Диссертация (Коаксиальные волноводы и их применение в плазменной релятивистской СВЧ-электронике), страница 3

Четыре статьи, содержащие основные результаты работы, представленыв рецензируемых научных журналах [106-109].Апробация работыРезультаты научных исследований по материалам диссертации докладывались на следующих конференциях: XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физикеплазмы и УТС. г. Звенигород, 14-18 февраля 2011 [110]. XL Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмыи УТС. г.

Звенигород, 11-15 февраля 2013 [111]. XLI Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. г. Звенигород, 10-14 февраля 2014 [112]. CSCPIER, Complex Systems of Charged Particles and Their Interactionswith Electromagnetic Radiation, Moscow, Russia, April 5-7, 2017.Результаты научных исследований по материалам диссертации докладывались на семинарах и заседаниях кафедры физической электроники физического факультета МГУ им. М.В.

Ломоносова, на семинаре экспериментального отдела в ИОФ РАН им. А.М. Прохорова.14Личный вклад автораМатериалы, представленные в диссертационной работе, получены лично автором. Научные задачи, поставленные в диссертационной работе, разрабатывались совместно с научным руководителем. Автором были написаныкомпьютерные программы, позволяющие рассчитать параметры коаксиальных электродинамических систем, а также определить существующие в нихволны.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Полныйобъем диссертации составляет 118 страниц, включая 45 рисунков и списоклитературы из 120 наименований.Каждая из пяти глав диссертации содержит в себе постановку исследовательской задачи и ее последующее решение.15Глава 1. Коаксиальный плазменный волновод в сильном внешнеммагнитном поле§ 1.1. Дисперсионное уравнение для спектров частот цилиндрическогокоаксиального волновода с полностью замагниченной трубчатойплазмой. Структура электромагнитного поляРассмотрим цилиндрический коаксиальный волновод (с двухсвязнымпоперечным сечением) с внешним радиусом R2 и внутренним R1 .

В волноводе в области r1  r  r2 расположена трубчатая холодная электронная плазма,толщиной  p  r2  r1 (Рис. 1.1.1). Плазму считаем полностью замагниченнойсильным внешним магнитным полем, направленным вдоль оси волновода –оси Z [34, 98, 99].R2R1Br1r2OzРис. 1.1.1. Схема плазменной системы для коаксиального волноводас плазменным заполнением.Для полного электродинамического анализа описанной плазменнойсистемы необходимо получить дисперсионное уравнение D( , k )  0 , описывающее связь между частотой волн в волноводе  и волновым вектором k ,вывести формулы для компонент электромагнитного поля в волноводе и вычислить спектры частот  (k ) . Заметим, что в цилиндрическом волноводероль волнового вектора k играет совокупность трех величин: k z - волновое16число в направлении оси Z, l  0,1,2, - азимутальное волновое число, k  поперечное волновое число, определяющее радиальную структуру поля.Следует уточнить, что в теории плазменных волноводов поперечное волновое число, как правило, определяется в неявной форме через частоту и геометрические параметры волновода.В приближении сильного магнитного поля тензор диэлектрическойпроницаемости плазмы имеет вид [34, 99]1 0 0  ij   0 1 0  , i, j  r,  , z,0 0  (1.1.1)где r ,  , z - цилиндрические координаты,   1   p2  2 ,  p  (4 n e 2 / m)1 / 2 - ленгмюровская частота электронов плазмы, e, m - заряд и масса электрона, n концентрация электронов плазмы, которую в области r1  r  r2 считаем постоянной.

Система уравнений Максвелла с тензором (1.1.1) для решений вида f (r ) exp( i t  ik z z  il ) записывается в следующем виде [8, 30]:dE zikEiB ,zrdrc li Bz  ik z B  i E r ,c r1dl(rB)iBiE z ,rrc r dr(1.1.2)dBzik z Br  dr  i c E , li E z  ik z E  i Br ,c rl1 d r dr ( rE )  i r E r  i c Bz .(1.1.3)Здесь E r , E , E z , Br , B , B z - компоненты векторов напряженности электрического поля и магнитной индукции. Из первых двух уравнений систем (1.1.2)и (1.1.3) получаем выражения для поперечных компонент векторов напряженности электрического поля и магнитной индукции через продольныекомпоненты E z и Bz17Er 1 dE  l 1   dE zl  ik z z Bz  , B  2   i k z Bz ,2 r 0 dr c r  0  c drBr  1  dB z  l1   dBzlE z  , E  2  i k z Ez  , ik z2drc r r 0  0  c dr(1.1.4)где 02  k z2   2 c 2 .(1.1.5)Подставляя выражения (1.1.4) в третьи уравнения систем (1.1.2) и(1.1.3), получаем следующие волновые уравнения:2  E z   0  E z  0,2  B z   0 B z  0 .Здесь   (1.1.6)1 d d l2- поперечная часть оператора Лапласа в цилиндричеr r dr dr r 2ской системе координат.

Уравнения (1.1.6) справедливы и в вакуумных областях волновода, в которых следует положить   1. Уравнения (1.1.6) описывают волны E - и B - типов соответственно. У волны E - типа компонентаE z  0 , а компонента Bz  0 . У волны B - типа наоборот: E z  0 , Bz  0 . В коак-сиальном волноводе помимо волн E и B типов существует так называемаякабельная волна [50, 99]. Данная волна описывается одним из решений системы (1.1.2)-(1.1.3) при значении  k z  c со следующими компонентамиэлектрического и магнитного полей E z  Bz  E  Br  0 и Er  B ~ 1 r .Для плазменной релятивистской СВЧ-электроники и данной работы вчастности особый интерес представляют волны E - типа, поскольку только уних E z  0 . Рассмотрению волн E - типа в коаксиальном волноводе с плазмойпосвящены первые четыре параграфа Главы 1.

Общее решение первого уравнения (1.1.6) в плазменной и вакуумных областях записывается в виде суперпозиции цилиндрических функций [113, 114]: A J (   2 r )  B N (   2 r ), R  r  r ,01 l011 1 l22E z   A2 J l (   0 r )  B2 N l (   0 r ), r2  r  R2 ,22 A3 J l (   0  r )  B3 N l (   0  r ), r1  r  r2 .18(1.1.7)В решении (1.1.7) A1, 2,3 и B1, 2,3 - некоторые постоянные, а J l (x) , N l (x) - цилиндрические функции Бесселя и Неймана l - го порядка.30 = kz cIIIV  = p 10 с10 -120IIII100024kz, см-16810Рис. 1.1.2. Плоскость (, k z ) с различной поперечной структурой E z компоненты электрического поля.

В области I в вакуумных областях волновода поле имеет поверхностныйхарактер, а в плазме – объемный; в области II – в вакуумных областях волновода и в плазме поле имеет объемный характер; в области III – в вакуумных областях волновода полеимеет объемный характер, а в плазме – поверхностный.Для удобства рассмотрения разобьем плоскость (, k z ) на четыре области в зависимости от знаков величин  02 и  , так как, исходя из этого, целесообразно выбирать тот или иной вид цилиндрических функций в общем решении (1.1.7).

Введем также обозначение  р2   02 . В области I на Рис. 1.1.2(   k z c ,    p ) имеем  02  0 ,   0 ,  р2  0 . В этом случае решение (1.1.7) может быть переписано как A1 I l (  0 r )  B1 K l (  0 r ), R1  r  r1 ,E z ( r )   A2 I l (  0 r )  B2 K l (  0 r ), r2  r  R2 , A J (  r )  B N (  r ), r  r  r .3 lp12 3 l p(1.1.8)Здесь и далее  0   02 ,  p    02 , а I l (x) , K l (x) - цилиндрические функцииИнфельда и Макдональда l - го порядка. Из формул (1.1.8) видно, что в вакуумных областях волновода поле имеет поверхностный характер. Это означает, что при удалении от границ плазменной области поле экспоненциальнозатухает. В плазме поле обладает объемным характером, т.е. имеет осцилли19рующий по r характер внутри плазменного слоя.В области II на Рис. 1.1.2 (   k z c ,    p ) имеем  02  0 ,   0 ,  р2  0 .Поле в вакуумных и плазменных областях волновода имеет объемный характер: A1 J l (  0 r )  B1 N l (  0 r ), R1  r  r1 ,E z ( r )   A2 J l (  0 r )  B2 N l (  0 r ), r2  r  R2 , A J (  r )  B N (  r ), r  r  r .3 lp12 3 l p(1.1.9)В области III на Рис.

1.1.2 (   k z c ,    p ) имеем  02  0 ,   0 ,  р2  0 . В этомслучае поле в вакуумных областях имеет объемный характер, в плазме жеполе становится поверхностным: A1 J l (  0 r )  B1 N l (  0 r ), R1  r  r1 ,E z ( r )   A2 J l (  0 r )  B2 N l (  0 r ), r2  r  R2 , A I (  r )  B K (  r ), r  r  r .3 lp12 3 l p(1.1.10)В области IV на Рис. 2 (   k z c ,    p ) имеем  02  0 ,   0 ,  р2  0 .

Забегаявперед, скажем, что волн с частотой  и k z из этой области в рассматриваемом волноводе нет.Для решения уравнения (1.1.6) используем условия непрерывноститангенциальных составляющих напряженности электрического и индукциимагнитного полей на границах плазмы r  r1, 2 и условия обращения в нольтангенциальной составляющей напряженности электрического поля на металлических поверхностях волновода r  R1, 2 . Соответствующие граничныеусловия имеют следующий вид [8, 30, 34]: E z ( R1 )  E z ( R2 )  0,  dE dE z(r1 )   z (r2 )  0, dr d rE (r )  E (r )  0.z 2 z 1(1.1.11)Здесь {A}x  A( x  0)  A( x  0) , где A(x ) - произвольная функция.Для нас наибольший интерес представляют волны в области I, так кактолько в этой области существуют медленные плазменные волны.

Поэтомубудем использовать решение (1.1.8) для нахождения дисперсионного уравне20ния. Используя граничные условия (1.1.11) и решения (1.1.8), получим однородную систему уравнений с шестью неизвестными A1 , A2 , B1 , B2 , A3 , B3 .Условие нетривиальной разрешимости системы представляет собой искомоедисперсионное уравнение для определения спектров частот коаксиальноговолновода с тонкой трубчатой плазмой:D( , k z )  p J l 1 (  p r1 )  P1 J l (  p r1 ) p J l 1 (  p r2 )  P2 J l (  p r2 ) 0. p N l 1 (  p r1 )  P1 N l (  p r1 )  p N l 1 (  p r2 )  P2 N l (  p r2 )(1.1.12)Здесь введены следующие обозначения:P1, 2   0Kl 1 (  0 r1, 2 ) I l (  0 R1, 2 )  I l 1 (  0 r1, 2 ) Kl (  0 R1, 2 ).I l (  0 r1, 2 ) Kl (  0 R1, 2 )  Kl (  0 r1, 2 ) I l (  0 R1, 2 )(1.1.13)Для областей II и III дисперсионное уравнение имеет вид аналогичный(1.1.12), (1.1.13) с учетом соответствующего типа цилиндрических функций,используемых в каждой из областей.

С целью нахождения поперечной структуры поля выпишем следующие выражения для коэффициентов A1, 2, 3 и B1, 2, 3 ,которые определяют структуру компоненты поля E z , где в зависимости отобласти выбирается тот или иной вид функции Бесселя:B3  1, A1, 2   B1, 2B1, 2 K l (  0 R1, 2 )I l (  0 R1, 2 ),A3   B3A3 J l (  p r1, 2 )  B3 N l (  p r1, 2 ) K l (  0 r1, 2 ) K l (  0 R1, 2 ) I l (  0 r1, 2 )  I l (  0 r1, 2 ) I l (  0 R1, 2 )  p N l 1 (  p r1 )  P1 N l (  p r1 ), p J l 1 (  p r1 )  P1 J l (  p r1 ).(1.1.14)Формулы (1.1.14) записаны для области I.§ 1.2.

Спектры частот коаксиального плазменного волновода вдлинноволновой и коротковолновой областяхВ общем случае дисперсионное уравнение (1.1.12) решается толькочисленно. Приближенные аналитические решения удается найти в длинноволновом и коротковолновом пределах.21В длинноволновом пределе ищем решение, удовлетворяющее следующим условиям:k z  0 ,   0 ,  k z    Const .(1.2.1)В этом случае  0 r  k z r 1  v 2 c 2  0 и можно использовать разложение цилиндрических функций от аргумента  0 r при малых значениях аргумента.В рассматриваемом пределе величина  p , входящая в уравнение(1.1.12), принимает вид: p2  2  2  2lim   lim (   )  2  k z  2   q .k 0k 0 c 2pz20(1.2.2)zИз выражения (1.2.2) следует, что если определить величину q , то используяданное соотношение, можно получить выражение для спектра частот:2 k z2 c 2.1  q 2 c 2  p2(1.2.3)Величина q удовлетворяет дисперсионному уравнению (1.1.12), которое приусловии (1.2.1) и с учетом (1.2.2) преобразуется к виду:qJ l 1 (qr1 )  P1 J l (qr1 ) qJ l 1 (qr2 )  P2 J l (qr2 )0.qN l 1 (qr1 )  P1 N l (qr1 ) qN l 1 (qr2 )  P2 N l (qr2 )(1.2.4)Здесь P1, 2 определены в (1.1.13).