Диссертация (Квантовый континуум в коллективной динамике систем слаборелятивистских заряженных частиц), страница 5

Тензор плотности потока импульса Παβ (r, t) равенΠαβZ=dRNXi=1·δ(r − ri )1(ψ ∗ Diβ Diα ψ + Di∗β ψ ∗ Diα ψ)4mi281(ψ ∗ Diβ Diα Di2 ψ + Di∗β ψ ∗ Diα Di2 ψ + Di∗α ψ ∗ Diβ Di2 ψ328mi cNXei ejβγ∗γ ∗ α∗ γ α+ Di∗2 ψ ∗ Diβ Diα ψ) −[G(ψDDψ+Dψ Di ψ)ijjji2j=1,j6=i 8mi mj c−+∗ γ βGαγij (ψ Dj Di ψDj∗γ ψ ∗ Diβ ψ)]+¸+ c. c. .(2.28)На самом деле, в нерелятивистском пределе ”поток тока” частиц Παβ совпадает с плотностью потока импульса, но в слаборелятивистском и полностьюрелятивистском случае это больше не так [31].Как и в случае функции плотности тока, тензор плотности потока импульса содержит поправки, появляющиеся в слаборелятивистской теории.Можно показать, что этот тензор симметричен: Παβ (r, t) = Πβα (r, t).Плотность силы взаимодействия Fα (r, t) частиц может быть представлена как сумма трех слагаемых, которые отражают вклад различныхтипов взаимодействий:αF α (r, t) = Fclα (r, t) + Frα (r, t) + Fcur(r, t),(2.29)гдеFclαZ=−dRNXi,j=1,i6=jδ(r − ri )ei ej ∂iα Gij ψ ∗ ψ,(2.30)описывает вклад кулоновского взаимодействия в плотность силы,Frα+Z=−dRNXδ(r − ri )i=1β∗ β αEi (ψ Di Di ψei[Eiα (ψ ∗ Di2 ψ + c.

c.)224mi c+ Di∗β ψ ∗ Diα ψ + c. c.) − h̄2 ∂iβ (∂iα Eiβ ψ ∗ ψ)], (2.31)часть плотности силы, связанная с релятивистской поправкой к импульсу.Данная величина состоит из трех групп слагаемых. Первая из них пропорциональна плотности кинетической энергии, вторая - тензору плотностипотока импульса, третья приведет к новому чисто квантовому слагаемомув уравнении баланса импульса. Она пропорциональна дивергенции тензо-29ра, который состоит из произведения плотности числа частиц на пространственную производную напряженности электрического поля.Третье слагаемое в уравнении (2.29) имеет видαFcurZ=ei e2j αβ β ∗dRδ(r − ri ) −G E ψ ψ2mj c2 ij ji,j=1,i6=jNX·ei ejβ αγ∗β ∗ γ∗ β γ(∂iα Gβγij − ∂i Gij )(ψ Di Dj ψ + Di ψ Dj ψ + c.

c.)28mi mj cei ej γ αβ ∗ β γ+∂i Gij (ψ Dj Dj ψ + Dj∗β ψ ∗ Djγ ψ + c. c.)228mj c+ei ej h̄2 α βγ β γ ∗ ¸∂ G ∂ ∂ (ψ ψ) ,−8mi mj c2 i ij i j(2.32)и представляет собой часть плотности силы, связанная с ток-токовым взаимодействием между частицами. Она состоит из четырех групп слагаемых.Первая группа соответствует наличествующему в классической теории слагаемому, происходящему от явной зависимости импульса частицы от скоростей остальных частиц системы (pi 6= mi vi ). Вторая группа в отсутствиеквантовых корреляций приводит к магнитной части силы Лоренца, вызванной ток-токовым взаимодействием: [je , Bint ]/c. Третья - пропорциональнатензору плотности потока импульса и также соответствует классическомувыражению.

Четвертая группа слагаемых является полностью квантовой,имеет сложную структуру и, в частности, пропорциональна второй производной от двухчастичной концентрации (2.34).Полное электрическое поле, действующее на i-ую частицу, определяется следующим образом:αEiα = Ei,ext−NXj=1,j6=iej ∂iα Gij .(2.33)Уравнение баланса импульса по форме соответствует известномууравнению Эйлера. В это уравнение (в отличие от уравнения непрерывности) взаимодействие входит в явном виде.

В случае системы частиц скулоновским взаимодействием полученное уравнение совпадает по форме30с классическим уравнением, однако, содержит квантовые корреляции, вызванные обменным взаимодействием. Квантовый характер проявляется вналичии дополнительного квантового давления, называемого квантовымпотенциалом Бома.В случае учета слаборелятивистских поправок в уравнении баланса импульса появляются существенно новые слагаемые.

Всего появляетсядве группы слагаемых: первая связана с релятивистской поправкой к импульсу, вторая - с ток-токовым взаимодействием. Часть из этих слагаемыхявляется классической, т. е. появляется при построении классической гидродинамики на основе лагранжиана Дарвина (за той оговоркой, что тензорплотности потока импульса и плотность энергии содержат в себе квантовую часть, отсутствующую в классической теории). Существенно новымиже являются квантовые слагаемые, явно пропорциональные h̄.При выводе уравнений квантовой гидродинамики мы начинаем сопределения плотности числа частиц, дифференцируя которую получаемуравнение непрерывности, в котором возникает выражение для функцииплотности тока через волновые функции. В уравнении для функции плотности тока появляются новые функции, для которых путем дифференцирования по времени можно получить уравнения их эволюции.

Таким образом, получается бесконечная цепочка уравнений в трехмерном физическомпространстве, подобная цепочке Боголюбова в физической кинетике. Этацепочка уравнений эквивалентна исходному уравнению Шредингера.Полученные выше уравнения написаны в общем виде. Далее мы рассмотрим эти уравнения в приближении самосогласованного поля. Если ввести двухчастичную концентрациюn2 (r, r0 , t) =ZdRNXδ(r − ri )δ(r0 − rj )ψ ∗ (R, t)ψ(R, t),(2.34)i,j=1,i6=jто в случае системы, состоящей из частиц одного сорта, а также в при-31ближении самосогласованного поля (n2 (r, r0 , t) = n(r, t)n(r0 , t)), выражениедля плотности силы кулоновского взаимодействия Fclα принимает видFclα (r, t)2= −e n(r, t) ∂αZG(r − r0 )n(r0 , t)dr0 .(2.35)Далее, после введения поля скоростей в п. 2.6, все величины в полученных уравнениях будут написаны также в приближении самосогласованного поля.2.5.Уравнение баланса энергииПри исследовании гидродинамических уравнений в литературе обыч-но рассматривается пятимоментное приближение, состоящее из уравнениянепрерывности, уравнения баланса импульса и уравнения баланса энергии.Выше нами были получены уравнения непрерывности и баланса импульса.

Теперь мы переходим к выводу квантового уравнения баланса энергии.Плотность энергии рассматриваемой системы частиц определяется следующим образом:¶11 ∗ 2∗ 4ψ Di ψ −ψ Di ψ + c. c.ε(r, t) = dR δ(r − ri )4mi16m3i c2i=1¶¸N µ1Xei ejαβ∗∗ α β+ei ej Gij ψ ψ −G (ψ Di Dj ψ + c. c.) . (2.36)8mi mj c2 ijj=1,j6=i 2ZNX·µКак и в случае с плотностью тока массы (2.26), дифференцируя данное выражение по времени и используя уравнение Шредингера, получимуравнение баланса энергии:∂t ε(r, t) + ∂α Qα (r, t) = jeα (r, t)Eα (r, t) + A(r, t),(2.37)где Qα (r, t) - вектор плотности потока энергии, A(r, t) - плотность работы.Вектор плотности потока энергии имеет сложную структуру. Мы разбиваем его на три частиQα (r, t) = Qα0 (r, t) + Qαcoul (r, t) + Qαr,cur (r, t),(2.38)32и рассматриваем их по-отдельности.

Первое слагаемое в формуле (2.38)является нерелятивистской плотностью потока кинетической энергии (см.[1]) и имеет видQα0 =ZdRNXδ(r − ri )i=11(ψ ∗ Diα Di2 ψ + Di∗α ψ ∗ Di2 ψ + c. c.).28mi(2.39)Плотность потока энергии кулоновского взаимодействия представлена вторым слагаемым в формуле (2.38):QαcoulZ=dR·NXδ(r − ri )ei ej Giji,j=1,i6=j1(ψ ∗ Diα ψ + c. c.)4mi1(ψ ∗ Diα Di2 ψ + Di∗α ψ ∗ Di2 ψ + c. c.)3216mi c¸NXei ekαβ∗ β−G (ψ Dk ψ + c. c.) ,2 ikk=1,k6=j 8mi mk c−(2.40)где стоящее в квадратных скобках выражение по своей структуре аналогично току j α (2.26) и состоит из трех частей. Первая часть соответствуетполученному ранее результату нерелятивистской теории [1], вторая и третья вызвана вкладом слаборелятивистских эффектов.Часть плотности потока энергии Qαr,cur , наличие которой проистекает из слаборелятивистских поправок в гамильтониане (2.23), определяетсявыражениемZNX·1(ψ ∗ Diα Di4 ψ4216mi ci=1∗α ∗ 4∗2 ∗ α 2+ Di ψ Di ψ + Di ψ Di Di ψ + c.

c.)NXei ej∗β ∗ 2∗ β 2{Gαβ+ij (ψ Dj Di ψ + Dj ψ Di ψ + c. c.)22j=1,j6=i 16mi mj cQαr,cur=−dRδ(r − ri )¸∗ α β γ∗α ∗ β γ+ Gβγij (ψ Di Di Dj ψ + Di ψ Di Dj ψ + c. c.)} .(2.41)Слагаемые в первых двух строках происходят от слаборелятивистской поправки к импульсу, в последних двух - от ток-токового взаимодействиямежду частицами.33Выражение для плотности работы A(r, t) можно также разбить натри части:A(r, t) = Acl (r, t) + Ar (r, t) + Acur (r, t),(2.42)гдеZclA =dRNXδ(r −i,j=1,j6=iri )ei ej ∂iα Gij·1(ψ ∗ Diα ψ + c. c.)4mi11(ψ ∗ Djα ψ + c. c.) −(ψ ∗ Diα Di2 ψ + Di∗α ψ ∗ Di2 ψ324mj16mi c1(ψ ∗ Djα Dj2 ψ + Dj∗α ψ ∗ Dj2 ψ + c. c.)+ c. c.) +3216mj cNXei ek∗ βGαβ−ik (ψ Dk ψ + c. c.)2k=1,k6=i 8mi mk c−¸ej ekαβ∗ β+G (ψ Dk ψ + c.

c.) ,2 jkk=1,k6=j 8mj mk cNX(2.43)Acl является кулоновской частью плотности работы (что видно из опредеRления плотности тока массы (2.26) и соотношения j α (r, t) = dRPNi=1 δ(r −ri )ψ ∗ ψmi viα ), откуда видно, что1 Diα ψ11=−(ψ ∗ Diα Di2 ψ + Di∗α ψ ∗ Di2 ψ)32∗2mi ψ8mi c ψ ψβNXei ejαβ Dj ψ−G+ c. c.,2 ij4mmcψijj=1,j6=iviα(2.44)после чего легко видеть соответствие формулы для Acl соответствующейчасти классического уравнения баланса энергии (2.13).