Диссертация (Квантовый континуум в коллективной динамике систем слаборелятивистских заряженных частиц), страница 3

Выражениедля спин-спинового взаимодействия (последняя строка) взято из работы[2] и является уточненным по отношению к известному выражению [44].При исследовании конкретных физических процессов, таких как дисперсия волн, взаимодействие пучков заряженных частиц с плазмой, в современной литературе используют уравнения квантовой гидродинамики,полученные из многочастичного уравнения Шредингера, и система этихуравнений затем замыкается для конкретной системы частиц [1]-[3], [45].Также используются уравнения гидродинамики, полученные из уравненияШредингера для одной частицы во внешнем поле [46]-[48].Поскольку мы развиваем метод квантовой гидродинамики, краткоприведем историю его разработки.

В 1926 году Маделунг [49], исходя изуравнения Шредингера для одной частицы во внешнем поле, получил систему уравнений гидродинамического вида. Эта система уравнений состоитиз уравнения непрерывности и уравнения баланса импульса. Поле скоростей в ней является потенциальным. Таким образом, Маделунг перешелот одной абстрактной комплексной функции к наблюдаемым физическимпеременным - плотности и скорости потока. Гидродинамическая формулировка квантовой задачи о движении заряженной частицы со спином вовнешнем электромагнитном поле была выполнена Такабаяси в 1955 году[50].

В его работе, наряду с уравнениями непрерывности и баланса импульса, получено уравнение эволюции спина. В уравнении баланса импульсабыло получено явное выражение для поля силы взаимодействия магнитного момента с внешним полем. Таким образом, гидродинамика может бытьвыведена напрямую из уравнений механики.

Тем не менее, традиционныйспособ вывода гидродинамических уравнений состоит в получении момен-16тов кинетического уравнения. До сих пор используется метод кинетического уравнения Вигнера [11], [20], [24], [51]. Однако, оказалось возможным найти прямой вывод квантовой гидродинамики из многочастичногоуравнения Шредингера.

Это было сделано в 1999-2001 в [1], [2], [52]. Дальнейшее развитие было проведено в [3], [5], [42]. Квантовая гидродинамикаимеет различные приложения, но главным образом она используется приисследовании квантовой плазмы. Обзор последних исследований в областиквантовой гидродинамики проведен в работах [53] и [54]. В [55] показанаэффективность описания линейных свойств квантовой плазмы с помощьюуравнений гидродинамики, получаемых из уравнения Шредингера.При исследовании квантовой плазмы многоэлектронного атома, многонуклонной задачи, процессов переноса, распространения волновых возмущений в таких системах приходится иметь дело с динамикой большогочисла взаимодействующих частиц. Уравнение Шредингера для системы Nвзаимодействующих частиц определено в 3N-мерном конфигурационномпространстве, тогда как распространение возмущений, процессы обменаэнергией и импульсом происходят в трехмерном физическом пространстве.Таким образом возникает задача перехода от функций, определенных вконфигурационном пространстве, к эквивалентному квантовому описаниюсистемы N частиц в терминах физических полей в трехмерном пространстве.

Метод многочастичной квантовой гидродинамики [1]-[3] решает задачу перехода к динамике в физическом пространстве. Этот переход осуществляется с помощью дельта-функции Дирака, находящейся в определении гидродинамических переменных. Дельта-функции играют роль проекционных операторов из 3N-мерного конфигурационного пространства втрехмерное физическое.В первой работе [1] по квантовой гидродинамике N взаимодействую-17щих частиц принималось во внимание только кулоновское взаимодействие.Метод квантовой гидродинамики позволяет вывести уравнение непрерывности и уравнение Эйлера, но он также позволяет вывести другие гидродинамические уравнения, такие как уравнения эволюции энергии, давления,потока энергии, и провести обрезание системы уравнений на определенном шагу.

Уравнение эволюции энергии было выведено в [1], также былирассмотрены квантовые вклады в уравнения баланса импульса и энергии,квантовые обменные корреляции для бозонов и фермионов (это было проделано для того, чтобы рассмотреть межчастичное взаимодействие за пределами приближения самосогласованного поля).В последовавших за работой по кулоновскому взаимодействию статьях следующие взаимодействия были включены в схему квантовой гидродинамики: спин-спиновое [2], спин-орбитальное [4], [34], [35], спин-токовоевзаимодействия [4], [5]. Обменная часть кулоновского и спин-спинового взаимодействий была выведена в [52], и она применялась для вычисления дисперсии в квантовых плазменных средах [56].

В других работах по даннойтематике были исследованы ультра-холодные квантовые газы нейтральныхчастиц [45], система молекул с диполь-дипольным взаимодействием, в связи с чем были проанализированы уравнения эволюции плотности поляризации [3], [57], система парамагнитных частиц с электрическим дипольныммоментом [37], и т. д.

Следует отметить, что квантовогидродинамическаятеория ультра-холодных нейтральных квантовых газов основана на обменной части короткодействующего потенциала взаимодействия [45].Эволюция магнитных моментов в квантовой плазме приводит кразличным явлениям [53]; в частности, она дает распространение новых типов возмущений [58]-[60], где динамика спинов включена в эволюцию электромагнитных возмущений, поэтому их можно назвать спиново-18электромагнитные плазменные волны.

Существование отдельных плазменных волн, когда электрическое поле в плазме не дает вклада в механизмраспространения этих плазменных волн, было также показано в [58]; более детальное описание спиновых и спиново-электромагнитных волн может быть найдено в [4]. Неустойчивости в намагниченной квантовой плазме могут быть вызваны распространением нейтронного пучка [4], [56]; этинеустойчивости происходят от спин-спинового взаимодействия спинов нейтронов и спинов плазмы, а также от спин-токового взаимодействия спиновнейтронного пучка и электронных токов в плазме.Уравнения квантовой гидродинамики системы многих взаимодействующих заряженных частиц с собственным магнитным моментом получены в [2].

Наличие магнитного момента у частиц так же, как в работеТакабаяси [50] приводит к уравнению баланса магнитного момента. Полученные в [2] выражения для поля силы взаимодействия плотности магнитного момента с внешним магнитным полем и полем магнитных моментов вприближении самосогласованного поля находятся в соответствии с работой[50].Взаимодействия, составляющие гамильтониан Брейта, входят в негоаддитивно, и, соответственно, результаты, полученные для каждого взаимодействия в отдельности, дают результат для полного гамильтонианапутем суммирования друг друга. В качестве очередного шага по исследованию квантовой гидродинамики, построенной на основе гамильтонианаБрейта, в данной работе будет проведено рассмотрение ток-токового взаимодействия, а также релятивистской поправки к кинетической энергии.Это позволит использовать полученный аппарат для широкого класса физических систем, учитывая, например, тот факт, что солнечная плазма неявляется ультрарелятивистской (T ¿ mc2 ).19Появляются статьи, посвященные обсуждению области применимости квантовой гидродинамики [61], [62].

Следует отметить, что эти обсуждения проводятся вокруг уравнений квантовой гидродинамики, полученных из одночастичного уравнения Шредингера, расщепленного на числоодночастичных уравнений для слабовзаимодействующих частиц.Приложения вигнеровской кинетики расширяются с увеличением интереса к квантовой плазме в последние годы [51], [63]-[70], включая обобщения для частиц со спином. В большинстве случаев авторы используютвигнеровскую функцию распределения, определенную через одночастичные волновые функции независимых частиц, подчиняющихся одночастичному уравнению Шредингера.

В результате получается замкнутый математический аппарат, выглядящий как квантовое уравнение Власова в приближении самосогласованного поля. Однако, общая вигнеровская функцияраспределения может быть использована для вывода более общей цепочкикинетических уравнений, обрезаемой на требуемом шаге [24]. Кинетический подход Вигнера также применяется в [71], [72], где авторы рассматривают взаимодействие при некоторых общих условиях и выводят соответствующие квантовые гидродинамические уравнения применяя принципквантового максимума энтропии для того, чтобы замкнуть систему уравнений.

Некоторые попытки получить альтернативные кинетические методытакже были исполнены в недавнее время [73]-[76].При наличии кинетического уравнения могут быть получены соответствующие квантовые гидродинамические уравнения, так что полученная система не ограничена уравнениями непрерывности и Эйлера (соответствующая система уравнений для частиц со спином также содержит обобщенное уравнение Блоха для эволюции плотности спина). Оно позволяетнайти уравнения для эволюции энергии, давления и т. д. Мы не проверя-20ли возможности вигнеровской кинетики, но мы не видели вывода явнойформы потоков импульса и энергии, содержащей квантовые потенциалыБома. Метод многочастичной квантовой гидродинамики, который рассматривается в данной работе, также позволяет получать уравнения эволюцииэнергии, давления, потока энергии и т.

д., но в противоположность вигнеровской кинетике, он позволяет получить явную форму потоков, содержащих квантовые части, ассоциирующиеся с квантовым потенциалом Бома(см., например, [1], [2], [5], а также ниже в данной работе). Нерелятивистское квантовое уравнение эволюции энергии, включающее потенциал Бома,рассмотрено в [77] с целью исследовать влияние уравнения баланса энергиина дисперсию волн.Еще один метод вывода уравнений квантовой гидродинамики былнедавно предложен [78]. Этот метод также дает полную цепь гидродинамических уравнений. В частности, в [78] автор обсуждает вывод уравнениядля плотности энергии, для вывода используется положительности ростаэнтропии и, в связи с этим, тензор натяжений и поток тепла выводятся сприменением линейной необратимой термодинамики для того, чтобы получить модель со спинами.