора ε∆ + (v(x), ∇) на плоском торе (здесь x = (x1 , x2 ) ∈ T2 ).

Если∂v(x) — бездивергентное поле вида v(x1 , x2 ) = w(x1 ) ∂x, спектральная задача2допускает разделение переменных: собственная функция ϕ(x1 , x2 ) имеет видeimx2 ψ(x1 ), причем ψ удовлетворяет спектральной задаче для оператора (1)при V (x1 ) = mw(x1 ) и ε = h2 .Спектральная теория несамосопряженных операторов, сравнительно с самосопряженным случаем, разработана значительно менее полно; как структура спектра, так и свойства спектрального разложения могут в этом случаебыть весьма экзотическими, что чрезвычайно затрудняет развитие общей теории (см., например, [1]). В то же время, ряд важных задач, возникающих вразличных областях математики, механики и физики, приводит к изучениюспектров несамосопряженных операторов. Приведем несколько популярныхпримеров.1.

Оператор диффузии со сносом ε∆ + ∂v , где ∆ — оператор Лапласа–Бельтрами, ∂v — производная вдоль гладкого векторного поля v на римановом многообразии (ε > 0 — коэффициент диффузии), возникающий какв механике сплошных сред и кинетической теории, так и в задачах теориислучайных процессов.f, действующий на магнитное поле H2. Оператор магнитной индукции Mв проводящей жидкости с полем скоростей v (H, v — векторные поля в R3 ):fH = {v, H} − ε∆H,Mгде {·, ·} — коммутатор векторных полей, ε > 0 — проводимость.

Исследование поведения спектра этого оператора при ε → 0 связано с известнойпроблемой магнитного динамо (см., например, [5]).33. Операторный пучок Орра–Зоммерфельда Q, возникающий в теориигидродинамической устойчивости (см., например, [21]); операторы этого пучка действуют на функцию u(x) по правилу 22 2ddQu = iε− p2 u + p (v(x) − ω)− p2 − v ′′ (x) u,dx2dx2где v(x) — гладкая функция (невозмущенный профиль скорости), p — волновое число возмущения, ω — частота (спектральный параметр), ε — коэффициент вязкости (ε−1 — число Рейнольдса).1.2. Актуальность темыОтметим, что во всех приведенных примерах присутствует параметр ε, который во многих типичных ситуациях бывает малым; тем самым, естественный вопрос состоит в изучении предельного поведения спектра при ε → 0.Для самосопряженных задач такие пределы изучаются в теории квазиклассических асимптотик (см., например, [7, 6]); в этой теории асимптотическиесобственные числа и собственные функции связываются с инвариантнымиизотропными многообразиями соответствующих классических гамильтоновых систем (как правило, определенных в R2n или в кокасательном расслоении к риманову многообразию).

Собственные числа вычисляются из условийквантования Бора–Зоммерфельда–МасловаZ1(p, dx) = m(β) + l(β),2πε βгде β — произвольный цикл на изотропном многообразии, (p, x) — канонические координаты в фазовом пространстве, m ∈ Z, l — числовая характеристика циклов, которая определяется по-разному в различных ситуациях; вчастности, если изотропное многообразие лагранжево, l равно четверти от индекса Маслова. Асимптотические собственные функции строятся при помощи(вещественного или комплексного) канонического оператора Маслова; отметим, что они не обязательно приближают настоящие собственные функцииисходной задачи, а лишь удовлетворяют с нужной точностью спектральномууравнению.

В то же время, самосопряженность исходного оператора гарантирует наличие в его спектре точек, близких к асимптотическим собственнымчислам (решениям уравнений Бора–Зоммерфельда–Маслова).Относительно квазиклассических асимптотик спектров несамосопряженных операторов известно гораздо меньше. В частности, в работах [20, 3]построены спектральные серии оператора −ε∆ + ∂v , связанные с асимптотически устойчивыми положениями равновесия, предельными циклами илиинвариантными торами векторного поля v.

(Спектральные серии, вообще говоря, определяют точки псевдоспектра, см. [26, 19]; в то же время, асимптотическая устойчивость соответствующих инвариантных множеств указываетна то, что, вероятно, эти серии приближают точные собственные числа —в явно решаемых примерах это действительно так.) В [8, 10, 15, 11, 13]4исследовался спектр одномерного оператора Шредингера и задачи Орра–Зоммерфельда на отрезке (отметим, что ряд утверждений об условиях квантования содержался еще в работе [2]). В этих работах, основанных на техникеВКБ–асимптотики (см., например, [14, 4]) было обнаружено, что в квазиклассическом пределе спектр стягивается к некоторому графу на комплексной плоскости (так называемому спектральному графу), причем ребра этогографа задаются геометрическими условиями на линии Стокса (одна из этихлиний должна проходить через конец отрезка, на котором рассматривается уравнение).

В работах [18, 19, 22] исследовался так называемый псевдоспектр — множество, состоящее из чисел, приближенно удовлетворяющихспектральному уравнению; в частности, отмечалось различие между псевдоспектром и асимптотикой точного спектра.В настоящей работе исследуется спектр и псевдоспектр одномерного оператора Шредингера на окружности с комплексным (чисто мнимым) потенциалом, заданного формулой (1). Оказывается, точки спектра в квазиклассическом пределе могут быть вычислены из условий Бора–Зоммерфельда–Маслова, отвечающих римановой поверхности уровня энергии; однако, в отличиеот самосопряженного случая, достаточно требовать выполнения этих условий хотя бы на одном из базисных циклов этой поверхности, причем разныециклы дают в спектр вклад, соответствующий разным ребрам спектральногографа.

Как и в [2, 8, 10, 15, 11, 13], спектральный граф связан с топологиейграфа Стокса; именно, ребра спектрального графа соответствуют перестройкам графа Стокса. Отметим, что, в силу периодичности задачи, таких перестроек счетное число; оказывается однако, что в действительности ребрамспектрального графа отвечает лишь несколько из них.Для одномерного оператора Шредингера на окружности с чисто мнимыманалитическим потенциалом показано, что при h → 0+0 его hN –псевдоспектрдля любого N заполняет полуполосу на комплексной плоскости, в то времякак настоящий спектр mod O(h2 ) концентрируется вблизи одномерного множества (графа).

Ребра этого графа соответствуют различным спектральнымсериям, которые могут быть вычислены при помощи условий Бора–Зоммерфельда–Маслова на комплексной кривой (римановой поверхности); в отличиеот самосопряженного случая разные циклы на одной и той же поверхностиопределяют разные серии (другими словами, для конструкции асимптотики достаточно требовать выполнения условий квантования только на одномцикле).1.3. Уравнение на тореРассмотрим дифференциальное выражениеDT2 = −ε2 ∆ + (v, ∇)(2)заданное на торе T2 = (R/T1 Z) × (R/T2 Z) = R2 /(T1 , T2 )Z, {T1 , T2 } ⊂ (0, +∞),с координатами (x, y).