Диссертация (Квантовый континуум в коллективной динамике систем слаборелятивистских заряженных частиц), страница 2

Иванов А.Ю., Андреев П.А. Дисперсия волн в слаборелятивистскойквантовой плазме и пучке частиц // Известия вузов. Физика. 2013.Т. 56. N. 3. С. 80.2. Ivanov A. Yu., Andreev P. A., Kuzmenkov L. S. Balance equations insemi-relativistic quantum hydrodynamics // Int. J. Mod. Phys. B. 2014.V. 28. P.

1450132.3. Андреев П. А., Иванов А. Ю. Слаборелятивистские квантовые эффекты в двумерном электронном газе: дисперсия ленгмюровскихволн // Известия вузов. Физика. 2014. Т. 57. N. 9. С. 54-62.4. Ivanov A. Yu., Kuz’menkov L. S. Influence of quantum energy equationon electronic plasma oscillations // Int. J.

Mod. Phys. B. 2015. V. 29. N.19. P. 15501.5. Ivanov A. Yu., Andreev P. A., Kuzmenkov L. S. Langmuir waves in semirelativistic spinless quantum plasmas // Prog. Theor. Exp. Phys. 2015.V. 2015. P. 063102.6. Andreev P. A., Ivanov A. Yu. Exchange Coulomb interaction innanotubes: Dispersion of Langmuir waves // Phys. Plasmas. 2015. V.22. P. 072101.107. Иванов А. Ю. О релятивистских эффектах в квантовой гидродинамике // Сборник тезисов конференции ”ЛОМОНОСОВ-2011” , секция”Физика”. 2011. Т. 2. С. 141.8. Кузьменков Л. С., Андреев П.

А., Иванов А. Ю. О слаборелятивистском нелинейном уравнении Шредингера // Сборник тезисов конференции ”Ломоносовские чтения-2011”, секция физики. 2011. С. 131.9. Andreev P. A., Ivanov A. Yu., Kuzmenkov L. S. Semi-relativistichydrodynamics of three-dimensional and low-dimensional quantumplasmas // First ICTP-NCP International College on Plasma Physics,Pakistan. 2013.10. Иванов А. Ю. Дисперсия собственных волн в слаборелятивистскойбесспиновой плазме с учетом дарвиновского члена // Сборник тезисов конференции ”ЛОМОНОСОВ-2014”, секция ”Физика”. 2014.

С.236.11. Иванов А. Ю. Дисперсия ленгмюровских волн с учетом обменноговзаимодействия в двумерной кулоновской квантовой плазме, расположенной на цилиндрической поверхности // Сборник тезисов конференции ”ЛОМОНОСОВ-2015”, секция ”Физика”. 2015.Апробация результатовРезультаты”Ломоносов-2011”,Internationalдокладывалисьна”ЛомоносовскиеCollegeonPlasmaмеждународныхчтения-2011”,Physics(2013),конференцияхFirstICTP-NCP”Ломоносов-2014”,”Ломоносов-2015”.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из семи глав, списка литературы, включающего148 наименований. Общий объем текста - 144 машинописных страницы с1116 рисунками.1-ая глава является введением в работу, в ней приводится анализ поставленной проблемы и дается обзор литературы, посвященной развитиюоснов метода квантовой гидродинамики.Во 2-ой главе производится вывод уравнений слаборелятивистскойквантовой гидродинамики на основе гамильтониана Дарвина, описывающего систему частиц на микроскопическом уровне; предварительно также выводятся соответствующие уравнения классической гидродинамики.Уравнения выводятся в пятимоментном приближении, включающем уравнения непрерывности, баланса импульса и баланса энергии.3-я глава посвящена получению дисперсионного соотношения дляленгмюровских волн в слаборелятивистском случае на основе полученногово 2-ой главе аппарата (а также исследуются волны в слаборелятивистском потоке частиц).

В 4-ой главе соответствующая задача рассмотрена вдвумерном случае.В 5-ой главе производится учет контактного взаимодействия, и производится сравнение соответствующих дисперсионных формул с формуламидругих авторов, полученными из квантовой кинетики, разработанной наоснове одночастичного гамильтониана. Показано, что ”одночастичный” результат случая отличается от ”многочастичного”, что затрагивает важныйвопрос, связанный с принципом суперпозиции полей.

В этой главе такжерассмотрена дисперсия в электрон-позитронной плазме.6-ая глава посвящена изучению вклада уравнения баланса энергии вдисперсию ленгмюровских волн в кулоновской плазме. В 7-ой главе исследована дисперсия плазменных волн на двумерной поверхности нанотрубкис учетом обменного взаимодействия.121.1.Обзор проблемыРабота посвящена дальнейшему развитию метода квантовой гидро-динамики [1]-[4]. В предыдущих работах по данной теме исследовалисьнерелятивистские системы частиц, а также влияние некоторых релятивистских поправок в гамильтониане на ход физических процессов в системе [2],[4], [5].

Цель данной работы - установление формул, определяющих видполевых физических величин различной тензорной размерности, а такжесвязей между этими величинами в рамках уравнений квантовой гидродинамики системы заряженных частиц с кулоновским и ток-токовым взаимодействиями, находящихся во внешнем электромагнитном поле, при учететакже релятивистской поправки к кинетической энергии с точностью до(v/c)2 .

Исторически первым примером ток-токового взаимодействия является закон Био-Савара-Лапласа. В классической релятивистской механике можно сформулировать задачу об электромагнитном взаимодействии Nчастиц. Функция Лагранжа в слаборелятивистском приближении с точностью до (v/c)2 была получена Дарвином [6] и имеет видL =N µ m v2Xi ii=1+2Nei ejmi vi4 ¶ 1 X+−28c2 i,j=1,i6=j rijei ej ·(vi rij )(vj rij ) ¸vv+.i j22r4criji,j=1,i6=jijNX(1.1)где mi , ei - массы и заряды частиц, c - скорость света, ri - радиус-вектор iой частицы, vi = ṙi - скорости частиц, rij = ri − rj .

Первая группа членов впервой строке - это нерелятивистская кинетическая энергия частиц, втораягруппа связана с релятивистской поправкой к ней, третья - энергия кулоновского взаимодействия. Ток-токовому взаимодействию соответствуетгруппа слагаемых во второй строке.

В этом приближении функция Лагранжа не включает в себя излучения частицами электромагнитных волн.В 1938 году А. А. Власовым [7]-[9] было предложено кинетическое13уравнение, описывающее динамику N заряженных взаимодействующих частиц в приближении самосогласованного поля. При этом принималось вовнимание полное электромагнитное взаимодействие (т. е.

поля, создаваемые частицами, удовлетворяют всей системе уравнений Максвелла). В 1946году Н. Н. Боголюбовым был дан вывод кинетического уравнения для системы N частиц, взаимодействующих по закону Кулона [10], [11]. Выводкинетического уравнения на основе лагранжиана Дарвина представлен в[12]-[14], некоторые дальнейшие разработки в этой области могут быть найдены в [15]-[18].

Рассмотрение слаборелятивистских эффектов в квантовойплазме началось в [19]-[23], часть исследований была проведена в терминах вигнеровской функции распределения [24]. Недавние статьи показывают, что существует сильный интерес к релятивистским эффектам в плазме[25]-[32] и квантовой плазме [33]. Слаборелятивистские поправки представляют интерес также в уравнениях квантовой кинетики плазмы [33]. Спинорбитальное взаимодействие в квантовой плазме рассмотрено в [4], [34]-[37].Квантовая гидродинамика, базирующаяся на релятивистском уравненииКлейна-Гордона, рассмотрена в [38].

Квантово-гидродинамическое описание дираковского электрона представлено в [39]. Многие астрофизическиеприложения ожидают создания релятивистской квантовой гидродинамикии кинетики; часть таких астрофизических приложений описана в недавнемобзоре [40].Некоторые свойства многочастичной слаборелятивистской квантовойрассмотрены в наших недавних статьях [41] и [42]. Эти работы были сфокусированы на уравнении Эйлера и дисперсии ленгмюровских волн.

Дарвиновское взаимодействие, пропорциональное дельта-функции, было рассмотрено в нашей работе [41]. Было показано, что дарвиновское взаимодействие сопоставимо по вкладу со слаборелятивистской частью кинетической14энергии.Создание полностью релятивистской квантовой гидродинамикивстречает определенные трудности, поскольку не существует квантовогоуравнения, описывающего динамику системы многих релятивистских частиц с полным электромагнитным взаимодействием. Такая система является негамильтоновой. Эволюция одной частицы со спином во внешнемэлектромагнитном поле эффективно описывается уравнением Дирака.Квантовое обобщение гамильтониана, соответствующего лагранжиану Дарвина, было предложено Брейтом [43].

Поэтому на пути построениярелятивистской квантовой гидродинамики системы многих частиц на микромасштабах является естественным использовать этот гамильтониан, описывающий квантовую систему N частиц с электромагнитным взаимодействием с точностью до второго порядка по v/c. Квантовомеханический вывод гамильтониана Брейта проделан Ландау; вывод гамильтониана Брейтаиз матричного элемента рассеяния двух электронов представлен в [44].

Гамильтониан Брейта имеет видN µXp̂4i ¶p̂2iĤ =−8mi3 c2i=1 2mi½N1 Xei ejei ej h̄2 µ 11 ¶+−π+ 2 δ(ri − rj )2 i,j=1,i6=j rij2c2 m2imjµei ejrij (rij p̂i )p̂j ¶p̂−p̂+i j2mi mj c2 rijrij2ei ej h̄ · [rij p̂i ]α σiα [rij p̂j ]α σjα 2([rij p̂i ]α σjα − [rij p̂j ]α σiα ) ¸− 2 3−+4c rijm2im2jmi mj+· αβ¸¾δ3xαij xβij 8π αβei ej h̄2σσ−−δδ(r−r),iα jβij8mi mj c2rij3rij53(1.2)где p̂i = −ih̄∇i - оператор импульса частицы, σiα - оператор спина частицы,h̄ - постоянная Планка. Как видно из данного выражения, гамильтонианБрейта содержит, наряду с кулоновским и ток-токовым взаимодействиями,также спин-спиновое (четвертая строка), спин-токовое и спин-орбитальное15взаимодействия (третья строка). Присутствует также взаимодействие, пропорциональное δ(ri − rj ), которое можно назвать контактным.