Диссертация (Квантовый континуум в коллективной динамике систем слаборелятивистских заряженных частиц), страница 10

Hrel и HD представляют собой релятивистские части рассматриваемого гамильтониана, причем HD не имеет аналога в классическойфизике (см. лагранжиан Дарвина и соответствующий гамильтониан в [6],§65). Hrel состоит из слаборелятивистской части кинетической энергии иток-токового взаимодействия, описывающего закон Ампера. HD состоит издарвиновского члена, описывающего квантово-релятивистскую силу, действующую на заряд со стороны внешнего неоднородного электрическогополя Eext и дарвиновского взаимодействия, описывающего тот же эффект,но под действием электрического поля, созданного другими зарядами рассматриваемой системы частиц.Второе слагаемое в формуле (4.19), описывающей дарвиновское взаимодействие, удобнее переписать в иной формеHD,int1 X  ei ej h̄2  11 1,=+∆i2 i,j6=i 8c2m2im2jrij(4.20)где мы использовали формулу ∆i (1/rij ) = −4πδ(ri − rj ).

Формула (4.20)была использована нами при выводе уравнений квантовой гидродинамики для частиц, находящихся в двумерном слое трехмерного пространства.Однако, мы уменьшили коэффициент в формуле (4.20) в два раза, чтобы второе слагаемое формулы (4.19), полученное из квантовоэлектродинамической амплитуды рассеяния двух заряженных частиц (см. [44], §83),соответствовало первому слагаемому в той же формуле, выведенной изуравнения Дирака (см. [44], §33).644.4.Уравнение динамики линейных возмущенийЗдесь мы представим систему уравнений квантовой гидродинамикив линейном приближении по малым возмущениям концентрации и поляскоростей относительно их равновесных значений n0 и v0 = 0. Мы рассматриваем распространение плоской монохроматической волны δn и δv∼ exp (−iωt + ikr) в направлении k.

Для плоской волны система уравнений (4.1) принимает вид:−iωδn + ikn0 δv = 0,и−iωmn0 δvα +ikα 3mvs2(4.21)h̄2 k 2h̄4 k 4 +−δn4m8m3 c2h̄2 k 2e2h̄2 k 2= −e2 n0 ikα β̂ 1 − θ 2 2  δn+e2 n0 ikα β̂ ξ 2 2  δn+ikα β̂ 2 (ε̂0 + p0 ) δn4m c4m cmc3e2 n0 vs2e2h̄2e4 2 2+ik G (k)+n0 k +n β̂ δn,2c28m2 c22mc2 0βαβ(4.22)где β̂ = 2π/k представляет собой двумерный фурье-образ функции Гринакулоновского взаимодействия, также использован двумерный фурье-образфункции Грина ток-токового взаимодействия2π  αβ k α k β Gαβ (k) =2δ − 2kk(4.23)и ее следующее свойство k β Gαβ (k) = 2πk α /k позволяет упростить уравнение (4.22) и получить закон дисперсии.

Чтобы различить вклад двух схожих слагаемых, вызванных различными взаимодействиями, мы добавиликоэффициенты θ и ξ, каждый из них равен единице, они служат лишьиндикаторами их физической природы. Коэффициент θ использован дляслагаемого, вызванного дарвиновским взаимодействием. Коэффициент ξ65использован для слагаемого, возникающего из-за коммутирования операторов слаборелятивистской добавки к кинетической энергии и кулоновскоговзаимодействия.4.5.Дисперсия двумерных ленгмюровских волнСистема уравнений (4.21) и (4.22) имеет отличное от нуля решениедля амплитуд колебания концентрации и поля скоростей, если детерминантсистемы уравнений равен нулю.

Это условие дает алгебраическое уравнение, связывающее частоту ω, волновой вектор k и параметры системы n0 ,m, vs и т.д.В результате вычислений мы получаем следующую формулу для частоты ленгмюровских волнh̄2 k 2 h̄2 k 4h̄4 k 622 2 2ω = ωLe 1 − (θ + ξ) 2 2 + 3vs k +−4m c4m2 8m4 c22−ωLe22T0ωLeh̄2 k 4 22 2−ωLe + 3vs k +,mc2 2k 2 c24m2где2ωLe=2πe2 n0 km(4.24)(4.25)есть двумерная ленгмюровская частота, появление которой вызвано кулоновским взаимодействием между зарядами, ε̂0 = n0 T0 и p0 = n0 T0 , так чтоε̂0 + p0 = 2n0 T0 ; в этих формулах n0 - двумерная концентрация, имеющаяразмерность см−2 .Пренебрегая в формуле (4.24) слаборелятивистскими членами, которые пропорциональны 1/c2 , мы получаем хорошо известную из нерелятивистской теории частоту двумерных ленгмюровских волн2ωnon.rel.=2ωLe+3vs2 k 2h̄2 k 4,+4m2(4.26)66содержащую вклад теплового движения, представленный вторым слагаемым, и квантовый вклад (представленный последним слагаемым), представляющий собой частоту волны де-Бройля.Теперь мы можем описать слагаемые, представленные формулой(4.24), возникающие в частоте ленгмюровских волн в слаборелятивистскомприближении.

Прежде всего, отметим единственное слагаемое, возникающее из-за дарвиновского взаимодействия, которое пропорционально величине θ. Три слагаемых, пропорциональных ξ, k 6 и (ε̂0 + p0 ) соответственно,возникают вследствие учета слаборелятивистской поправки к кинетической энергии в исходном гамильтониане. Четвертое слагаемое, пропорциональное k 6 , появляется из релятивистcкой части квантового потенциалаБома, который, повторимся, также возникает из слаборелятивистской поправки к кинетической энергии. Как упоминалось выше, член, пропорциональный ξ, происходит из коммутирования операторов кулоновского взаимодействия и D̂i4 . Однако, это не единственный член, возникающий прикоммутировании этих операторов, пятый член в формуле (4.24) имеет то жепроисхождение, хоть и при этом иную структуру.

Последняя группа сла2гаемых в формуле (4.24), пропорциональная ωLe/c2 , вызвана ток-токовымвзаимодействием. Для взаимодействия электронов второе слагаемое в формуле (4.19) дает θ = 1. Вспоминая, что ξ = 1, получаем следующий сдвигленгмюровской частоты в формуле (4.24):2ωLeµ1−h̄2 k 22m2 c2¶.Уравнение Дирака описывает эволюцию одной частицы во внешнемполе. Соответственно, динамика частицы не влияет на поведение источника поля, что формально соответствует бесконечной массе источника поляmj = ∞. Это дает совпадение результатов, даваемых обоими членами формулы (4.19). Это соответствует θ = 1/2.

В итоге получаем θ+ξ = 3/2. Такойрезультат отличается от вклада Zitterbewegung-члена (происходящего от67дарвиновского члена). Изменение вызвано вкладом слаборелятивистскойдобавки к кинетической энергии.Рассматривая динамику и взаимодействие электронов, мы должныследовать гамильтониану Брейта, и, следовательно, второму слагаемомуформулы (4.19) без внесения в нее каких-либо изменений, мы должны положить θ = 1, и получаем в итоге θ+ξ = 2. Эти значения мы рассматриваемкак окончательный и корректный результат.Обратим внимание еще раз на тот факт, что данная работа, нарядус [3], [88] имеет методическое значение, описывая применение квантовойгидродинамики для низкоразмерных систем.

Настоящая работа описываетформу слаборелятивистских слагаемых, которая удобна для работы с низкоразмерными структурами. Также обратим внимание читателя на то, чтоквантово-гидродинамическая формулировка уравнения Дирака рассматривается в литературе [39].Мы приведем соответствующее обобщение результатов, полученныхв [41] и [42]. В итоге, в трехмерном случае дисперсия ленгмюровских волнимеет следующий вид:2 2h̄k 22ω = ωLe,3D 1 −+ 3vs2 k 2222m c2−ωLe,3Dh̄2 k 4h̄4 k 65T0+−,·2mc2 4m2 8m4 c2где2ωLe,3D4πe2 n3D,0=,m(4.27)(4.28)мы также использовали, что ε̂3D,0 = 3n3D,0 T0 /2 и p0 = n3D,0 T0 , так чтоε̂3D,0 + p0 = 5n3D,0 T0 /2. В формуле (4.27) было учтено, что θ = ξ = 1.В нашей работе мы использовали метод вывода уравнений из многочастичного уравнения Шредингера, предложенный в работе [5].

Мы не68делали никаких упрощений исходных уравнений, избегая, в частности,разбиения волновой функции на произведение одночастичных волновыхфункций. В этом случае система уравнений не ограничивается уравнениемнепрерывности (4.1) и уравнением баланса импульса (4.2), как это былобы, если бы мы исходили из уравнения Шредингера для одной частицыво внешнем поле [47], [48].

В нашем случае система уравнений квантовойгидродинамики содержит уравнение баланса энергии, а также другие величины [1], [2], [5]. Однако, мы оборвали эту цепочку и ограничились уравнениями (4.1), (4.2).4.6.ЗаключениеПодробно представлены основные уравнения слаборелятивистскойквантовой гидродинамики бесспиновых частиц и их связей с гамильтонианом Брейта. Мы использовали эти уравнения для вычисления дисперсииленгмюровских волн в двумерном электронном газе. Дано описание вклада различных слаборелятивистских членов в закон дисперсии. Кроме того,наше описание формирует основу для рассмотрения нелинейных процессовв низкоразмерных системах слаборелятивистских заряженных частиц.695.

Ленгмюровские волны в бесспиновойслаборелятивистской квантовой плазме5.1.ВведениеМы собираемся обсудить соотношения между квантовыми, тепловы-ми и слаборелятивистскими эффектами в такой системе заряженных частиц. Как результат, мы представляем полную теорию, включающая упомянутые выше эффекты для бесспиновых заряженных частиц.Спин частиц приводит к эффектам, появляющимся в слаборелятивистском приближении. Однако, он играет существенную роль в нерелятивистских физических системах, например, в ферромагнитных материалах.Динамика спинов также очень важна в физике квантовой плазмы, где электроны и позитроны являются наиболее распространенными объектами, иих спин является их неотъемлемым свойством.

В течении последнего десятилетия много работ было посвящено исследованию спиновой динамикив квантовой плазме, главным образом с помощью квантовой гидродинамики и власовоподобного кинетического уравнения. Однако, представляется интересным и важным построить квантовую физику многих частиц,опирающуюся на гамильтониан Дарвина, который является бесспиновыманалогом гамильтониана Брейта [44].

Гамильтониан Дарвина содержит такие слаборелятивистские члены, как релятивистская поправка к кинетической энергии частиц (РПКЭ), энергия взаимодействия движущихся зарядов (которое также называется ток-токовым взаимодействием), а такжевзаимодействие, пропорциональное дираковской дельта-функции, называ-70емое дарвиновским членом.В работе [33] было сделано предположение, что в некоторых случаяхвклад РПКЭ гораздо меньше вклада дарвиновского члена. Однако, нашиисследования слаборелятивистских эффектов в квантовой плазме, основанные на методе квантовой гидродинамики, показывают, что РПКЭ приводитк существованию определенных слагаемых в слаборелятивистском уравнении Эйлера, и одно из этих слагаемых имеет вид, близкий к единственномуслагаемому, приносимому дарвиновским членом в гамильтониане.