Диссертация (Коаксиальные волноводы и их применение в плазменной релятивистской СВЧ-электронике), страница 5

Кривые 3  4 и в вакуумных, и плазменных областях имеютобъемный характер.29'Ez1,01''3 210,50,50,00,50,01,0r1,51,0-0,5-1,0'4Ezr1,5-0,5324-1,0абРис. 1.3.6. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением приk z  2 см -1 , r1  0,8 см и r2  1,2 см . а - низкочастотные ветви, б – высокочастотные.2) При k z  4 см-1 структура поля изображена на Рис. 1.3.7.

Поле в плазменных областях имеет объемный характер, в вакуумных областях - поверхностный. Среди высокочастотных ветвей колебаний только одна кривая 1 ввакуумной области имеет объемный характер, а в плазменной – поверхностный, другие же 2  4 имеют во всех областях объемный характер.Ez1,0310,00,51,01,51,0r1,5r-0,5-0,5-1,010,50,50,0''Ez4 32-1,0а'4 2'бРис. 1.3.7. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением приk z  4 см -1 , r1  0,8 см и r2  1,2 см.

а - низкочастотные ветви, б – высокочастотные.3) При k z  8 см-1 структура поля представлена на Рис. 1.3.8.В данном случае все четыре кривые 1  4 на Рис. 1.3.8 обладают в обеих областях объемным характером. Кривым 1  4 свойственна структура поля аналогичная описанным выше случаям.30Ez1,0'3''12Ez0,50,50,00,00,51,01,0r1,5-0,51,5r-0,5432-1,0-1,01'4абРис. 1.3.8. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением приk z  8 см -1 , r1  0,8 см и r2  1,2 см.

а - низкочастотные ветви, б – высокочастотные.Видно, что с увеличением k z поле становится более прижатым к поверхностиплазмы, что связано с укорочением длины волны при переходе вдоль дисперсионной кривой от точек k z  2 см-1 к k z  4 см-1 и k z  8 см-1.Вариант 3. Зависимости  (k z ) , полученные при r1  0,6 см, r2  1,4 см,представлены на Рис. 1.3.9.4'3'402'1'10 10 рад c-130 = k zc2012341000246kz, см810-1Рис. 1.3.9. Дисперсионные кривые коаксиального волновода с плазменным заполнениемдля значений r1  0,6 см и r2  1,4 см .311) Структура поля при k z  4 см-1 представлена на Рис. 1.3.10: для низкочастотных ветвей колебаний 1  4 в вакуумных областях для поля характерен поверхностный характер, а для плазменных - объемный.

Кривая 1 обладает различным характером в вакуумных (объемный) и плазменных (поверхностный) областях, остальным кривым присущ объемный характер.'142EzEz'3'40,50,50,01,01,50,0r1,0-0,5-0,5-1,0r1,5-1,03 2'1абРис. 1.3.10. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением приk z  4 см 1 . а -низкочастотные ветки, б – высокочастотные.2) При k z  8 см-1 структура поля представлена на Рис. 1.3.11. В этомслучае структура поля для кривых 1  4 аналогична упомянутым выше, Длякривых 1  4 структура поля имеет в вакуумных и плазменных областях объемный характер.121Ez0,50,50,00,00,51,01,0r1,51,5r-0,5-0,5-1,0''Ez1,04-1,03 2а''4 3бРис.1.3.11.

Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением приk z  8 см 1 . а - низкочастотные ветви, б – высокочастотные.32§ 1.4. Предел бесконечно тонкой трубчатой плазмыРассмотрим бесконечно тонкий трубчатый слой однородной плазмы вприближении сильного внешнего магнитного поля, полагая для этого  p  0 , p2   , причем  p2 p  Const . Существует два способа получения дисперси-онного уравнения для предела бесконечно тонкой трубчатой плазмы. Первыйспособ - использование метода эффективных граничных условий [115]. Второй – путем предельного перехода из уравнения (1.1.12) [99].Метод эффективных граничных условий позволяет исследовать медленные поверхностные волны (волны с фазовой скоростью меньше скоростисвета) тонкой трубчатой плазмы в металлических волноводах.

Эффективныеграничные условия упрощают решение многих задач теории поверхностныхплазменных волн и теории возбуждения поверхностных плазменных волнрелятивистскими электронными пучками. С их помощью стало возможноаналитически исследовать дисперсионные свойства волноводов с плазменным заполнением, не прибегая к решению уравнений поля в плазменных областях.

Отметим, что еще одним важным преимуществом метода эффективных граничных условий является то, что его можно применять при исследовании взаимодействия тонкого трубчатого пучка с тонкой трубчатой плазмойв волноводах, помещенных в магнитное поле, причем величина магнитногополя значения не имеет. Данное обстоятельство позволяет использовать метод эффективных граничных условий в задачах плазменной релятивистскойСВЧ-электроники.

Например, при изучении плазменных релятивистскихСВЧ-излучателей (СВЧ-усилителей, СВЧ-генераторов), где основную рольиграет черенковское возбуждение поверхностной плазменной волны в волноводе электронным пучком.Получим дисперсионное уравнение, используя первый способ. ПолеE  типа описываетсяследующим уравнением второго порядка:  E z   02 (r ) E z  0.(1.4.1)33Расписывая это уравнение, получаем  p2 (r ) 1 d dE z l 2Ez  0 .r 2 E z   02 1 2r dr drr(1.4.2)Для того чтобы использовать метод граничных условий следует положить p2 (r )   p2 p (r  rp ) ,  p2 - постоянная (мы не вводим нового обозначения, чтобыне загромождать формулы).Интегрируя уравнение (1.4.2) по r в окрестности плазмы (в пределах отr   до r   ,   0 ), получим граничное условие. Данное граничное условиесовместно с условиями на металлических поверхностях коаксиального волновода и условием непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля на границах плазменной трубки составляет систему граничныхусловий для описания бесконечно тонкой трубчатой плазмы: E z ( R1 )  E z ( R2 )  0, p2 dE z2(rp )   p  0 2 E z (rp ), dr{E z (rp )}  0.(1.4.3)Применение граничных условий (1.4.3) позволяет не выписывать в явном виде решение уравнения (1.4.2) в области волновода, занятой плазмой, а ограничиться только решениями в вакуумных областях.При   k z c (т.е.

в случае быстрых электромагнитных волн) решениеуравнения (1.4.2) имеет вид A1 J l (  0 r )  B1 N l (  0 r ), R1  r  rp ,Ez   A2 J l (  0 r )  B2 N l (  0 r ), rp  r  R2 .(1.4.4)Подставляя решения (1.4.4) в граничные условия (1.4.3) и исключая, постоянные A1, 2 и B1, 2 , приходим к дисперсионному уравнению для быстрых электромагнитных волн1   p rp  02 p2 G  0 ,2 2 p(1.4.5)где введены обозначения34F ( R1 , rp ) F (rp , R2 )Gp  J l2 (  0 rp )F ( R1 , R2 )и F ( R, r ) Nl (  0 R) Nl (  0 r ).J l (  0 R) J l (  0 r )(1.4.6)Дисперсионное уравнение (1.4.5) целесообразно переписать в следующемвиде: p2 2 Nl (  0 R1 ) Nl (  0 R2 ) r 0 J l (  0 rp ) F ( R1 , rp ) F (rp , R2 ) .p p2J(R)J(R)2l0 2  l 0 1(1.4.5а)Левая часть уравнения (1.4.5а) определяет спектры частот вакуумного коаксиального волновода. Таким образом, для быстрых электромагнитных волнприсутствие в волноводе тонкой трубчатой плазмы приводит только к малымпоправкам к частотам вакуумного волновода.

Структура поля для быстрыхволн имеет следующий вид:J l (  0 r ) F ( r, R1 ), R1  r  rp ,F ( rp , R1 )Ez (r)  J l (  0 r ) F ( R2 , r ), rp  r  R2 .F ( R2 , rp )(1.4.7)В случае медленных волн (   k z c ) решение уравнения (1.4.2) следуетзаписывать в виде A1 I l (  0 r )  B1 K l (  0 r ), R1  r  rp ,Ez   A2 I l (  0 r )  B2 K l (  0 r ), rp  r  R2 ,(1.4.8)а дисперсионное уравнение оказывается следующим: p21   p rp G  0.2 p20(1.4.9)В уравнении (1.4.9)G p  I l2 (  0 rp )M ( R1 , rp ) M (rp , R2 )M ( R1 , R2 ), M ( R, r ) K l (  0 R) Kl (  0 r).I l (  0 R) I l (  0 r)(1.4.10)Из дисперсионного уравнения (1.4.9) следует, что в длинноволновомпределе закон дисперсии медленной плазменной волны записывается в виде(1.2.3), где величина q 2 определяется выражением(rp R1 ) 2l  (rp R2 ) 2l2l, l  0,2l2l[(rR)1][1(rR)]1p1p2q2  p rp ln R2 R1, l  0. ln rp R1 ln R2 rp35(1.4.11)В обратном коротковолновом случае ( k z   ) решение уравнения (1.4.9)имеет вид    p (k z p 2)1 2 .

Однако данное выражение неправильно описываетповедение дисперсионной кривой, вследствие того, что модель бесконечнотонкой плазменной трубки не применима в коротковолновом пределе [97].Для медленных волн структура поля выглядит следующим образом:I l (  0 r ) M ( r, R1 ), R1  r  rp ,M ( rp , R1 )E z (r)  I l (  0 r ) M ( R2 , r ), rp  r  R2 .M ( R2 , rp )(1.4.12)Выражение для Ez (r ) в случае медленных волн в длинноволновом пределеk z R2  1 при l  0 имеет видln( R1 r ), R1  r  rp ,ln( R1 rp )Ez  ln( r R2 ), rp  r  R2 .ln(rR)p2(1.4.13)Перейдем к численному решению дисперсионных уравнений (1.4.5) и(1.4.9). Значения параметров возьмем такие же, как и в случае точного дисперсионного уравнения (1.1.12):  р  20 1010 рад·с-1, R1  0,5 см.

R2  2 см,rp  1 см,  p  0,1 см.На Рис. 1.4.1-1.4.2 представлены полученные зависимо-сти  (k z ) и структура поля. На Рис. 1.4.1 кривая 1 описывает кабельнуюплазменную волну, кривые 1, 2, 3 описывают соответственно объемные волны волновода, которые существуют и в отсутствие плазмы. Мы видим, что нарисунке отсутствуют дисперсионные кривые высоких мод (1.2.9). Но это ипонятно, так как в модели бесконечно тонкой плазмы частоты этих мод равны нулю.На Рис. 1.4.2 представлена структура поля для рассматриваемого случая.

Нумерация кривых соответствует кривым на Рис. 1.4.1.В соответствии с формулами (1.1.7), (1.4.4), (1.4.8) зависимость от радиуса носит поверхностный характер для кривой 1 и объемный характер дляоставшихся трех кривых. Качественный вид кривых совпадает с Рис. 1.3.2а иРис. 1.3.2д, где представлена структура поля в случае плазмы конечной толщины.3630 = kz c3'2012'0,4Ez, отн. ед.10 -1 10 с1'0,811'100,00,60,81,01,21,41,6 r,1,8см3'2'2,0-0,4-0,80024kz, см-16810Рис. 1.4.1. Дисперсионные кривые  (k z ) коаксиального волновода с тонкой плазменнойтрубкой толщиной  p  0.1 см и средним ра-Рис. 1.4.2. Поперечное распределение E z компоненты электрического поля для k z  2 см -1 .Нумерация кривых соответствует рис.