Автореферат (Исследование релятивистских и нерелятивистских квантовых систем с помощью вычисления континуальных интегралов методом Монте-Карло), страница 3

Оценивая теемпературу вырождения по формуле βd ≈ mrs2 , получаем допустимый диапазон температур, зависящий от плотности и определяемый условиямиme rs2 β rs2 .(28)Соответствующие численные значения в ядерных единицах следующие: βmin ≈ 5 × 10−4 rs2and βmax ≈ rs2 . Отсюда получаются следующие оценки при заданных плотностях (в еди22ницах СИ): Tmin ≈ 0.9ρ 3 кг−2/3 м2 К и Tmax ≈ 2 × 105 ρ 3 кг−2/3 м2 К.В конце данной главы приводятся в явном подробном виде выражения для "решёточногодействия"в даннной модели, а также для функций распределения в оптимальном варпианте алгоритма Метрополиса-Гастингса для генерации траекторий в данной задаче.Шестая глава описывает результаты численного моделирования в вышеописанноймодели.

Вычисления проводились для Np = 128 частиц при следующих значениях параметров. N a = 1/β от 0.5 × 10−5 до 4.75 × 10−5 с шагом 0.25 × 10−5 и дополнительнымиточками 0.57 × 10−5 и 0.66 × 10− 5. Радиус Вигнера-Зейтца (параметр определяющий плотность) rs изменялся от 200 до 450 с шагом 50. Эти значения параметров в ядерных единицах соответствуют значениям температуры от 2.9 × 103 К до 27.7 × 103 К и плотностиот 183 × 103 кг/м3 до 2085 × 103 кг/м3 . Сетку точек, для которых производились расчёты,можно видеть на фазовой диаграмме.Для всех указанных точек вычислены кинетическая и потенциальная энергия (и, со-13ответственно, полная внутренняя энергия), давление и отношение Линдеманаphx2 i.Λ=Rn(29)Здесь hx2 i - смещение частицы относительно её положения в кристаллической решётке, аRn - расстояние между ближайшими соседними частицами, соотношение показывает меруупорядоченности в системе и удобно для определения фазовых переходов.

Полученныезависимости E(ρ, T ) и P (ρ, T ) представляют собой уравнения состояния и, как известно,дают полное термодинамическое описание системы.Так как в астрофизических приложениях уравнение состояния как правило используется в виде степенной зависимостиP = kργ ,(30)полученные результаты аппроксимированы по данному закону, что даёт хорошее согласие.Исследована зависимость параметров k и γ от температуры.При изучении изучении уравнений состояния все характеристики испытывают резкийскачок при некоторых значениях плотностей и давлений. Это позволяет утверждать, что всистеме имеет место фазовый переход. В более энергетичной фазе отношение Линдеманавозрастает до максимально возможного, что позволяет сделать утверждение о полнойнеупорядоченности данной фазы, то есть она является жидкой. В менее энергетичной фазеотношение Линдемана относительно невелико и стабильно, что позволяет предположить,что она соответствует кристаллу.

К счастью, метод PIMC позволяет напрямую посмотретьна рассчитываемые траектории, а по их виду очевидно, что дданная фаза действительноявляется кристаллом с объёмно-центрированной кубической решёткой.Для рассматриваемой системы построениа фазовая диаграмма в рассматриваемом диапазоне плотностей и давлений.Седьмая глава посвящена алгоритмам для метода PIMC в случае релятивистскойквантовой механики.

Рассматривается приближение с "мгновенным"взаимодействием, егофизическая осмысленность в (псевдо)релятивистских системах была пояснена выше.Матрица плотности определяется матричными элементамиZdp −T (p)τ −ip(q0 −q1 )−τ Thq0 |e |q1 i =e.2π(31)Для релятивистской формы кинетической энергииT (p) =pp2 + m214(32)2,52,0,3x101,5/3208510686181,03892610,50,0510152025Рис.

2: Задача о металлическом водороде, отношение Линдеманна при различных плотностях25T, x103201510505001000150020003, x10Рис. 3: Задача о металлическом водороде, фазовая диаграммавычисление данного интеграла по импульсам даётpmτhq0 |e−τ T |q1 i = pK1 (m τ 2 + (q1 − q0 )2 )π τ 2 + (q1 − q0 )2(33)где K1 (∗) - модифицированная функция Бесселя первого порядка. Соответственно, общее15Рис.

4: Задача о металлическом водороде, пример траектории в фазе кристалла с объёмноцентрированной кубической решёткойвыражение для матричного элемента выглядит следующим образом:h r q 00 − q 0 2 im0e−τ V (q ) . (34)ρ(q 00 , q 0 ; τ ) = hq 00 |e−τ (T (p)+V (q)) |q 0 i = rKmτ1+1 00 0 2τπ 1 + q τ−qНа основании данной формулы построен и реализован алгоритм вычисления интегралов по траекториям методом Монте-Карло для одной частицы во внешнем потенциале.

Вкачестве потенциала выбран квадратичный, то есть исследовался релятивистский гармонический осциллятор. Гамильтониан данной системы имеет видp1H = p2 + m2 + mω 2 q 2 .2(35)Данный выбор обусловлен возможностью исследовать задачу как аналитическими, таки другими численными методами.В нерелятивистском пределе гамильтониан принимает формуH =m+p21+ mω 2 q 2 ,2m 2(36)что соответствует нерелятивитстскому гармоническому осциллятору, решение (энергия иплотность вероятности/волновая фунцкия основного состояния) которого всем известно:E0 = m +16ω,2(37)ρ(q) = |ψ(q)|2 = mω 12πexp −mωq 2 ,(38)В ультрарелятивистском пределе гамильтониан принимает форму1H = |p| + mω 2 q 2 .2(39)В этом случае также возможно аналитическое решение, которое даёт для энергии и плотности вероятности основного состоянияE0 = λ0 (mω 2 )1/3 ,(40)где λ0 = 0.808617 .

. . ,RRρ(q) =dpdkAi(2π)221/3( mω(|p|2)R21/3( mω(|k|2)− λ0 ) Aidp221/3Ai ( mω2 ) (|p| − λ0 )2π− λ0 ) e−i(p−k)q,(41)где Ai(x) - функция Эйри первого рода.Были проведены численные расчёты методом PIMC на основе разработанных алгоритмов. Вычислялись кинетическая и потенциальная энергиии, плотность вероятности,корреляционная функция и средний квадрат координаты в основном состоянии. Сравнение результатов в нерелятивистском и ультра-релятивистском пределе с аналитическирассчитанными значениями дало согласие в пределах ошибки.Так как гамильтониан релятивистского гармонического осциллятора квадратичен покоординате, в импульсном представлении для него получается уравнение, аналогичное поформе обычному уравнению Шрёдингера в некотором потенциале:mω 2 ∂Ψp p 22 + E Ψ = 0.+p+mp2 ∂p2(42)Оно может быть численно решено с высокой точностью стандартными методами, что ибыло проделано.

В нерелятивистском и ультрарелятивистском пределе результаты показали хорошее согласие с аналитически расчитанными. При этом результаты, получнееыена основе решения Уравнения Шрёдингера всюду показаоли прекрасное согласие с результатами, полученными методом PIMC, что позволяет сделать утверждение о корректномпостроении алгоритмов и высокой точности получаемых с их помощью результатов.Заключение - восьмая глава - содержит краткий обзор полученных в данной диссертационной работе результатов.

Указаны возможности их применения. Описаны возможные перспективные направления развития исследований в данной области.174y = ln(1/2) + xy = ln(λ0) + 2x / 3ShredingerPIMC3Log (E / m - 1)210-1-2-3-1012Log (ω / m)34Рис. 5: Полная энергия основного состояния релятивистского гармонического осциллятора, вычесленная методом Монте-Карло (точки). ω = 1. Тонкая кривая - результаты решения уравнения Шрёдингера. Жирные прямые - аналитически полученные асимптотики внуле и на бесконечности.Список публикаций по теме диссертацииA. A.

Novoselov, O. V. Pavlovsky, M. V. Ulybyshev Monte Carlo Calculations for SomeProblems of Quantum Mechanics // Physics of Atomic Nuclei, Vol. 75, No. 9, 2012 p. 1119А. А. Новосёлов, О. В. Павловский, М. В. Улыбышев Монте-Карло моделирование металлического водорода: фазовый переход и уравнение состояния // ВМУ. Серия 3. Физика.Астрономия. 2014.

No1 С.28Aleksandr Ivanov, Aleksandr Novoselov, Oleg Pavlovsky. Relativistic path integral MonteCarlo: Relativistic oscillator problem // International Journal of Modern Physics C. Vol. 27.No 11. P. 1650133-1-1650133-14Новосёлов А. А. "Прямой метод вычисления кинетической энергии в методе МонтеКарло"// Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов-2010". Секция "Физика".

Сборник тезисов. Том 1. С.191 М., Физический факультет МГУНовосёлов А. А. "Фазовая диаграмма металлического водорода"// Международная18конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов2011". Секция "Физика". Сборник тезисов. Том 1. С. 138 М., Физический факультет МГУO. Pavlovsky, A.

Ivanov, A. Novoselov. Path Integral Monte-Carlo method for relativisticquantum systems // Proceedings of Science (LATTICE2014) 056Список литературы[1] Кройц М. Кварки, глюоны и решетки // М.: Мир, 1987[2] Creutz M., Freedman B. Statistical Approach to Quantum Mechanics // Annals of physics132 427 (1981)[3] Ceperley D.

M. Path integrals in the theory of condensed helium // Rev. Mod. Phys. 67279 (1995)[4] Mao H., Hemley R. J. Ultrahigh-pressure transitions in solid hydrogen //Rev. Mod. Phys.66 671 (1994)[5] Militzer B., Graham R. L. Simulations of dense atomic hydrogen in the Wigner crystalphase // Journal of Physics and Chemistry of Solids 67 2136 (2006)[6] Максимов Е. Г., Шилов Ю.

И. Водород при высоких давлениях // УФН 169 1223(1999)[7] Deutsch J. M., The effects of noise on iterated maps// J. Phys. A: Math. Gen. 18 1457(1985)[8] Wilkinson M., Mehlig B. Caustics in turbulent aerosols// Europhys. Lett. 71 186 (2) (2005)[9] Wilkinson M., Mehlig B. Path coalescence transition and its applications // Phys.Rev. E68 040101 (2003).[10] Wilkinson M., Mehlig B., Duncan K., Weber T., Ljunggren M. Aggregation of inertialparticles in random flows // Phys.Rev. E 72 051104 (2005).[11] Wilkinson M., Mehlig B. Coagulation by Random Velocity Fields as a Kramers Problem// Phys.Rev.Lett.